Стереометрийг судлахад гол сэдвүүдийн нэг нь "Цилиндр" юм. Хажуугийн гадаргуугийн талбайг геометрийн асуудлыг шийдвэрлэхэд гол биш бол чухал томъёо гэж үздэг. Гэхдээ янз бүрийн теоремуудыг нотлохдоо жишээнүүдийг үзэхэд тань туслах тодорхойлолтуудыг санах нь чухал.
Цилиндрийн ойлголт
Эхлээд хэд хэдэн тодорхойлолтыг авч үзэх хэрэгтэй. Зөвхөн тэдгээрийг судалсны дараа цилиндрийн хажуугийн гадаргуугийн талбайн томъёоны талаархи асуултыг авч үзэж болно. Энэ оруулгад үндэслэн бусад илэрхийллийг тооцоолж болно.
- Цилиндр гадаргуу гэж генератриксоор дүрсэлсэн, өгөгдсөн чиглэлд параллель хөдөлж, хэвээр байгаа, одоо байгаа муруй дагуу гулсдаг хавтгайг ойлгодог.
- Хоёрдахь тодорхойлолт бас бий: цилиндр гадаргуу нь өгөгдсөн муруйг огтолж буй олон параллель шугамаар үүсгэгддэг.
- Үйлдвэрлэгчийг уламжлалт байдлаар цилиндрийн өндөр гэж нэрлэдэг. Суурийн төвийг дайран өнгөрөх тэнхлэгийг тойрон хөдөлж байх үед,зориулалтын геометрийн биеийг авсан.
- Тэнхлэгийн доор гэдэг нь зургийн хоёр суурийг дайран өнгөрөх шулуун шугамыг хэлнэ.
- Цилиндр нь огтлолцсон хажуугийн гадаргуу ба 2 зэрэгцээ хавтгайгаар хязгаарлагддаг стереометр бие юм.
Энэ гурван хэмжээст дүрсийн төрөл байдаг:
- Дугуй бол чиглүүлэгч нь тойрог хэлбэртэй цилиндр юм. Үүний гол бүрэлдэхүүн хэсгүүд нь суурийн радиус ба генатрикс юм. Сүүлийнх нь зургийн өндөртэй тэнцүү байна.
- Шууд цилиндр байна. Энэ нь зургийн суурьтай генатрикс перпендикуляр байдгаас шалтгаалан нэрээ авсан.
- Гурав дахь төрөл нь налуу цилиндр юм. Сурах бичгүүдээс та түүний өөр нэрийг олж болно - "налуу суурьтай дугуй цилиндр". Энэ зураг нь суурийн радиус, хамгийн бага ба хамгийн их өндрийг тодорхойлдог.
- Тэгц талт цилиндрийг дугуй хавтгайтай ижил өндөр ба диаметртэй биеийг ойлгодог.
Тэмдэгт
Уламжлал ёсоор цилиндрийн үндсэн "бүрэлдэхүүн"-ийг дараах байдлаар нэрлэдэг:
- Суурийн радиус нь R (энэ нь мөн стереометрийн ижил утгыг орлоно).
- Гэрэлт – L.
- Өндөр – H.
- Суурийн талбай - Sbase (өөрөөр хэлбэл та заасан тойргийн параметрийг олох хэрэгтэй).
- Налуу цилиндрийн өндөр – h1, h2 (хамгийн бага ба дээд).
- Хажуу талын гадаргуугийн талбай - S тал (хэрэв та үүнийг өргөжүүлбэл танд олгононэг төрлийн тэгш өнцөгт).
- Стереометрийн хэмжээ - V.
- Нийт гадаргуугийн талбай – S.
Стереометрийн дүрсийн "бүрэлдэхүүн"
Цилиндрийг судлахад хажуугийн гадаргуугийн талбай чухал үүрэг гүйцэтгэдэг. Энэ нь энэ томъёог өөр хэд хэдэн, илүү нарийн төвөгтэй зүйлд багтаасантай холбоотой юм. Тиймээс онолын мэдлэгтэй байх шаардлагатай.
Зургийн үндсэн бүрэлдэхүүн хэсгүүд нь:
- Хажуу талын гадаргуу. Энэ нь өгөгдсөн муруйн дагуух генератриксийн хөдөлгөөний улмаас олддог гэдгийг та мэдэж байгаа.
- Бүтэн гадаргууд одоо байгаа суурь болон хажуугийн хавтгай багтана.
- Цилиндрийн хэсэг нь дүрмээр бол зургийн тэнхлэгтэй параллель байрладаг тэгш өнцөгт юм. Үгүй бол үүнийг онгоц гэж нэрлэдэг. Урт ба өргөн нь бусад тоонуудын хагас цагийн бүрэлдэхүүн хэсэг болох нь харагдаж байна. Тиймээс, нөхцөлт байдлаар, хэсгийн урт нь генератор юм. Өргөн - стереометрийн параллель хөвч.
- Тэнхлэгийн хэсэг нь биеийн төвөөр дамжин өнгөрөх онгоцны байрлалыг хэлнэ.
- Эцэст нь эцсийн тодорхойлолт. Шүргэгч гэдэг нь цилиндрийн үүсгэгчийг дайран өнгөрч, тэнхлэгийн хэсэгт тэгш өнцөгт байрладаг хавтгай юм. Энэ тохиолдолд нэг нөхцөл хангагдсан байх ёстой. Заасан generatrix нь тэнхлэгийн хэсгийн хавтгайд орсон байх ёстой.
Цилиндртэй ажиллах үндсэн томьёо
Цилиндрийн гадаргуугийн талбайг хэрхэн олох вэ гэсэн асуултад хариулахын тулд стереометрийн дүрсийн үндсэн "бүрэлдэхүүн" болон тэдгээрийг олох томъёог судлах шаардлагатай.
Эдгээр томьёо нь эхлээд налуу цилиндрийн илэрхийлэл, дараа нь шулууны илэрхийллээрээ ялгаатай.
Буулгасан жишээ
Даалгавар 1.
Цилиндрийн хажуугийн гадаргуугийн талбайг мэдэх шаардлагатай. AC=8 см хэсгийн диагональ өгөгдсөн (түүнээс гадна энэ нь тэнхлэг). Генератрикстай холбогдох үед <ACD=30° байна.
Шийдвэр. Диагональ ба өнцгийн утгууд мэдэгдэж байгаа тул энэ тохиолдолд:
CD=AC30°
Сэтгэгдэл. Энэ жишээн дээрх ACD гурвалжин нь тэгш өнцөгт гурвалжин юм. Энэ нь CD ба АС-ийг хуваах коэффициент=өгөгдсөн өнцгийн косинус гэсэн үг юм. Тригонометрийн функцүүдийн утгыг тусгай хүснэгтээс олж болно.
Үүнтэй адилаар та AD-ийн утгыг олох боломжтой:
AD=ACsin 30°
Одоо та дараах томъёог ашиглан хүссэн үр дүнг тооцоолох хэрэгтэй: цилиндрийн хажуугийн гадаргуугийн талбай нь "pi", зургийн радиус ба түүний өндрийг үржүүлсний үр дүнд хоёр дахин их байна. Өөр нэг томъёог бас ашиглах ёстой: цилиндрийн суурийн талбай. Энэ нь "пи"-ийг радиусын квадратаар үржүүлсний үр дүнтэй тэнцүү юм. Эцэст нь, сүүлчийн томъёо: нийт гадаргуугийн талбай. Энэ нь өмнөх хоёр хэсгийн нийлбэртэй тэнцүү байна.
Даалгавар 2.
Цилиндр өгөгдсөн. Тэдний эзэлхүүн=128н см³. Аль цилиндр нь хамгийн жижиг хэмжээтэй байнабүрэн гадаргуу?
Шийдвэр. Эхлээд та зургийн эзэлхүүн болон өндрийг олох томъёог ашиглах хэрэгтэй.
Цилиндрийн нийт гадаргуугийн талбай нь онолын хувьд мэдэгдэж байгаа тул түүний томъёог хэрэглэх шаардлагатай.
Хэрэв бид үүссэн томьёог цилиндрийн талбайн функц гэж үзвэл хамгийн бага "заагч"-д туйлын цэгт хүрнэ. Сүүлийн утгыг авахын тулд та ялгах аргыг ашиглах хэрэгтэй.
Томъёог дериватив олох тусгай хүснэгтээс харж болно. Ирээдүйд олсон үр дүнг тэгтэй тэнцүүлж, тэгшитгэлийн шийдийг олно.
Хариулт: Smin h=1/32 см, R=64 см-т хүрнэ.
Асуудал 3.
Стереометрийн дүрс өгөгдсөн - цилиндр ба хэсэг. Сүүлийнх нь стереометрийн биеийн тэнхлэгтэй зэрэгцээ байрладаг байдлаар хийгддэг. Цилиндр нь дараах параметрүүдтэй: VK=17 см, h=15 см, R=5 см Хэсэг ба тэнхлэг хоорондын зайг олох шаардлагатай.
Шийдвэр.
Цилиндрийн хөндлөн огтлолыг VSCM, өөрөөр хэлбэл тэгш өнцөгт гэж ойлгодог тул түүний тал нь VM=h. WMC-ийг анхаарч үзэх хэрэгтэй. Гурвалжин нь тэгш өнцөгт хэлбэртэй. Энэ мэдэгдэлд үндэслэн бид MK=BC гэсэн зөв таамаглалыг гаргаж чадна.
VK²=VM² + MK²
MK²=VK² - VM²
MK²=17² - 15²
MK²=64
MK=8
Эндээс MK=BC=8 см гэж дүгнэж болно.
Дараагийн алхам бол зургийн суурийн дундуур хэсэг зурах явдал юм. Үүссэн хавтгайг авч үзэх шаардлагатай.
AD – стереометрийн диаметр. Энэ нь асуудлын мэдэгдэлд дурдсан хэсэгтэй зэрэгцээ байна.
BC нь одоо байгаа тэгш өнцөгтийн хавтгай дээр байрлах шулуун шугам юм.
ABCD нь трапец хэлбэртэй. Тодорхой тохиолдолд тойргийг тойруулан дүрсэлсэн тул үүнийг ижил өнцөгт гэж үзнэ.
Хэрэв та үүссэн трапецын өндрийг олвол бодлогын эхэнд өгсөн хариултыг авч болно. Тухайлбал: тэнхлэг ба зурсан хэсгийн хоорондох зайг олох.
Үүнийг хийхийн тулд та AD болон OS-ийн утгыг олох хэрэгтэй.
Хариулт: хэсэг нь тэнхлэгээс 3 см зайд байрладаг.
Материалыг нэгтгэхэд асуудал
Жишээ 1.
Цилиндр өгөгдсөн. Хажуугийн гадаргуугийн талбайг цаашдын шийдэлд хэрэглэнэ. Бусад сонголтууд мэдэгдэж байна. Суурийн талбай нь Q, тэнхлэгийн хэсгийн талбай нь M. Энэ нь S-ийг олох шаардлагатай. Өөрөөр хэлбэл, цилиндрийн нийт талбай.
Жишээ 2.
Цилиндр өгөгдсөн. Хажуугийн гадаргуугийн талбайг асуудлыг шийдэх үе шатуудын аль нэгээр нь олох ёстой. Өндөр=4 см, радиус=2 см гэдгийг мэддэг. Стереометрийн дүрсийн нийт талбайг олох шаардлагатай.
