Орон зайн дүрсийн эзлэхүүнийг тооцоолох чадвар нь геометрийн хэд хэдэн практик асуудлыг шийдвэрлэхэд чухал ач холбогдолтой. Хамгийн түгээмэл хэлбэрүүдийн нэг бол пирамид юм. Энэ нийтлэлд бид пирамидын эзэлхүүний томьёог бүрэн ба тайруулсан хэлбэрээр авч үзэх болно.
Пирамид гурван хэмжээст дүрс шиг
Египтийн пирамидуудын талаар хүн бүр мэддэг тул ямар дүрсийг хэлэлцэх талаар сайн санаатай байдаг. Гэсэн хэдий ч Египетийн чулуун байгууламжууд нь пирамидын асар том ангийн зөвхөн онцгой тохиолдол юм.
Ерөнхий тохиолдолд авч үзэх геометрийн объект нь олон өнцөгт суурь бөгөөд орой бүр нь суурийн хавтгайд хамаарахгүй орон зайн аль нэг цэгтэй холбогдсон байна. Энэ тодорхойлолт нь нэг n өнцөг болон n гурвалжнуудаас бүрдэх дүрс рүү хөтөлж байна.
Аливаа пирамид нь n+1 нүүр, 2n ирмэг, n+1 оройноос бүрдэнэ. Харж байгаа зураг нь төгс олон өнцөгт тул тэмдэглэсэн элементүүдийн тоо Эйлерийн тэгшитгэлд захирагдана:
2n=(n+1) + (n+1) - 2.
Суурийн олон өнцөгт нь пирамидын нэрийг өгдөг.жишээлбэл, гурвалжин, таван өнцөгт гэх мэт. Өөр өөр суурьтай пирамидын багцыг доорх зурагт үзүүлэв.
Зургийн n гурвалжныг холбосон цэгийг пирамидын орой гэнэ. Хэрэв түүнээс суурь руу перпендикуляр буулгаж, түүнийг геометрийн төвд огтолж байвал ийм дүрсийг шулуун шугам гэж нэрлэнэ. Хэрэв энэ нөхцөл хангагдаагүй бол налуу пирамид байна.
Суурь нь тэгш талт (тэнцүү өнцөгт) n-гоноос үүссэн шулуун дүрсийг тогтмол гэнэ.
Пирамидын эзлэхүүний томьёо
Пирамидын эзэлхүүнийг тооцоолохдоо бид интеграл тооцоог ашигладаг. Үүнийг хийхийн тулд бид дүрсийг суурьтай параллель хөндлөн огтлолцсон хавтгайгаар хязгааргүй олон тооны нимгэн давхаргад хуваана. Доорх зурагт өндөр h, хажуугийн урт нь L дөрвөлжин хэлбэртэй пирамидыг харуулж байгаа бөгөөд түүний нимгэн давхаргыг дөрвөлжин дүрсээр тэмдэглэсэн байна.
Иймэрхүү давхарга бүрийн талбайг томъёогоор тооцоолж болно:
A(z)=A0(h-z)2/h2.
Энд A0 нь суурийн талбай, z нь босоо координатын утга юм. Хэрэв z=0 бол томъёо нь A0 утгыг өгнө.
Пирамидын эзэлхүүний томьёог гаргахын тулд зургийн бүх өндрийн интегралыг тооцоолох хэрэгтэй, өөрөөр хэлбэл:
V=∫h0(A(z)dz).
A(z) хамаарлыг орлуулж, эсрэг деривативыг тооцоолоход бид дараах илэрхийлэлд хүрнэ:
V=-A0(h-z)3/(3h2)| h0=1/3A0ц.
Бид пирамидын эзэлхүүний томъёог авсан. V-ийн утгыг олохын тулд зургийн өндрийг суурийн талбайгаар үржүүлээд үр дүнг гурав хуваахад хангалттай.
Үүссэн илэрхийлэл нь дурын төрлийн пирамидын эзэлхүүнийг тооцоолоход хүчинтэй гэдгийг анхаарна уу. Энэ нь налуу байж болох ба түүний суурь нь дурын n-gon байж болно.
Зөв пирамид ба түүний хэмжээ
Дээрх догол мөрөнд олж авсан эзлэхүүний ерөнхий томьёог зөв суурьтай пирамидын хувьд нарийвчилж болно. Ийм суурийн талбайг дараах томъёогоор тооцоолно:
A0=n/4L2ctg(pi/n).
Энд L нь n оройтой жирийн олон өнцөгтийн хажуугийн урт юм. Пи тэмдэг нь pi тоо юм.
Ерөнхий томьёонд A0 илэрхийллийг орлуулбал бид ердийн пирамидын эзэлхүүнийг авна:
V=1/3n/4L2hctg(pi/n)=n/12 L2hctg(pi/n).
Жишээ нь гурвалжин пирамидын хувьд энэ томьёо дараах илэрхийлэлд хүргэдэг:
V3=3/12L2hctg(60o)=√3/12L2ц.
Энгийн дөрвөлжин пирамидын хувьд эзлэхүүний томъёо нь:
болно.
V4=4/12L2hctg(45o)=1/3L2ц.
Ердийн пирамидын эзэлхүүнийг тодорхойлохын тулд тэдгээрийн суурийн тал болон зургийн өндрийг мэдэх шаардлагатай.
Таслагдсан пирамид
Бид авсан гэж бодъёдурын пирамид ба түүний хажуугийн гадаргуугийн дээд хэсгийг агуулсан хэсгийг таслав. Үлдсэн дүрсийг таслагдсан пирамид гэж нэрлэдэг. Энэ нь аль хэдийн хоёр n өнцөгт суурь ба тэдгээрийг холбосон n трапецуудаас бүрддэг. Хэрэв огтлох хавтгай нь зургийн суурьтай параллель байсан бол параллель ижил төстэй суурьтай таслагдсан пирамид үүснэ. Өөрөөр хэлбэл, тэдгээрийн аль нэгнийх нь талуудын уртыг нөгөөгийнх нь уртыг зарим k коэффициентээр үржүүлж олж болно.
Дээрх зурган дээр таслагдсан ердийн зургаан өнцөгт пирамид харагдаж байна. Доод талынх шиг дээд суурь нь ердийн зургаан өнцөгт хэлбэртэй байгааг харж болно.
Өгөгдсөнтэй төстэй интеграл тооцоолол ашиглан гаргаж болох таслагдсан пирамидын эзэлхүүний томъёо нь:
V=1/3ц(A0+ A1+ √(A0 A1)).
Энд A0 ба A1 нь доод (том) ба дээд (жижиг) суурийн талбайнууд юм. h хувьсагч нь таслагдсан пирамидын өндөр юм.
Хеопс пирамидын эзэлхүүн
Египтийн хамгийн том пирамидын дотор байгаа эзэлхүүнийг тодорхойлох асуудлыг шийдэх нь сонирхолтой юм.
1984 онд Британийн египет судлаач Марк Ленер, Жон Гудман нар Хеопс пирамидын яг хэмжээсийг тогтоожээ. Түүний анхны өндөр нь 146.50 метр (одоогоор 137 метр) байв. Бүтцийн дөрвөн тал тус бүрийн дундаж урт 230.363 метр байв. Пирамидын суурь нь өндөр нарийвчлалтай дөрвөлжин хэлбэртэй.
Өгөгдсөн тоонуудыг ашиглан энэхүү аварга том чулууны эзэлхүүнийг тодорхойлъё. Пирамид нь ердийн дөрвөлжин хэлбэртэй тул түүний хувьд томъёо хүчинтэй байна:
V4=1/3L2ц.
Тоонуудыг орлуулбал:
V4=1/3(230, 363)2146, 5 ≈ 2591444 m 3.
Хеопс пирамидын эзэлхүүн бараг 2.6 сая м3. Харьцуулбал, Олимпийн усан сан нь 2.5 мянган м3 эзэлхүүнтэй гэдгийг бид тэмдэглэж байна. Өөрөөр хэлбэл, Cheops пирамидыг бүхэлд нь дүүргэхийн тулд эдгээрээс 1000 гаруй усан сан шаардлагатай болно!
