Математикийн шалгалтанд бэлдэхдээ оюутнууд алгебр, геометрийн мэдлэгээ системчилсэн байх ёстой. Би бүх мэдэгдэж байгаа мэдээллийг нэгтгэхийг хүсч байна, жишээлбэл, пирамидын талбайг хэрхэн тооцоолох талаар. Түүнээс гадна суурь ба хажуугийн нүүрнээс эхлээд бүх гадаргуугийн талбай хүртэл. Хажуугийн нүүр нь гурвалжин тул нөхцөл байдал тодорхой байвал суурь нь үргэлж өөр байна.
Пирамидын суурийн талбайг хэрхэн олох вэ?
Энэ нь дурын гурвалжингаас n-gon хүртэл ямар ч хэлбэртэй байж болно. Мөн энэ суурь нь өнцгийн тооны зөрүүгээс гадна ердийн дүрс эсвэл буруу байж болно. Сургуулийн сурагчдын сонирхдог USE даалгавруудад зөвхөн үндсэн дээр зөв дүрс бүхий даалгавар байдаг. Тиймээс бид зөвхөн тэдний тухай ярих болно.
Энгийн гурвалжин
Энэ бол тэгш талт. Бүх талууд тэнцүү бөгөөд "а" үсгээр тэмдэглэгдсэн нэг. Энэ тохиолдолд пирамидын суурийн талбайгтомъёогоор тооцоолно.
S=(a2√3) / 4.
Дөрвөлжин
Түүний талбайг тооцоолох томъёо нь хамгийн энгийн,энд "a" дахин тал байна:
S=a2.
Дурын энгийн n-gon
Олон өнцөгтийн тал ижил тэмдэглэгээтэй. Булангийн тооны хувьд Латин n үсгийг ашигладаг.
S=(na2) / (4тг (180º/n)).
Хажуугийн болон нийт гадаргуугийн талбайг хэрхэн тооцоолох вэ?
Суурь нь ердийн дүрс тул пирамидын бүх талууд тэнцүү байна. Түүнээс гадна хажуугийн ирмэгүүд нь тэнцүү тул тус бүр нь ижил өнцөгт гурвалжин юм. Дараа нь пирамидын хажуугийн талбайг тооцоолохын тулд танд ижил мономиалуудын нийлбэрээс бүрдэх томъёо хэрэгтэй. Нэр томъёоны тоог суурийн талуудын тоогоор тодорхойлно.
Адил өнцөгт гурвалжны талбайг суурийн үржвэрийн талыг өндрөөр үржүүлсэн томъёогоор тооцоолно. Пирамидын энэ өндрийг апотем гэж нэрлэдэг. Түүний тэмдэглэгээ нь "А" юм. Хажуугийн гадаргуугийн ерөнхий томъёо нь:
S=½ PA, энд P нь пирамидын суурийн периметр.
Суурийн талууд тодорхойгүй ч хажуугийн ирмэгүүд (c) ба орой дээрх хавтгай өнцгийг (α) өгөгдсөн тохиолдол байдаг. Дараа нь пирамидын хажуугийн талбайг тооцоолохын тулд энэ томъёог ашиглах ёстой:
S=n/2in2 sin α.
Асуудал 1
Нөхцөл. Пирамидын суурь нь 4 см талтай тэгш талт гурвалжин, мөн апотем нь √3 см бол түүний нийт талбайг ол.
Шийдвэр. ТүүнийТа суурийн периметрийг тооцоолж эхлэх хэрэгтэй. Энэ бол ердийн гурвалжин тул P \u003d 34 \u003d 12 см. Апотем нь мэдэгдэж байгаа тул та бүхэл бүтэн хажуугийн гадаргуугийн талбайг шууд тооцоолж болно: ½12√3=6 √3 см 2.
Суурийн гурвалжны хувьд та дараах талбайн утгыг авна: (42√3) / 4=4√3 см2.
Нийт талбайг тодорхойлохын тулд та хоёр үр дүнгийн утгыг нэмэх хэрэгтэй: 6√3 + 4√3=10√3 см2.
Хариулт. 10√3см2.
Асуудал 2
Нөхцөл. Ердийн дөрвөлжин пирамид байдаг. Суурийн хажуугийн урт нь 7 мм, хажуугийн ирмэг нь 16 мм байна. Та түүний гадаргуугийн талбайг мэдэх хэрэгтэй.
Шийдвэр. Полиэдрон нь дөрвөлжин бөгөөд тогтмол байдаг тул түүний суурь нь дөрвөлжин юм. Суурийн болон хажуугийн нүүрний хэсгүүдийг олж мэдсэний дараа пирамидын талбайг тооцоолох боломжтой болно. Дөрвөлжингийн томъёог дээр өгөв. Хажуугийн нүүрэнд гурвалжны бүх талууд мэдэгддэг. Тиймээс та Хэроны томьёог ашиглан тэдгээрийн талбайг тооцоолж болно.
Эхний тооцоолол нь энгийн бөгөөд дараах тоонд хүргэж байна: 49 мм2. Хоёр дахь утгын хувьд та хагас периметрийг тооцоолох хэрэгтэй: (7 + 162): 2=19.5 мм. Одоо та ижил өнцөгт гурвалжны талбайг тооцоолж болно: √(19.5(19.5-7)(19.5-16)2)=√2985.9375=54.644 мм 2. Дөрвөн ийм гурвалжин байдаг тул эцсийн тоог тооцоолохдоо 4-өөр үржүүлэх шаардлагатай болно.
Энэ нь: 49 + 454, 644=267, 576 мм2.
Хариулт. Хүссэн утга 267, 576мм2.
Асуудал 3
Нөхцөл. Ердийн дөрвөлжин пирамидын хувьд та талбайг тооцоолох хэрэгтэй. Энэ нь дөрвөлжингийн талыг мэддэг - 6 см, өндөр нь - 4 см.
Шийдвэр. Хамгийн хялбар арга бол томьёог периметрийн бүтээгдэхүүн ба апотемийг ашиглах явдал юм. Эхний утгыг олоход хялбар байдаг. Хоёр дахь нь арай хэцүү.
Бид Пифагорын теоремыг санаж, тэгш өнцөгт гурвалжинг авч үзэх хэрэгтэй. Энэ нь пирамидын өндрөөс болон гипотенуз болох апотемээс үүсдэг. Хоёрдахь хөл нь дөрвөлжингийн талтай тэнцүү байна, учир нь олон өнцөгтийн өндөр нь дунд хэсэгтээ унадаг.
Хүссэн үгийн утга (тэгш өнцөгт гурвалжны гипотенуз) √(32 + 42)=5 (см).
Одоо та шаардлагатай утгыг тооцоолж болно: ½(46)5+62=96 (2-г үзнэ үү.).
Хариулт. 96 см2.
Асуудал 4
Нөхцөл. Ердийн зургаан өнцөгт пирамид өгсөн. Түүний суурийн хажуу тал нь 22 мм, хажуугийн хавирга нь 61 мм байна. Энэ олон өнцөгтийн хажуугийн гадаргуу хэд вэ?
Шийдвэр. Үүний үндэслэл нь 2-р асуудалд дурдсантай адил юм. Зөвхөн тэнд дөрвөлжин суурьтай пирамид өгсөн, одоо зургаан өнцөгт болжээ.
Юуны өмнө, суурийн талбайг дээрх томъёогоор тооцоолно: (6222) / (4тг (180º/6))=726/(tg30º)=726 √3 см2.
Одоо та хажуугийн нүүр болох ижил өнцөгт гурвалжны хагас периметрийг олох хэрэгтэй. (22 + 612): 2 \u003d 72 см. Ийм талбайн хэмжээг тооцоолоход л үлддэг.гурвалжин, дараа нь зургаагаар үржүүлж, суурь болсон дээр нэмнэ.
Хероны томьёогоор тооцоолох: √(72(72-22)(72-61)2)=√435600=660 см2 . Хажуугийн гадаргуугийн талбайг өгөх тооцоо: 6606=3960 см2. Гадаргууг бүхэлд нь олж мэдэхийн тулд тэдгээрийг нэмэх шаардлагатай байна: 5217, 47≈5217 см2.
Хариулт. Суурь - 726√3см2, хажуугийн гадаргуу - 3960см2, нийт талбай - 5217см2.
