Конусын талбайн томъёоны гарал үүсэл. Асуудлыг шийдэх жишээ

2024 Зохиолч: Angel Austin | [email protected]. Хамгийн сүүлд өөрчлөгдсөн: 2023-12-17 05:36

Орон зайн дүрсийн шинж чанарыг судлах нь практик асуудлыг шийдвэрлэхэд чухал үүрэг гүйцэтгэдэг. Сансар огторгуй дахь дүрсийг судалдаг шинжлэх ухааныг стереометр гэж нэрлэдэг. Энэ нийтлэлд бид хатуу геометрийн үүднээс конусыг авч үзэж, конусын талбайг хэрхэн олохыг харуулах болно.

Дугуй суурьтай конус

Ерөнхий тохиолдолд конус нь бүх цэгүүд нь огторгуйн нэг цэгтэй хэрчмүүдээр холбогдсон хавтгай муруй дээр баригдсан гадаргуу юм. Сүүлийнхийг конусын орой гэж нэрлэдэг.

Дээрх тодорхойлолтоос харахад муруй нь параболик, гипербол, эллипс гэх мэт дурын хэлбэртэй байж болох нь тодорхой байна. Гэсэн хэдий ч практикт болон геометрийн асуудалд энэ нь ихэвчлэн тохиолддог дугуй конус юм. Үүнийг доорх зурагт үзүүлэв.

Энд r тэмдэг нь зургийн суурь дээр байрлах тойргийн радиусыг илэрхийлж байгаа бол h нь зургийн дээд хэсгээс татсан тойргийн хавтгайд перпендикуляр байна. Үүнийг өндөр гэж нэрлэдэг. s утга нь конусын generatrix буюу түүний үүсгэгч юм.

Үүнээс харахад r, h, s сегментүүд харагдаж байнатэгш өнцөгт гурвалжин үүсгэнэ. Хэрэв энэ нь h хөлийг тойрон эргэвэл гипотенуз s нь конус гадаргууг дүрслэх бөгөөд r хөл нь зургийн дугуй суурийг бүрдүүлнэ. Энэ шалтгааны улмаас конусыг хувьсгалын дүрс гэж үздэг. Гурван шугаман параметрүүд нь тэгшитгэлээр хоорондоо холбогддог:

s²=r²+ h²

Өгөгдсөн тэгшитгэл нь зөвхөн дугуй шулуун конусанд хүчинтэй гэдгийг анхаарна уу. Шулуун дүрс нь түүний өндөр нь үндсэн тойргийн төвд яг таарч байвал л болно. Хэрэв энэ нөхцөл хангагдаагүй бол зургийг ташуу гэж нэрлэдэг. Шулуун ба ташуу конусуудын ялгааг доорх зурагт үзүүлэв.

Хэлбэр хөгжүүлэлт

Конусын гадаргуугийн талбайг судлах нь хавтгай дээр авч үзэхэд тохиромжтой. Сансар огторгуй дахь дүрсийн гадаргууг дүрслэх ийм аргыг тэдгээрийн хөгжил гэж нэрлэдэг. Конусын хувьд энэ хөгжлийг дараах байдлаар авч болно: та жишээ нь цааснаас хийсэн дүрсийг авах хэрэгтэй. Дараа нь хайчаар дугуй суурийг тойруулан таслана. Үүний дараа generatrix-ийн дагуу конус хэлбэрийн гадаргууг зүсэж, хавтгай болгон хувиргана. Эдгээр энгийн үйлдлүүдийн үр дүн нь доорх зурагт үзүүлсэн конусыг хөгжүүлэх болно.

Таны харж байгаагаар конусын гадаргууг үнэхээр хавтгай дээр дүрсэлж болно. Энэ нь дараах хоёр хэсгээс бүрдэнэ:

• зургийн суурийг илэрхийлсэн r радиустай тойрог;
• конус гадаргуутай g радиустай дугуй сектор.

Конусны талбайн томьёо нь эвхээгүй хоёр гадаргуугийн талбайг олох явдал юм.

Зургийн гадаргуугийн талбайг тооцоолох

Даалгавраа хоёр үе шатанд хуваацгаа. Эхлээд конусын суурийн талбайг, дараа нь конусан гадаргуугийн талбайг олно.

Асуудлын эхний хэсгийг шийдвэрлэхэд хялбар. Радиус r өгөгдсөн тул суурийн талбайг тооцоолохын тулд тойргийн талбайн харгалзах илэрхийллийг эргэн санахад хангалттай. Үүнийг бичье:

S_o=pi × r²

Хэрэв радиус нь мэдэгдэхгүй бол эхлээд түүн, өндөр болон генераторын хоорондын хамаарлын томьёог ашиглан олох хэрэгтэй.

Конусын талбайг олох асуудлын хоёр дахь хэсэг нь арай илүү төвөгтэй юм. Дугуй сектор нь генератриксийн g радиус дээр баригдсан бөгөөд урт нь тойргийн тойрогтой тэнцүү нумаар хязгаарлагддаг гэдгийг анхаарна уу. Энэ баримт нь пропорцийг бичиж, авч үзсэн салбарын өнцгийг олох боломжийг танд олгоно. Үүнийг Грекийн φ үсгээр тэмдэглэе. Энэ өнцөг нь:

-тай тэнцүү байх болно.

2 × pi=>2 × pi × g;

φ=> 2 × pi × r;

φ=2 × pi × r / g

Дугуй секторын төв өнцгийг φ мэдэж байгаа тул түүний талбайг олохын тулд тохирох пропорцийг ашиглаж болно. Үүнийг S_b тэмдгээр тэмдэглэе. Энэ нь тэнцүү байх болно:

2 × pi=>pi × g²;

φ=> S_b;

S_b=pi × g² × φ / (2 × pi)=pi × r × g

Өөрөөр хэлбэл конус гадаргуугийн талбай нь g генерацийн үржвэр, r суурийн радиус ба Pi тоотой тохирч байна.

Хоёулаа ямар талбар болохыг мэдэхгадаргуугийн хувьд бид конусын талбайн эцсийн томъёог бичиж болно:

S=S_o+ S_b=pi × r²+ pi × r × g=pi × r × (r + g)

Бичсэн илэрхийлэл нь S-ийг тооцоолох конусын хоёр шугаман параметрийн талаар мэдлэгтэй гэж үздэг. Хэрэв g эсвэл r тодорхойгүй бол тэдгээрийг h өндрөөр олж болно.

Конусны талбайг тооцоолох асуудал

Дугуй шулуун конусын өндөр нь түүний диаметртэй тэнцүү гэдгийг мэддэг. Суурийн талбай нь 50 см² гэдгийг мэдэж байгаа тул зургийн талбайг тооцоолох шаардлагатай.

Тойргийн талбайг мэдсэнээр тухайн зургийн радиусыг олох боломжтой. Бидэнд:

S_o=pi × r²=>

r=√(S_o /pi)

Одоо g генераторыг h ба r-ийн хувьд олъё. Нөхцөлийн дагуу зургийн өндөр h нь хоёр r радиустай тэнцүү, тэгвэл:

h=2 × r;

g²=(2 × r)²+ r²=>

g=√5 × r=√(5 × S_o / pi)

Олдсон g ба r томьёог конусын нийт талбайн илэрхийлэлд орлуулах ёстой. Бид дараахыг авна:

S=S_o+ pi × √(S_o / pi) × √(5 × S _o /pi)=S_o × (1 + √5)

Үүссэн илэрхийлэлд бид суурийн талбайг S_o орлуулж, хариултыг бичнэ: S ≈ 161.8 см².