Сансар огторгуйд геометрийн бодлого бодоход гардаг дүрсүүдийн нэг нь конус юм. Энэ нь олон талтаас ялгаатай нь эргэлтийн дүрсүүдийн ангилалд багтдаг. Геометрийн хувьд энэ нь юу гэсэн үг болохыг өгүүллээр авч үзээд конусын янз бүрийн хэсгүүдийн шинж чанарыг судалцгаая.
Геометрийн конус
Онгоцонд ямар нэг муруй байна гэж бодъё. Энэ нь парабол, тойрог, эллипс гэх мэт байж болно. Заасан хавтгайд хамааралгүй цэгийг аваад муруйн бүх цэгийг түүнтэй холбоно. Үүссэн гадаргууг конус эсвэл зүгээр л конус гэж нэрлэдэг.
Хэрэв анхны муруй хаалттай байвал конус гадаргууг бодисоор дүүргэж болно. Ийм аргаар олж авсан дүрс нь гурван хэмжээст бие юм. Үүнийг мөн конус гэж нэрлэдэг. Хэд хэдэн цаасан боргоцойг доор харуулав.
Шусан гадаргуу нь өдөр тутмын амьдралд тохиолддог. Жишээлбэл, зайрмагны боргоцой эсвэл судалтай замын боргоцой нь жолооч нарын анхаарлыг татахуйц ийм хэлбэртэй байдаг.явган зорчигч.
Конусны төрөл
Таны таамаглаж байгаачлан авч үзэж буй тоонууд нь үүссэн муруйгаараа бие биенээсээ ялгаатай байна. Жишээлбэл, дугуй конус эсвэл зууван хэлбэртэй байдаг. Энэ муруйг зургийн суурь гэж нэрлэдэг. Гэхдээ суурийн хэлбэр нь боргоцойг ангилах боломжийг олгодог цорын ганц шинж чанар биш юм.
Хоёр дахь чухал шинж чанар бол суурьтай харьцуулахад өндрийн байрлал юм. Конусын өндөр нь шулуун шугамын сегмент бөгөөд энэ нь зургийн дээд хэсгээс суурийн хавтгай хүртэл доошилж, энэ хавтгайд перпендикуляр байна. Хэрэв өндөр нь суурийг геометрийн төвөөр (жишээлбэл, тойргийн төвд) огтолж байвал конус шулуун байх болно, хэрэв перпендикуляр сегмент нь суурийн бусад цэг рүү эсвэл түүнээс цааш унавал зураг нь дараах хэлбэртэй болно. ташуу.
Өгүүллийн цаашдын хэсэгт бид зөвхөн дугуй шулуун конусыг авч үзсэн дүрсүүдийн тод төлөөлөгч болгон авч үзэх болно.
Конус элементүүдийн геометрийн нэрс
Дээр конус суурьтай гэж хэлсэн. Энэ нь конусын чиглүүлэгч гэж нэрлэгддэг тойрогоор хязгаарлагддаг. Суурийн хавтгайд ороогүй цэгт чиглүүлэгчийг холбосон сегментүүдийг генератор гэж нэрлэдэг. Генераторуудын бүх цэгүүдийн багцыг зургийн конус эсвэл хажуугийн гадаргуу гэж нэрлэдэг. Дугуй баруун конусын хувьд бүх генератор ижил урттай байна.
Генераторуудын огтлолцох цэгийг зургийн дээд хэсэг гэнэ. Полиэдрээс ялгаатай нь конус нь нэг оройтой, үгүйирмэг.
Зургийн орой ба тойргийн төвийг дайран өнгөрөх шулуун шугамыг тэнхлэг гэнэ. Тэнхлэг нь шулуун конусын өндрийг агуулдаг тул суурийн хавтгайтай тэгш өнцөг үүсгэдэг. Энэ мэдээлэл нь конусын тэнхлэгийн хэсгийн талбайг тооцоолоход чухал юм.
Дугуй шулуун конус - эргэлтийн дүрс
Үзэж буй конус нь нэлээд тэгш хэмтэй дүрс бөгөөд үүнийг гурвалжны эргэлтийн үр дүнд олж авах боломжтой. Тэгш өнцөгтэй гурвалжин байна гэж бодъё. Конус авахын тулд доорх зурагт үзүүлсэн шиг гурвалжинг нэг хөлийг тойруулан эргүүлэхэд хангалттай.
Эргэлтийн тэнхлэг нь конусын тэнхлэг болохыг харж болно. Нэг хөл нь зургийн өндөртэй тэнцүү байх ба хоёр дахь хөл нь суурийн радиус болно. Эргэлтийн үр дүнд гурвалжны гипотенуз нь конус гадаргууг дүрслэх болно. Энэ нь конусын үүсгэгч байх болно.
Дугуй шулуун конус авах энэ аргыг зургийн шугаман параметрүүд: өндөр h, дугуй суурийн радиус r ба чиглүүлэгч g хоорондын математик хамаарлыг судлахад ашиглахад тохиромжтой. Тохирох томьёо нь тэгш өнцөгт гурвалжны шинж чанараас гардаг. Үүнийг доор жагсаав:
g2=h2+ r2.
Бид нэг тэгшитгэл, гурван хувьсагчтай тул дугуй конусын параметрүүдийг тусгайлан тохируулахын тулд та дурын хоёр хэмжигдэхүүнийг мэдэх хэрэгтэй гэсэн үг.
Зургийн оройг агуулаагүй конусын хавтгайн зүсэлт
Зургийн хэсгүүдийг бүтээх асуудал биш юмөчүүхэн. Баримт нь конусын гадаргуугийн зүсэлтийн хэлбэр нь зураг ба зүсэгчийн харьцангуй байрлалаас хамаарна.
Бид конусыг хавтгайтай огтолж байна гэж бодъё. Энэ геометрийн үйлдлийн үр дүн юу болох вэ? Хэсгийн хэлбэрийн сонголтыг доорх зурагт үзүүлэв.
Ягаан хэсэг нь тойрог юм. Энэ нь конусын суурьтай параллель байгаа хавтгайтай дүрсийг огтлолцсоны үр дүнд үүсдэг. Эдгээр нь зургийн тэнхлэгт перпендикуляр хэсгүүд юм. Таслах хавтгайн дээр үүссэн зураг нь анхныхтай төстэй конус хэлбэртэй боловч суурь нь жижиг тойрогтой байна.
Ногоон хэсэг нь эллипс юм. Хэрэв зүсэх онгоц нь суурьтай параллель биш боловч зөвхөн конусын хажуугийн гадаргууг огтолж байвал үүнийг олж авна. Хавтгайн дээгүүр таслагдсан дүрсийг зууван ташуу конус гэнэ.
Цэнхэр болон улбар шар өнгийн хэсгүүд нь параболик ба гиперболын хэсгүүд юм. Зургаас харж байгаагаар зүсэгч хавтгай нь хажуугийн гадаргуу болон зургийн суурийг нэгэн зэрэг огтолж байвал тэдгээрийг олж авна.
Конусын авч үзсэн хэсгүүдийн талбайг тодорхойлохын тулд хавтгай дээрх харгалзах дүрсийн томъёог ашиглах шаардлагатай. Жишээлбэл, тойргийн хувьд энэ нь Пи-г радиусын квадратаар үржүүлсэн тоо, эллипсийн хувьд энэ нь Pi ба бага ба том хагас тэнхлэгийн уртын үржвэр юм:
дугуй: S=pir2;
зууван: S=piab.
Конусны дээд хэсгийг агуулсан хэсгүүд
Одоо хэрчсэн хавтгай бол үүсэх хэсгүүдийн сонголтыг авч үзьеконусын оройгоор дамжина. Гурван тохиолдол боломжтой:
- Хэсэг нь нэг цэг юм. Жишээлбэл, оройг дайран өнгөрч, суурьтай параллель байгаа онгоц яг ийм зүсэлтийг өгдөг.
- Хэсэг нь шулуун шугам юм. Энэ нөхцөл байдал нь онгоц нь конус гадаргуутай шүргэгч байх үед үүсдэг. Энэ тохиолдолд хэсгийн шулуун шугам нь конусын үүсгэгч байх болно.
- Тэнхлэгийн хэсэг. Энэ нь онгоц нь зөвхөн зургийн дээд хэсгийг төдийгүй түүний тэнхлэгийг бүхэлд нь агуулж байх үед үүсдэг. Энэ тохиолдолд хавтгай нь дугуй суурьтай перпендикуляр байх ба конусыг хоёр тэнцүү хэсэгт хуваана.
Эхний хоёр төрлийн хэсгийн талбайнууд тэгтэй тэнцүү байх нь ойлгомжтой. 3-р төрлийн конусын хөндлөн огтлолын хувьд энэ асуудлыг дараагийн догол мөрөнд илүү дэлгэрэнгүй авч үзнэ.
Тэнхлэгийн хэсэг
Конусын тэнхлэгийн огтлол нь конусыг тэнхлэгийг нь дайран өнгөрөх хавтгайгаар огтлолцох үед үүссэн дүрс гэдгийг дээр тэмдэглэсэн. Энэ хэсэг нь доорх зурагт үзүүлсэн дүрсийг төлөөлнө гэдгийг таахад амархан.
Энэ бол тэгш өнцөгт гурвалжин. Конусын тэнхлэгийн хэсгийн орой нь ижил талуудын огтлолцолоос үүссэн энэ гурвалжны орой юм. Сүүлийнх нь конусын генатриксийн урттай тэнцүү байна. Гурвалжны суурь нь конусын суурийн диаметр юм.
Конусын тэнхлэгийн хэсгийн талбайг тооцоолохдоо үүссэн гурвалжны талбайг олох хүртэл буурна. Хэрэв суурийн r радиус ба конусын өндөр h нь эхлээд мэдэгдэж байгаа бол авч үзэх хэсгийн S талбай нь:
болно.
S=hr.
ЭнэЭнэ илэрхийлэл нь гурвалжны талбайн стандарт томьёог хэрэглэсний үр дүн юм (өндөрийн үржвэрийн тал нь суурийн үржвэр).
Хэрэв конусын үүсгэгч нь түүний дугуй суурийн диаметртэй тэнцүү бол конусын тэнхлэгийн хэсэг нь тэгш талт гурвалжин болно гэдгийг анхаарна уу.
Таслах хавтгай нь конусын суурьтай перпендикуляр байх ба түүний тэнхлэгийг дайран өнгөрөх үед гурвалжин зүсэлт үүснэ. Нэрлэсэнтэй параллель байгаа өөр ямар ч хавтгай нь хэсэгчилсэн гиперболыг өгнө. Гэсэн хэдий ч, хэрэв хавтгай нь конусын оройг агуулж, түүний суурийг диаметрээр нь биш огтолж байвал үүссэн хэсэг нь мөн адил тэгш өнцөгт гурвалжин болно.
Конусны шугаман параметрүүдийг тодорхойлох асуудал
Геометрийн асуудлыг шийдэхийн тулд тэнхлэгийн хэсгийн талбайд бичсэн томьёог хэрхэн ашиглахыг үзүүлье.
Мэдэгдэж байгаагаар конусын тэнхлэгийн хэсгийн талбай нь 100 см2. Үүссэн гурвалжин нь тэгш талт байна. Конусын өндөр ба суурийн радиус хэд вэ?
Гурвалжин тэгш талт тул түүний өндөр h нь a талын урттай дараах байдлаар хамааралтай:
h=√3/2a.
Гурвалжны тал нь конусын суурийн радиусаас 2 дахин их байгааг харгалзан энэ илэрхийлэлийг хөндлөн огтлолын томьёонд орлуулбал:
S=hr=√3/22rr=>
r=√(S/√3).
Тэгвэл конусын өндөр нь:
h=√3/22r=√3√(S/√3)=√(√3S).
Талбайн утгыг асуудлын нөхцөлөөс орлуулах хэвээр байнагэсэн хариултыг аваарай:
r=√(100/√3) ≈ 7.60 см;
h=√(√3100) ≈ 13, 16 см.
Ямар хэсэгт авч үзэх хэсгүүдийн параметрүүдийг мэдэх нь чухал вэ?
Төрөл бүрийн төрлийн конус огтлолыг судлах нь зөвхөн онолын сонирхол төдийгүй практик хэрэглээтэй.
Нэгдүгээрт, конус хэлбэрийн тусламжтайгаар хатуу биетүүдийн хамгийн тохиромжтой гөлгөр хэлбэрийг бий болгох боломжтой аэродинамикийн хэсгийг тэмдэглэх нь зүйтэй.
Хоёрдугаарт, конус огтлолууд нь таталцлын талбарт сансрын биетүүд хөдөлдөг траекторууд юм. Системийн сансрын биетүүдийн хөдөлгөөний траекторийг ямар төрлийн зүсэлт төлөөлдөг нь тэдгээрийн масс, үнэмлэхүй хурд ба тэдгээрийн хоорондох зайны харьцаагаар тодорхойлогддог.
