Конусын эзэлхүүнийг тодорхойлох томъёо. Асуудлыг шийдэх жишээ

2024 Зохиолч: Angel Austin | [email protected]. Хамгийн сүүлд өөрчлөгдсөн: 2023-12-17 05:36

Ахлах сургуульд стереометрийн судалгаанд хамрагдсан сурагч бүр боргоцой тааралдсан. Энэхүү орон зайн дүрсийн хоёр чухал шинж чанар нь гадаргуугийн талбай ба эзэлхүүн юм. Энэ нийтлэлд бид дугуй конусын эзэлхүүнийг хэрхэн олохыг харуулах болно.

Тэгш өнцөгт гурвалжны эргэлтийн дүрс болох дугуй конус

Өгүүллийн сэдэв рүү шууд орохын өмнө конусыг геометрийн үүднээс дүрслэх шаардлагатай.

Тэгш өнцөгт гурвалжин байг. Хэрэв та хөлийнхөө аль нэгийг тойруулан эргүүлбэл энэ үйлдлийн үр дүн нь доорх зурагт үзүүлсэн хүссэн дүрс болно.

Энд AB хөл нь конусын тэнхлэгийн нэг хэсэг бөгөөд урт нь зургийн өндөртэй тохирч байна. Хоёрдахь хөл (CA сегмент) нь конусын радиус болно. Эргэлтийн үед энэ нь зургийн суурийг хязгаарласан тойргийг дүрслэх болно. Гипотенуз BC-ийг зургийн generatrix буюу түүний үүсгэгч гэж нэрлэдэг. В цэг нь конусын цорын ганц орой юм.

АВС гурвалжны шинж чанаруудыг өгвөл бид g generatrix, r радиус, h өндөр хоорондын хамаарлыг дараах байдлаар бичиж болно.тэгш байдал:

g²=h²+ r²

Энэ томьёо нь тухайн зурагтай холбоотой геометрийн олон асуудлыг шийдвэрлэхэд тустай.

Конус эзэлхүүний томъёо

Аливаа орон зайн дүрсийн эзэлхүүн нь энэ зургийн гадаргуугаар хязгаарлагдах орон зайн талбай юм. Конусын хувьд ийм хоёр гадаргуу байдаг:

1. Хажуу буюу конус хэлбэртэй. Энэ нь бүх төрлийн үүсгэгчээр үүсгэгддэг.
2. Сан. Энэ тохиолдолд тойрог байна.

Конусны эзэлхүүнийг тодорхойлох томъёог ол. Үүнийг хийхийн тулд бид үүнийг суурьтай зэрэгцүүлэн олон давхаргаар оюун ухаанаараа таслав. Давхарга бүр нь dx зузаантай бөгөөд энэ нь тэг байх хандлагатай байдаг. Зургийн дээд хэсгээс x зайд байгаа давхаргын S_x талбай нь дараах илэрхийлэлтэй тэнцүү байна:

S_x=pir²x²/h ²

Энэ илэрхийллийн үнэн зөвийг x=0 ба x=h утгуудыг орлуулах замаар зөн совингоор шалгаж болно. Эхний тохиолдолд бид тэгтэй тэнцүү талбайг авах болно, хоёр дахь тохиолдолд энэ нь дугуй суурийн талбайтай тэнцүү байх болно.

Конусын эзэлхүүнийг тодорхойлохын тулд та давхарга бүрийн жижиг "эзлэхүүн"-ийг нэмэх хэрэгтэй, өөрөөр хэлбэл интеграл тооцооллыг ашиглах хэрэгтэй:

V=∫₀^h(pir²x ²/h²dx)=pir²/h² ∫₀^h(x²dx)

Энэ интегралыг тооцоод бид дугуй конусын эцсийн томъёонд хүрнэ:

V=1/3pir²h

Энэ томьёо нь дурын пирамидын эзэлхүүнийг тооцоолоход ашигладаг томьёотой бүрэн төстэй гэдгийг тэмдэглэх нь сонирхолтой юм. Энэ давхцал нь санамсаргүй тохиолдол биш, учир нь аливаа пирамид ирмэгийн тоо нь хязгааргүй болтлоо өсөхөд конус болдог.

Эзлэхүүнийг тооцоолох асуудал

V боть нь үүсмэл томъёог ашиглахыг харуулах асуудлыг шийдэх жишээ өгөх нь ашигтай.

Суурийн талбай нь 37 см² бөгөөд зургийн үүсгэгч нь радиусаас гурав дахин их хэмжээтэй дугуй конус өгөгдсөн. Конусын хэмжээ хэд вэ?

Хэрэв бид h өндөр ба r радиус гэсэн хоёр хэмжигдэхүүнийг мэддэг бол эзлэхүүний томьёог ашиглах эрхтэй. Бодлогын нөхцөлийн дагуу тэдгээрийг тодорхойлох томьёог олцгооё.

Радиусыг S_o тойргийн талбайг мэдэж тооцоолж болно, бидэнд:

байна

S_o=pir²=>

r=√(S_o/pi)

Бодлогын нөхцөлийг ашиглан бид g генераторын тэгш байдлыг бичнэ:

g=3r=3√(S_o/pi)

r ба g-ийн томьёог мэдэж, h өндрийг тооцоол:

h=√(g²- r²)=√(9S_o /pi - S_o/pi)=√(8S_o/pi)

Бид шаардлагатай бүх параметрүүдийг олсон. Одоо тэдгээрийг V:

-ийн томъёонд оруулах цаг боллоо.

V=1/3pir²h=1/3piS_o/pi√ (8S_o/pi)=S_o/3√(8S_o /pi)

Орлуулахад үлдлээсуурь талбай S_o ба эзлэхүүний утгыг тооцоолно: V=119.75 см³.