Таслагдсан пирамидын хажуугийн гадаргуугийн талбай ба эзэлхүүн: томъёо ба ердийн асуудлыг шийдэх жишээ

2024 Зохиолч: Angel Austin | [email protected]. Хамгийн сүүлд өөрчлөгдсөн: 2024-01-02 17:52

Стереометрийн хүрээнд гурван хэмжээст орон зай дахь дүрсүүдийн шинж чанарыг судлахдаа эзэлхүүн, гадаргуугийн талбайг тодорхойлох асуудлыг шийдвэрлэх шаардлагатай болдог. Энэ нийтлэлд бид сайн мэддэг томьёо ашиглан таслагдсан пирамидын эзлэхүүн болон хажуугийн гадаргууг хэрхэн тооцоолохыг харуулах болно.

Геометрийн пирамид

Геометрийн хувьд энгийн пирамид гэдэг нь огторгуй дахь ямар нэгэн хавтгай n өнцөгт баригдсан дүрс юм. Түүний бүх орой нь олон өнцөгтийн хавтгайгаас гадна байрлах нэг цэгтэй холбогддог. Жишээлбэл, энд таван өнцөгт пирамидыг харуулсан зураг байна.

Энэ дүрс нь нүүр, орой, ирмэгээр үүсгэгддэг. Таван өнцөгт нүүрийг суурь гэж нэрлэдэг. Үлдсэн гурвалжин нүүр нь хажуугийн гадаргууг бүрдүүлдэг. Бүх гурвалжны огтлолцлын цэг нь пирамидын гол орой юм. Хэрэв түүнээс суурь руу перпендикуляр доошлуулсан бол огтлолцлын цэгийн байрлалын хоёр сонголт байж болно:

• Геометрийн төвдбайвал пирамидыг шулуун шугам гэж нэрлэдэг;
• орохгүйгеометрийн төвд байвал зураг ташуу болно.

Цаашид бид зөвхөн энгийн n өнцөгт суурьтай шулуун дүрсүүдийг авч үзэх болно.

Таслагдсан пирамид гэж юу вэ?

Таслагдсан пирамидын эзэлхүүнийг тодорхойлохын тулд аль дүрсийг тусгайлан авч үзэхийг тодорхой ойлгох шаардлагатай. Энэ асуудлыг тодруулъя.

Энгийн пирамидын суурьтай параллель огтлох хавтгайг аваад хажуугийн гадаргуугийн нэг хэсгийг түүгээр таслав гэж бодъё. Хэрэв энэ үйлдлийг дээр үзүүлсэн таван өнцөгт пирамидаар хийвэл доорх зураг дээрх шиг дүрс гарч ирнэ.

Зурагнаас харахад энэ пирамид нь аль хэдийн 2 суурьтай бөгөөд дээд хэсэг нь доод талынхтай төстэй боловч хэмжээ нь бага байна. Хажуугийн гадаргууг гурвалжингаар дүрслэхээ больсон, харин трапец хэлбэрээр дүрслэв. Эдгээр нь тэгш өнцөгт хэлбэртэй бөгөөд тэдгээрийн тоо нь суурийн талуудын тоотой тохирч байна. Таслагдсан дүрс нь ердийн пирамид шиг гол оройгүй бөгөөд түүний өндрийг параллель суурийн хоорондох зайгаар тодорхойлно.

Ерөнхий тохиолдолд авч үзэж буй дүрс нь n өнцөгт сууриудаас үүссэн бол n+2 нүүр буюу тал, 2n орой, 3n ирмэгтэй байна. Өөрөөр хэлбэл, таслагдсан пирамид нь олон талт хэлбэртэй байна.

Таслагдсан пирамидын эзэлхүүний томьёо

Энгийн пирамидын эзэлхүүн нь түүний өндөр ба суурийн талбайн үржвэрийн 1/3-тай тэнцүү гэдгийг санаарай. Энэ томъёо нь хоёр суурьтай тул тайрсан пирамидад тохиромжгүй. Мөн түүний хэмжээЭнэ нь үүсэлтэй ердийн зургийн ижил утгаас үргэлж бага байх болно.

Илэрхийлэлийг олж авах математикийн нарийн ширийнийг оруулалгүйгээр бид таслагдсан пирамидын эзэлхүүний эцсийн томъёог танилцуулж байна. Үүнийг дараах байдлаар бичсэн байна:

V=1/3ц(S₁+ S₂+ √(S₁ S₂₎₎

Энд S₁ ба S_{2 нь доод ба дээд суурийн талбайнууд, h нь зургийн өндөр. Бичсэн илэрхийлэл нь зөвхөн шулуун ердийн таслагдсан пирамид төдийгүй энэ ангийн аль ч дүрст хүчинтэй байна. Түүнээс гадна үндсэн олон өнцөгтийн төрлөөс үл хамааран. V-ийн илэрхийллийн хэрэглээг хязгаарлаж буй цорын ганц нөхцөл бол пирамидын суурь нь хоорондоо параллель байх шаардлага юм.}

Энэ томьёоны шинж чанарыг судалснаар хэд хэдэн чухал дүгнэлт хийж болно. Тиймээс, хэрэв дээд суурийн талбай тэг байвал бид ердийн пирамидын V-ийн томъёонд хүрнэ. Хэрэв суурийн талбайнууд хоорондоо тэнцүү бол бид призмийн эзэлхүүний томъёог авна.

Хажуугийн гадаргууг хэрхэн тодорхойлох вэ?

Таслагдсан пирамидын шинж чанарыг мэдэхийн тулд түүний эзэлхүүнийг тооцоолох чадвараас гадна хажуугийн гадаргуугийн талбайг хэрхэн тодорхойлохыг мэдэх шаардлагатай.

Таслагдсан пирамид нь хоёр төрлийн нүүрнээс бүрдэнэ:

• исс өнцөгт трапец;
• олон өнцөгт суурь.

Хэрэв сууринд ердийн олон өнцөгт байгаа бол түүний талбайн тооцоо нь том биш юм.хүндрэлүүд. Үүнийг хийхийн тулд та зөвхөн a талын урт ба тэдгээрийн n тоог мэдэх хэрэгтэй.

Хажуугийн гадаргуугийн хувьд түүний талбайг тооцоолохдоо n трапецын хувьд энэ утгыг тодорхойлно. Хэрэв n-gon зөв байвал хажуугийн гадаргуугийн томъёо нь:болно.

S_b=h_bn(a₁+a_2)/2

Энд h_b нь трапецын өндөр бөгөөд үүнийг дүрсийн апотем гэж нэрлэдэг. a₁ ба a_{2хэмжигдэхүүнүүд нь ердийн n өнцөгт суурийн талуудын урт юм.}

Энгийн n өнцөгт тайрсан пирамид бүрийн хувьд h_b apotema-г a₁ болон a _{параметрүүдээр тусгайлан тодорхойлж болно. 2ба дүрсний өндөр h.}

Зургийн эзэлхүүн ба талбайг тооцоолох даалгавар

Ердийн гурвалжин тайрсан пирамид өгөгдсөн. Түүний өндөр h нь 10 см, суурийн хажуугийн урт нь 5 см ба 3 см гэдгийг мэддэг. Таслагдсан пирамидын эзэлхүүн ба түүний хажуугийн гадаргуугийн талбай хэд вэ?

Эхлээд V утгыг бодъё. Үүний тулд зургийн суурь дээр байрлах тэгш талт гурвалжны талбайг ол. Бидэнд:

S₁=√3/4a₁²=√3/4 5²=10.825см^2;

S₂=√3/4a₂²=√3/4 3²=3.897 см²

V-ийн томъёонд өгөгдлийг орлуулснаар бид хүссэн хэмжээг авна:

V=1/310(10, 825 + 3, 897 + √(10, 825 3, 897)) ≈ 70.72 см3

Хажуугийн гадаргууг тодорхойлохын тулд та мэдэх хэрэгтэйapothem урт h_{b. Пирамидын доторх харгалзах тэгш өнцөгт гурвалжинг авч үзвэл бид түүний тэгш байдлыг бичиж болно:}

h_b=√((√3/6(a₁- a₂))²+ h^{2) ≈ 10.017 см}

Апотемийн утга болон гурвалжин суурийн хажуу талыг S_{bилэрхийлэлд орлуулснаар бид дараах хариултыг авна:}

S_b=h_bn(a₁+a₂)/2=10.0173(5+3)/2 ≈ 120.2см²

Тиймээс бид бодлогын бүх асуултад хариулсан: V ≈ 70.72 см³, S_b ≈ 120.2 см2^.