Энгийн дөрвөлжин пирамидын хажуугийн гадаргуугийн талбай: томъёо, асуудлын жишээ

2024 Зохиолч: Angel Austin | [email protected]. Хамгийн сүүлд өөрчлөгдсөн: 2024-01-02 17:52

Хавтгай ба гурван хэмжээст орон зай дахь геометрийн ердийн асуудлууд нь янз бүрийн хэлбэрийн гадаргуугийн талбайг тодорхойлох асуудал юм. Энэ нийтлэлд бид ердийн дөрвөлжин пирамидын хажуугийн гадаргуугийн талбайн томьёог танилцуулж байна.

Пирамид гэж юу вэ?

Пирамидын геометрийн хатуу тодорхойлолтыг өгье. n тал, n булантай олон өнцөгт байна гэж бодъё. Заасан n өнцөгтийн хавтгайд байхгүй огторгуйн дурын цэгийг бид сонгож, олон өнцөгтийн орой бүртэй холбоно. Бид n өнцөгт пирамид гэж нэрлэгддэг тодорхой хэмжээний эзэлхүүнтэй дүрсийг авах болно. Жишээлбэл, таван өнцөгт пирамид ямар байдгийг доорх зурагт үзүүлье.

Аливаа пирамидын хоёр чухал элемент нь түүний суурь (n-gon) ба дээд хэсэг юм. Эдгээр элементүүд нь бие биентэйгээ ерөнхийдөө тэнцүү биш n гурвалжингаар холбогддог. Перпендикуляр унасандээрээс доош нь дүрсний өндөр гэж нэрлэдэг. Хэрэв энэ нь геометрийн төв дэх суурийг огтолж байвал (олон өнцөгтийн массын төвтэй давхцаж байвал) ийм пирамидыг шулуун шугам гэж нэрлэдэг. Хэрэв энэ нөхцлөөс гадна суурь нь ердийн олон өнцөгт байвал пирамидыг бүхэлд нь тогтмол гэж нэрлэдэг. Доорх зурагт гурвалжин, дөрвөлжин, таван өнцөгт, зургаан өнцөгт суурьтай энгийн пирамидууд ямар байхыг харуулж байна.

Пирамидын гадаргуу

Ердийн дөрвөлжин пирамидын хажуугийн гадаргуугийн талбайн тухай асуудалд шилжихээсээ өмнө гадаргуугийн тухай ойлголт дээр анхаарлаа хандуулах хэрэгтэй.

Дээр дурьдсанчлан, зурагт үзүүлснээр аливаа пирамид нь нүүр эсвэл талуудын багцаас бүрддэг. Нэг тал нь суурь, n тал нь гурвалжин юм. Бүхэл зургийн гадаргуу нь түүний талуудын талбайн нийлбэр юм.

Нүхлэх дүрсийн жишээн дээр гадаргууг судлах нь тохиромжтой. Энгийн дөрвөлжин пирамидын хайлтыг доорх зурагт үзүүлэв.

Түүний гадаргуугийн талбай нь ижил тэгш өнцөгт гурвалжны дөрвөн талбай ба квадратын талбайн нийлбэртэй тэнцүү болохыг бид харж байна.

Зургийн талыг бүрдүүлдэг бүх гурвалжны нийт талбайг хажуугийн гадаргуугийн талбай гэнэ. Дараа нь бид ердийн дөрвөлжин пирамидын хувьд үүнийг хэрхэн тооцоолохыг харуулах болно.

Дөрвөн өнцөгт ердийн пирамидын хажуугийн гадаргуугийн талбай

Хажуу талын талбайг тооцоолохзаасан зургийн гадаргууг бид дахин дээрх сканнер руу шилжүүлнэ. Бид дөрвөлжин суурийн талыг мэддэг гэж бодъё. Үүнийг а тэмдгээр тэмдэглэе. Дөрвөн ижил гурвалжин тус бүр нь a урттай суурьтай болохыг харж болно. Тэдний нийт талбайг тооцоолохын тулд та нэг гурвалжны хувьд энэ утгыг мэдэх хэрэгтэй. S_{t гурвалжны талбай нь суурь ба өндрийн үржвэртэй тэнцүү бөгөөд үүнийг хагасаар нь хуваах ёстой гэдгийг геометрийн хичээлээс мэддэг. Энэ нь:}

S_t=1/2ц_ba.

Энд h_b нь суурь дээр татсан ижил өнцөгт гурвалжны өндөр юм. Пирамидын хувьд энэ өндөр нь апотем юм. Одоо гарсан илэрхийлэлийг 4-өөр үржүүлж, пирамидын хажуугийн гадаргуугийн S_{b талбайг авах шаардлагатай:}

S_b=4S_t=2h_ba.

Энэ томьёо нь апотем ба суурийн хажуу тал гэсэн хоёр параметрийг агуулна. Хэрэв асуудлын ихэнх нөхцөлд сүүлийнх нь мэдэгдэж байгаа бол бусад хэмжигдэхүүнүүдийг мэдэж байх ёстой. Хоёр тохиолдлын хувьд апотема h_{b тооцоолох томъёо энд байна:}

• хажуугийн хавирганы уртыг мэдэх үед;
• пирамидын өндөр нь мэдэгдэж байгаа үед.

Хэрэв бид хажуугийн ирмэгийн уртыг (тэгц өнцөгт гурвалжны тал) L тэмдгээр тэмдэглэвэл h_{b томьёогоор тодорхойлно:}

h_b=√(L² - a^2/4).

Энэ илэрхийлэл нь хажуу гадаргуугийн гурвалжинд Пифагорын теоремыг хэрэглэсний үр дүн юм.

Мэдэгдэж байгаа болпирамидын өндөр h, дараа нь apotema h_{b дараах байдлаар тооцоолж болно:}

h_b=√(h² + a^2/4).

Пирамидын дотор h, a/2 хөл ба гипотенузаас үүссэн тэгш өнцөгт гурвалжинг h_{b гэж үзвэл энэ илэрхийллийг олж авахад хэцүү биш.}

Сонирхолтой хоёр бодлого шийдвэрлэж эдгээр томьёог хэрхэн хэрэглэхийг үзүүлье.

Мэдэгдэж буй гадаргуутай холбоотой асуудал

Ердийн дөрвөлжин пирамидын хажуугийн гадаргуу нь 108 см² гэдгийг мэддэг. Пирамидын өндөр нь 7 см бол h_{b үгийн уртын утгыг тооцоолох шаардлагатай.}

Хажуугийн гадаргуугийн S_{b талбайн томьёог өндрөөр нь бичье. Бидэнд:}

S_b=2√(h² + a^{2/4) a.}

Энд бид харгалзах apotema томьёог S_{b илэрхийлэлд орлуулсан. Тэгшитгэлийн хоёр талыг квадрат болгоё:}

S_b²=4a²h² + a^4.

А-ийн утгыг олохын тулд хувьсагчийн өөрчлөлтийг хийцгээе:

a2=t;

t²+ 4h²t - S_b ^2=0.

Бид одоо мэдэгдэж буй утгуудыг орлуулж квадрат тэгшитгэлийг шийдэж байна:

t2+ 196t - 11664=0.

t ≈ 47, 8355.

Бид энэ тэгшитгэлийн зөвхөн эерэг язгуурыг бичсэн. Дараа нь пирамидын суурийн талууд нь:байх болно.

a=√t=√47.8355 ≈ 6.916 см.

Апотемагийн уртыг авахын тулд,зүгээр л томъёог ашигла:

h_b=√(h² + a²/4)=√(7 ²+ 6, 916^{2/4) ≈ 7, 808-ыг үзнэ үү}

Хеопс пирамидын хажуугийн гадаргуу

Египтийн хамгийн том пирамидын хажуугийн гадаргуугийн талбайн утгыг тодорхойл. Түүний сууринд хажуугийн урт нь 230.363 метр квадрат байдаг нь мэдэгдэж байна. Уг байгууламжийн өндөр нь анх 146.5 метр байв. Эдгээр тоог S_{b-д харгалзах томьёонд орлуулбал:}

S_b=2√(h² + a²/4) a=2√(146, 5²+230, 363²/4)230, 363 ≈ 85860 м^2.

Олдсон утга нь 17 хөлбөмбөгийн талбайн хэмжээнээс арай том байна.