Сансар огторгуйн дүрсийг авч үзэхэд тэдгээрийн гадаргуугийн талбайг тодорхойлоход асуудал гардаг. Ийм дүрсүүдийн нэг нь конус юм. Бөөрөнхий суурьтай конусын хажуугийн гадаргуу, түүнчлэн тайрсан конус гэж юу болохыг нийтлэлээс авч үзье.
Дугуй суурьтай конус
Конусын хажуугийн гадаргууг авч үзэхээсээ өмнө бид энэ нь ямар дүрс болох, геометрийн аргаар хэрхэн олж авахыг харуулах болно.
Тэгш өнцөгт ABC гурвалжинг ав, AB ба AC нь хөл юм. Энэ гурвалжинг АС хөл дээр тавиад AB хөлийг тойруулан эргүүлье. Үүний үр дүнд AC ба BC талууд нь доор үзүүлсэн зургийн хоёр гадаргууг дүрсэлдэг.
Эргүүлснээр олж авсан дүрсийг дугуй шулуун конус гэнэ. Энэ нь дугуй хэлбэртэй, учир нь түүний суурь нь тойрог бөгөөд дүрсний дээд хэсгээс (B цэг) татсан перпендикуляр нь тойрогтой төв хэсэгт огтлолцдог тул шулуун байна. Энэ перпендикулярын уртыг өндөр гэж нэрлэдэг. Энэ нь AB хөлтэй тэнцүү байх нь ойлгомжтой. Өндөрийг ихэвчлэн h үсгээр тэмдэглэдэг.
Өндөрөөс гадна конусыг өөр хоёр шугаман шинж чанараар тодорхойлдог:
- үүсгэгч, эсвэл үүсгэгч (гипотенуз МЭӨ);
- суурь радиус (хөл AC).
Радиусыг r үсгээр, генераторатриксыг g гэж тэмдэглэнэ. Дараа нь Пифагорын теоремыг харгалзан үзэж байгаа зурагт чухал ач холбогдолтой тэгш байдлыг бичиж болно:
g2=h2+ r2
Конус гадаргуу
Бүх төрлүүдийн нийлбэр нь конусын конус хэлбэрийн эсвэл хажуугийн гадаргууг бүрдүүлдэг. Гадаад төрхөөрөө энэ нь аль хавтгай дүрстэй тохирч байгааг хэлэхэд хэцүү байдаг. Сүүлийнх нь конус гадаргуугийн талбайг тодорхойлохдоо мэдэх нь чухал юм. Энэ асуудлыг шийдэхийн тулд шүүрдэх аргыг ашигладаг. Энэ нь дараахь зүйлээс бүрдэнэ: гадаргууг дурын генерацийн дагуу зүсэж, дараа нь хавтгай дээр дэлгэнэ. Энэ шүүрдэх аргыг ашигласнаар дараах хавтгай дүрс үүснэ.
Таны таамаглаж байгаагаар тойрог нь суурьтай тохирч байгаа боловч дугуй хэсэг нь конус гадаргуу бөгөөд бидний сонирхож байгаа хэсэг юм. Энэ салбар нь хоёр генератор ба нумаар хязгаарлагддаг. Сүүлчийн урт нь суурийн тойргийн периметр (урт) -тай яг тэнцүү байна. Эдгээр шинж чанарууд нь дугуй секторын бүх шинж чанарыг өвөрмөц байдлаар тодорхойлдог. Бид завсрын математик тооцоолол өгөхгүй, харин конусын хажуугийн гадаргуугийн талбайг тооцоолж болох эцсийн томъёог нэн даруй бичнэ үү. Томъёо нь:
Sb=pigr
Шусан гадаргуугийн талбай Sb нь хоёр параметр ба Pi-ийн үржвэртэй тэнцүү байна.
Таслагдсан конус ба түүний гадаргуу
Хэрэв бид энгийн конусыг аваад оройг нь параллель хавтгайгаар таславал үлдсэн зураг нь таслагдсан конус болно. Түүний хажуугийн гадаргуу нь хоёр дугуй баазаар хязгаарлагддаг. Тэдний радиусыг R ба r гэж тэмдэглэе. Бид зургийн өндрийг h, generatrix-ийг g гэж тэмдэглэнэ. Энэ зургийн цаасан хайчилбарыг доор харуулав.
Хажуу талын гадаргуу нь дугуй сектор байхаа больж, төв хэсэг нь таслагдсан тул талбайн хувьд жижиг болсон нь харагдаж байна. Хөгжил нь дөрвөн шугамаар хязгаарлагдах бөгөөд тэдгээрийн хоёр нь шулуун шугамын сегмент-генератор, нөгөө хоёр нь таслагдсан конусын суурийн харгалзах тойргийн урттай нумууд юм.
Хажуугийн гадаргууг Sb дараах байдлаар тооцоолно:
Sb=pig(r + R)
Generatrix, радиус болон өндөр нь дараах тэгшитгэлээр хамааралтай:
g2=h2+ (R - r)2
Тоонуудын талбайн тэгш байдлын асуудал
20 см өндөр, суурийн радиус нь 8 см конус өгөгдсөн. Хажуугийн гадаргуу нь энэ конустай ижил талбайтай байх таслагдсан конусын өндрийг олох шаардлагатай. Таслагдсан дүрс нь ижил суурь дээр баригдсан бөгөөд дээд суурийн радиус нь 3 см байна.
Юуны өмнө конус болон таслагдсан дүрсийн талбайн тэгш байдлын нөхцөлийг бичье. Бидэнд:
Sb1=Sb2=>
pig1R=pig2(r + R)
Одоо дүрс бүрийн генератрисийн илэрхийллийг бичье:
g1=√(R2+ h12);
g2=√((R-r)2 + h2 2)
Ижил талбайн томьёонд g1 ба g2 -г орлуулж, зүүн ба баруун талыг квадрат болговол бид:
R2(R2+ h12)=((R-r)2+ h22)(r + R)2
Бид h2-ийн илэрхийлэлийг хаанаас авдаг:
h2=√(R2(R2+ h 12)/(r + R)2- (R - r)2 )
Бид энэ тэгш байдлыг хялбарчлахгүй, харин зүгээр л нөхцөлөөс мэдэгдэж буй өгөгдлийг орлуулна:
h2=√(82(82+ 202)/(3 + 8)2- (8 - 3)2) ≈ 14.85 см
Тиймээс, зургийн хажуугийн гадаргуугийн талбайг тэнцүүлэхийн тулд таслагдсан конус нь R=8 см, r=3 см, h2 гэсэн параметртэй байх ёстой.≈ 14, 85 см.
