Практикт янз бүрийн хэлбэрийн геометрийн хэлбэрийн хэсгүүдийг бүтээх, хэсгүүдийн талбайг олох чадварыг шаарддаг даалгаврууд ихэвчлэн гарч ирдэг. Энэ нийтлэлд бид призм, пирамид, конус, цилиндрийн чухал хэсгүүдийг хэрхэн бүтээдэг, тэдгээрийн талбайг хэрхэн тооцоолох талаар авч үзэх болно.
3D зураг
Стереометрээс харахад ямар ч төрлийн гурван хэмжээст дүрс нь хэд хэдэн гадаргуугаар хязгаарлагддаг. Жишээлбэл, призм ба пирамид гэх мэт олон талтуудын хувьд эдгээр гадаргуу нь олон өнцөгт талууд юм. Цилиндр ба конусын хувьд бид цилиндр ба конус хэлбэрийн эргэлтийн гадаргуугийн тухай ярьж байна.
Хэрэв бид онгоц аваад гурван хэмжээст дүрсийн гадаргууг дур мэдэн огтолбол огтлолтой болно. Түүний талбай нь зургийн эзэлхүүний дотор байрлах онгоцны хэсгийн талбайтай тэнцүү байна. Энэ талбайн хамгийн бага утга нь тэг бөгөөд энэ нь онгоц зурагт хүрэх үед ойлгогддог. Жишээлбэл, хэрэв онгоц пирамид эсвэл конусын оройг дайран өнгөрвөл нэг цэгээс үүссэн хэсгийг олж авна. Хөндлөн огтлолын талбайн хамгийн их утга нь хамаарназураг ба хавтгайн харьцангуй байрлал, мөн зургийн хэлбэр, хэмжээ.
Доор бид эргэлтийн хоёр дүрс (цилиндр ба конус) ба хоёр олон талт (пирамид ба призм)-ийн үүссэн хэсгүүдийн талбайг хэрхэн тооцоолох талаар авч үзэх болно.
Цилиндр
Дугуй цилиндр гэдэг нь тэгш өнцөгтийн аль нэг талыг тойрон эргэх дүрс юм. Цилиндр нь үндсэн радиус r ба өндөр h гэсэн хоёр шугаман параметрээр тодорхойлогддог. Доорх диаграмм нь дугуй шулуун цилиндр ямар байдгийг харуулж байна.
Энэ зурагт гурван чухал хэсэг байна:
- дугу;
- тэгш өнцөгт;
- зууван.
Зуванцар нь тухайн зургийн хажуугийн гадаргууг суурьтай нь ямар нэгэн өнцгөөр огтолсны үр дүнд үүсдэг. Дугуй нь цилиндрийн суурьтай зэрэгцээ хажуугийн гадаргууг огтлох хавтгайн огтлолцлын үр дүн юм. Эцэст нь зүсэх хавтгай нь цилиндрийн тэнхлэгтэй параллель байвал тэгш өнцөгтийг олж авна.
Дугуй талбайг томъёогоор тооцоолно:
S1=pir2
Цилиндрийн тэнхлэгээр дамжин өнгөрөх тэнхлэгийн хэсгийн талбайг, өөрөөр хэлбэл тэгш өнцөгтийг дараах байдлаар тодорхойлно:
S2=2rh
Конус хэсгүүд
Конус гэдэг нь тэгш өнцөгт гурвалжны нэг хөлийг тойрон эргэх дүрс юм. Конус нь нэг оройтой, дугуй суурьтай. Түүний параметрүүд нь мөн радиус r ба өндөр h юм. Цаасан конусын жишээг доор үзүүлэв.
Хэд хэдэн төрлийн конус зүсэлтүүд байдаг. Тэднийг жагсаацгаая:
- дугу;
- зууван;
- параболик;
- гиперболик;
- гурвалжин.
Бөөрөнхий суурьтай харьцуулахад налуугийн хавтгайн налуу өнцгийг нэмэгдүүлбэл тэдгээр нь бие биенээ солино. Хамгийн хялбар арга бол дугуй ба гурвалжингийн хөндлөн огтлолын томъёог бичих явдал юм.
Суурьтай параллель байгаа хавтгайтай конус гадаргуу огтлолцсоны үр дүнд дугуй зүсэлт үүсдэг. Түүний талбайн хувьд дараах томъёо хүчинтэй байна:
S1=pir2z2/h 2
Энд z нь зургийн дээд хэсгээс үүссэн хэсэг хүртэлх зай юм. Эндээс харахад z=0 байвал онгоц зөвхөн оройгоор дамжин өнгөрөх тул S1 талбай тэгтэй тэнцүү байх болно. z < h-аас хойш судалж буй хэсгийн талбай нь суурийн утгаас үргэлж бага байх болно.
Хугацаа эргэлтийн тэнхлэгийн дагуу дүрстэй огтлолцох үед гурвалжин хэлбэртэй болно. Үүссэн хэсгийн хэлбэр нь ижил өнцөгт гурвалжин байх бөгөөд талууд нь суурийн диаметр ба конусын хоёр генератор юм. Гурвалжингийн хөндлөн огтлолын талбайг хэрхэн олох вэ? Энэ асуултын хариулт нь дараах томъёо байх болно:
S2=rh
Энэ тэгшитгэлийг дурын гурвалжны талбайн томьёог суурийн урт ба өндрөөр нь хамааруулан олж авна.
Призмын хэсгүүд
Призм нь бие биедээ параллель хоёр ижил олон өнцөгт суурь байдгаараа тодорхойлогддог том ангиллын дүрс юм.параллелограммаар холбогдсон. Призмийн аль ч хэсэг нь олон өнцөгт юм. Харгалзан үзэж буй дүрсүүдийн олон янз байдлыг (ташуу, шулуун, n-гональ, ердийн, хотгор призмүүд) харгалзан үзэхэд тэдгээрийн хэсгүүдийн олон янз байдал бас их байна. Доор бид зөвхөн зарим онцгой тохиолдлыг авч үзнэ.
Хэрэв зүсэх хавтгай суурьтай параллель байвал призмийн хөндлөн огтлолын талбай нь энэ суурийн талбайтай тэнцүү байна.
Хэрэв хавтгай нь хоёр суурийн геометрийн төвийг дайран өнгөрч, өөрөөр хэлбэл зургийн хажуугийн ирмэгтэй параллель байвал тухайн хэсэгт параллелограмм үүснэ. Шулуун ба ердийн призмийн хувьд авч үзэх хэсэг нь тэгш өнцөгт байх болно.
Пирамид
Пирамид бол n өнцөг ба n гурвалжингаас бүрдэх өөр нэг олон өнцөгт юм. Гурвалжин пирамидын жишээг доор үзүүлэв.
Хэрэв огтлолыг n өнцөгт суурьтай параллель хавтгайгаар зурвал түүний хэлбэр нь суурийн хэлбэртэй яг тэнцүү байна. Ийм хэсгийн талбайг томъёогоор тооцоолно:
S1=So(h-z)2/h 2
Энд z нь сууринаас огтлолын хавтгай хүртэлх зай, So нь суурийн талбай юм.
Хэрэв зүсэх хавтгай нь пирамидын дээд хэсгийг агуулж, суурийг нь огтолж байвал бид гурвалжин зүсэлттэй болно. Талбайг нь тооцоолохын тулд гурвалжинд тохирох томьёог ашиглах ёстой.
