Орон зайн дүрсийн эзлэхүүнийг тооцоолох нь стереометрийн чухал ажлуудын нэг юм. Энэ өгүүлэлд бид ийм олон өнцөгтийн эзэлхүүнийг пирамид хэлбэрээр тодорхойлох асуудлыг авч үзэхээс гадна ердийн зургаан өнцөгт пирамидын эзэлхүүний томъёог өгөх болно.
зургаан өнцөгт пирамид
Эхлээд нийтлэлд хэлэлцэх ямар тоо болохыг харцгаая.
Заавал талууд нь хоорондоо тэнцүү байх албагүй дурын зургаан өнцөгттэй болцгооё. Мөн бид зургаан өнцөгтийн хавтгайд байхгүй огторгуйн цэгийг сонгосон гэж бодъё. Сүүлчийн бүх буланг сонгосон цэгтэй холбосноор бид пирамид авдаг. Зургаан өнцөгт суурьтай хоёр өөр пирамидыг доорх зурагт үзүүлэв.
Энэ зураг нь зургаан өнцөгтөөс гадна зургаан гурвалжингаас бүрдэх ба тэдгээрийн холболтын цэгийг орой гэж нэрлэдэг. Дүрслэгдсэн пирамидуудын ялгаа нь тэдний баруун талын өндөр h нь геометрийн төвд зургаан өнцөгт суурьтай огтлолцдоггүй бөгөөд зүүн дүрсний өндөр нь унадаг.яг тэр төвд. Энэ шалгуурын ачаар зүүн пирамидыг шулуун, баруун талыг ташуу гэж нэрлэсэн.
Зураг дээрх зүүн зургийн суурь нь тэгш тал ба өнцөгтэй зургаан өнцөгтөөс бүрдсэн тул үүнийг зөв гэж нэрлэдэг. Цаашид нийтлэлд бид зөвхөн энэ пирамидын тухай ярих болно.
Зургаан өнцөгт пирамидын эзлэхүүн
Дурын пирамидын эзлэхүүнийг тооцоолохын тулд дараах томьёо хүчинтэй байна:
V=1/3цSo
Энд h нь зургийн өндрийн урт, So нь түүний суурийн талбай юм. Энгийн зургаан өнцөгт пирамидын эзэлхүүнийг тодорхойлохдоо энэ илэрхийллийг ашиглая.
Харгалзан үзэж буй зураг нь тэгш талт зургаан өнцөгт дээр суурилагдсан тул түүний талбайг тооцоолохын тулд та n өнцөгт дараах ерөнхий илэрхийллийг ашиглаж болно:
S=n/4a2ctg(pi/n)
Энд n нь олон өнцөгтийн талуудын (булангийн) тоотой тэнцүү бүхэл тоо, a нь түүний талын урт, котангенсын функцийг тохирох хүснэгтүүдийг ашиглан тооцоолно.
n=6-ийн илэрхийлэлийг ашигласнаар бид дараахийг авна:
S6=6/4a2 ctg(pi/6)=√3/2a 2
Одоо энэ илэрхийллийг V ботийн ерөнхий томъёонд орлуулахад л үлдлээ:
V6=S6h=√3/2цa2
Тиймээс авч үзэж буй пирамидын эзэлхүүнийг тооцоолохын тулд түүний хоёр шугаман параметрийг мэдэх шаардлагатай: суурийн хажуугийн урт ба зургийн өндөр.
Асуудлыг шийдвэрлэх жишээ
Олдсон V6-н илэрхийллийг дараах асуудлыг шийдвэрлэхэд хэрхэн ашиглаж болохыг харуулъя.
Ердийн зургаан өнцөгт пирамидын эзэлхүүн нь 100 см байдаг нь мэдэгдэж байна3. Суурийн тал ба зургийн өндрийг дараах тэгшитгэлээр өөр хоорондоо хамааралтай нь мэдэгдэж байвал тодорхойлох шаардлагатай:
a=2h
Эзэлхүүний томъёонд зөвхөн a ба h орсон байдаг тул эдгээр параметрүүдийн аль нэгийг нь нөгөөгөөр илэрхийлэн орлуулж болно. Жишээлбэл, a-г орлуулбал:
V6=√3/2h(2ц)2=>
h=∛(V6/(2√3))
Зургийн өндрийн утгыг олохын тулд уртын хэмжээстэй тохирох эзэлхүүнээс гуравдугаар зэргийн үндсийг авах шаардлагатай. Асуудлын мэдэгдлийн пирамидын V6 эзлэхүүний утгыг орлуулснаар бид өндрийг авна:
h=∛(100/(2√3)) ≈ 3.0676 см
Суурийн тал нь асуудлын нөхцөлийн дагуу олдсон утгаас хоёр дахин их байгаа тул бид түүний утгыг авна:
a=2h=23, 0676=6, 1352см
Зургаан өнцөгт пирамидын эзэлхүүнийг зөвхөн зургийн өндөр болон суурийнх нь хажуугийн утгыг ашиглан олж мэдэх боломжтой. Үүнийг тооцоолохын тулд пирамидын хоёр өөр шугаман параметрийг мэдэхэд хангалттай, жишээлбэл, апотема ба хажуугийн ирмэгийн урт.
