Гурвалжин пирамид ба түүний талбайг тодорхойлох томъёо

2024 Зохиолч: Angel Austin | [email protected]. Хамгийн сүүлд өөрчлөгдсөн: 2023-12-17 05:36

Пирамид нь геометрийн орон зайн дүрс бөгөөд түүний шинж чанарыг ахлах сургуульд цул геометрийн хичээлээр судалдаг. Энэ нийтлэлд бид гурвалжин пирамид, түүний төрлүүд, мөн гадаргуугийн талбайг тооцоолох томъёог авч үзэх болно.

Бид ямар пирамидын тухай ярьж байна вэ?

Гурвалжны пирамид гэдэг нь дурын гурвалжны бүх оройг энэ гурвалжны хавтгайд ороогүй нэг цэгтэй холбосноор олж болох дүрс юм. Энэхүү тодорхойлолтын дагуу авч үзэх пирамид нь зургийн суурь гэж нэрлэгддэг анхны гурвалжин ба суурьтай нэг нийтлэг талтай, хоорондоо нэг цэг дээр холбогдсон гурван хажуугийн гурвалжингаас бүрдэх ёстой. Сүүлийнхийг пирамидын орой гэж нэрлэдэг.

Дээрх зурагт дурын гурвалжин пирамид харагдаж байна.

Харж буй дүрс нь ташуу эсвэл шулуун байж болно. Сүүлчийн тохиолдолд пирамидын оройноос суурь хүртэл унасан перпендикуляр нь түүнийг геометрийн төвөөр огтлох ёстой. дурын геометрийн төвгурвалжин нь түүний медиануудын огтлолцлын цэг юм. Геометрийн төв нь физик дэх дүрсийн массын төвтэй давхцдаг.

Хэрэв шулуун (тэнцүү талт) гурвалжин шулуун пирамидын сууринд оршдог бол түүнийг энгийн гурвалжин гэнэ. Энгийн пирамидын бүх талууд нь хоорондоо тэнцүү бөгөөд тэгш талт гурвалжин болно.

Хэрэв энгийн пирамидын өндөр нь хажуугийн гурвалжнууд нь тэгш талтай бол түүнийг тетраэдр гэнэ. Тетраэдрт дөрвөн нүүр нь хоорондоо тэнцүү тул тус бүрийг суурь гэж үзэж болно.

Пирамидын элементүүд

Эдгээр элементүүдэд зургийн нүүр, тал, түүний ирмэг, орой, өндөр, үг хэллэг орно.

Зурсны дагуу гурвалжин пирамидын бүх талууд нь гурвалжин юм. Тэдний тоо 4 (3 тал, нэг нь суурь).

Оройнууд нь гурвалжин гурвалжин талуудын огтлолцох цэгүүд юм. Харгалзан үзэж буй пирамидын хувьд эдгээрийн 4 нь (3 нь пирамидын суурь, 1 нь дээд хэсэгт хамаарна) байгааг таахад хэцүү биш юм.

Ирмэгийг гурвалжин хоёр талыг огтолж буй шугамууд эсвэл хоёр орой бүрийг холбосон шугам гэж тодорхойлж болно. Ирмэгүүдийн тоо нь суурийн оройнуудын тооноос хоёр дахин их байна, өөрөөр хэлбэл гурвалжин пирамидын хувьд энэ нь 6 байна (3 ирмэг нь сууринд хамаарах ба 3 ирмэг нь хажуугийн нүүрээр үүсгэгддэг).

Өндөр нь дээр дурдсанчлан пирамидын оройноос суурь хүртэл татсан перпендикулярын урт юм. Хэрэв бид энэ оройноос гурвалжин суурийн тал бүр рүү өндрийг зурвал,дараа нь тэдгээрийг apotems (эсвэл apothems) гэж нэрлэх болно. Тиймээс гурвалжин пирамид нь нэг өндөр, гурван үгтэй байдаг. Энгийн пирамидын хувьд сүүлийнх нь хоорондоо тэнцүү байна.

Пирамидын суурь ба түүний талбай

Харж байгаа зургийн суурь нь ерөнхийдөө гурвалжин учир түүний талбайг тооцоолохын тулд өндөр h_o ба суурийн хажуугийн уртыг олоход хангалттай. a, дээр нь доошлуулсан байна. Суурийн S_o талбайн томъёо нь:

S_o=1/2h_oa

Хэрэв суурийн гурвалжин нь тэгш талт байвал гурвалжин пирамидын суурийн талбайг дараах томъёогоор тооцоолно:

S_o=√3/4a²

Өөрөөр хэлбэл, S_o талбай нь гурвалжин суурийн а талын уртаар онцгойлон тодорхойлогддог.

Зургийн хажуу ба нийт талбай

Гурвалжин пирамидын талбайг авч үзэхээсээ өмнө түүний хөгжлийг харуулах нь зүйтэй. Тэр доорх зураг байна.

Дөрвөн гурвалжнаас үүссэн энэ шүүрэлтийн талбай нь пирамидын нийт талбай юм. Гурвалжны аль нэг нь суурьтай тохирч байгаа бөгөөд тооцоолсон утгын томъёог дээр бичсэн болно. Гурван хажуугийн гурвалжин нүүр нь хамтдаа зургийн хажуугийн хэсгийг бүрдүүлдэг. Иймд энэ утгыг тодорхойлохын тулд дээрх дурын гурвалжингийн томьёог тус бүрт нь хэрэглэж, гурван үр дүнг нэмэхэд хангалттай.

Пирамид зөв бол тооцооХажуугийн гадаргуугийн талбайг хөнгөвчилдөг, учир нь бүх хажуугийн нүүр нь ижил тэгш талт гурвалжин юм. h_bтэмдэглэлийн уртыг тэмдэглээд S_b хажуугийн гадаргуугийн талбайг дараах байдлаар тодорхойлж болно:

S_b=3/2ah_b

Энэ томьёо нь гурвалжны талбайн ерөнхий илэрхийллээс гарна. Пирамид гурван талтай тул 3 гэсэн тоо гарч ирсэн.

Энгийн пирамид дахь

Апотема h_b h дүрсний өндөр нь мэдэгдэж байгаа бол тооцоолж болно. Пифагорын теоремыг ашигласнаар бид:

h_b=√(h²+ a²/12)

Мэдээжийн хэрэг, зургийн гадаргуугийн нийт S талбай нь түүний хажуу ба суурийн талбайн нийлбэртэй тэнцүү байна:

S=S_o+ S_b

Энгийн пирамидын хувьд бүх мэдэгдэж буй утгыг орлуулснаар бид томъёог авна:

S=√3/4a²+ 3/2a√(h²+ a ²/12)

Гурвалжин пирамидын талбай нь зөвхөн суурийн хажуугийн урт ба өндрөөс хамаарна.

Жишээ асуудал

Гурвалжин пирамидын хажуугийн ирмэг нь 7 см, суурийн тал нь 5 см гэдгийг мэддэг. Хэрэв та пирамид гэдгийг мэдэж байгаа бол зургийн гадаргуугийн талбайг олох хэрэгтэй. тогтмол.

Ерөнхий тэгш байдлыг ашиглана:

S=S_o+ S_b

Талбай S_o тэнцүү:

S_o=√3/4a² =√3/45^{2 ≈10, 825см}2.

Хажуугийн гадаргууг тодорхойлохын тулд апотемыг олох хэрэгтэй. Хажуугийн ирмэгийн уртаар a_b нь дараах томъёогоор тодорхойлогддогийг харуулахад хэцүү биш юм:

h_b=√(a_b²- a^{2 /4)=√(7} 2^{- 5}2^{/4) ≈ 6.538 см.}

Тэгвэл S_b-н талбай нь:

S_b=3/2ah_b=3/256, 538=49.035 см2.

Пирамидын нийт талбай нь:

S=S_o+ S_b=10.825 + 49.035=59.86см².

Асуудлыг шийдэхдээ бид тооцоололд пирамидын өндрийн утгыг ашиглаагүйг анхаарна уу.