Геометр бол орон зай дахь бүтэц, тэдгээрийн хоорондын хамаарлыг судалдаг математикийн салбар юм. Хариуд нь энэ нь бас хэсгүүдээс бүрддэг бөгөөд тэдгээрийн нэг нь стереометр юм. Энэ нь сансар огторгуйд байрлах эзэлхүүний дүрсүүдийн шинж чанарыг судлах боломжийг олгодог: шоо, пирамид, бөмбөг, конус, цилиндр гэх мэт.
Конус гэдэг нь конус гадаргуу ба генераторуудынх нь үзүүрүүд байрлах хавтгайг холбосон Евклидийн орон зайд орших бие юм. Түүний үүсэх нь тэгш өнцөгт гурвалжны аль нэг хөлийг нь тойрон эргэх явцад үүсдэг тул хувьсгалт биетүүдэд хамаарна.
Конус бүрэлдэхүүн
Дараах төрлийн конусуудыг ялгадаг: ташуу (эсвэл ташуу) ба шулуун. Ташуу гэдэг нь тэнхлэг нь суурийн төвтэй зөв өнцгөөр биш огтлолцдог тэнхлэг юм. Энэ шалтгааны улмаас ийм конусын өндөр нь тэнхлэгтэй давхцдаггүй, учир нь энэ нь биеийн дээд хэсгээс хавтгайд нь доошилсон сегмент юм.90°-т суурьтай.
Тэнхлэг нь сууриндаа перпендикуляр байдаг тэр конусыг шулуун конус гэнэ. Ийм геометрийн биеийн тэнхлэг ба өндөр нь түүний орой нь суурийн голчны төвөөс дээш байрладаг тул давхцдаг.
Конус нь дараах элементүүдээс бүрдэнэ:
- Түүний суурь болох тойрог.
- Хажуу.
- Суурийн хавтгайд ороогүй цэгийг конусын орой гэж нэрлэдэг.
- Геометр биеийн суурь ба дээд хэсгийн тойргийн цэгүүдийг холбосон сегментүүд.
Эдгээр бүх сегментүүд нь конусын генераторууд юм. Тэдгээр нь геометрийн биеийн суурь руу налуу бөгөөд баруун конусын хувьд орой нь суурийн тойргийн цэгүүдээс ижил зайд байрладаг тул тэдгээрийн төсөөлөл тэнцүү байна. Тиймээс бид ердийн (шулуун) конус дахь генераторууд тэнцүү, өөрөөр хэлбэл ижил урттай бөгөөд тэнхлэг (эсвэл өндөр) ба суурьтай ижил өнцөг үүсгэдэг гэж бид дүгнэж болно.
Хувьсгалын ташуу (эсвэл налуу) биед орой нь суурийн хавтгайн төвтэй харьцуулахад шилждэг тул ийм биеийн генераторууд нь өөр өөр зайд байрладаг тул өөр өөр урт, проекцтэй байдаг. суурийн тойргийн дурын хоёр цэгээс. Үүнээс гадна тэдгээрийн хоорондох өнцөг болон конусын өндөр нь бас өөр байх болно.
Баруун конус дахь генераторуудын урт
Өмнө нь бичсэнчлэн, эргэлтийн шулуун геометрийн биеийн өндөр нь суурийн хавтгайд перпендикуляр байна. Ийнхүү суурийн үүсгэгч, өндөр, радиус нь конус дотор тэгш өнцөгт гурвалжинг үүсгэнэ.
Өөрөөр хэлбэл, суурийн радиус ба өндрийг мэдэж, Пифагорын теоремын томъёог ашиглан та үүсгэгчийн уртыг тооцоолох боломжтой бөгөөд энэ нь суурийн радиус ба өндрийн квадратуудын нийлбэртэй тэнцүү байх болно. өндөр:
l2 =r2+ h2 эсвэл l=√r 2 + h2
энд l нь generatrix;
r – радиус;
ц – өндөр.
Ташуу конус дахь үүсгэгч
Ташуу эсвэл ташуу конус дахь генераторууд ижил урттай биш гэдгийг үндэслэн нэмэлт хийц, тооцоололгүйгээр тэдгээрийг тооцоолох боломжгүй болно.
Юуны өмнө та өндөр, тэнхлэгийн урт, суурийн радиусыг мэдэх хэрэгтэй.
Энэ өгөгдөлтэй бол та Пифагорын теоремын томъёог ашиглан тэнхлэг ба өндрийн хоорондох радиусын хэсгийг тооцоолж болно:
r1=√k2 - h2
энд r1 нь тэнхлэг ба өндрийн хоорондох радиусын хэсэг;
k – тэнхлэгийн урт;
ц – өндөр.
Тэнхлэг ба өндрийн хооронд байрлах радиус (r) ба түүний хэсгийг (r1) нэмсний үр дүнд баруун талын бүтэн талыг олж мэдэх боломжтой. конусын үүсгүүрээс үүссэн гурвалжин, түүний өндөр ба диаметрийн хэсэг:
R=r + r1
Энд R нь суурийн өндөр, үүсгэгч ба диаметрийн нэг хэсгээс үүссэн гурвалжны хөл;
r – үндсэн радиус;
r1 – тэнхлэг ба өндрийн хоорондох радиусын хэсэг.
Пифагорын теоремын ижил томьёог ашиглан конусын үүслийн уртыг олох боломжтой:
l=√h2+ R2
эсвэл R-г тусад нь тооцохгүйгээр хоёр томьёог нэг болгон нэгтгэнэ үү:
l=√h2 + (r + r1)2.
Энэ нь шулуун эсвэл ташуу конус эсэхээс үл хамааран ямар төрлийн өгөгдөл оруулахаас үл хамааран үүсгэгчийн уртыг олох бүх аргууд нь үргэлж нэг үр дүнд хүрдэг - Пифагорын теоремыг ашиглах.
Конус хэсэг
Конусын тэнхлэгийн хэсэг нь түүний тэнхлэг эсвэл өндрийн дагуу дайран өнгөрөх хавтгай юм. Баруун конус дахь ийм хэсэг нь ижил өнцөгт гурвалжин бөгөөд гурвалжны өндөр нь биеийн өндөр, түүний талууд нь генераторууд, суурь нь суурийн диаметр юм. Адил талт геометрийн биед тэнхлэгийн хэсэг нь тэгш талт гурвалжин болно, учир нь энэ конус дахь суурийн диаметр ба генераторуудын диаметр тэнцүү байна.
Шулуун конус дахь тэнхлэгийн огтлолын хавтгай нь түүний тэгш хэмийн хавтгай юм. Үүний шалтгаан нь түүний дээд хэсэг нь суурийн төвөөс дээш байрладаг, өөрөөр хэлбэл тэнхлэгийн хэсгийн хавтгай нь конусыг хоёр ижил хэсэгт хуваадаг.
Налуу биетийн өндөр ба тэнхлэг нь таарахгүй тул тэнхлэгийн хэсгийн хавтгайд өндрийг оруулахгүй байж болно. Хэрэв ийм конус дотор тэнхлэгийн хэсгүүдийн багц барих боломжтой бол энэ нь зөвхөн нэг нөхцөлийг дагаж мөрдөх ёстой - энэ нь зөвхөн тэнхлэгээр дамжин өнгөрөх ёстой, дараа нь онгоцны зөвхөн нэг тэнхлэгийн хэсэг нь өндөрт хамаарах болно. Энэ конусыг зурж болно, учир нь нөхцлийн тоо нэмэгдэж, мэдэгдэж байгаачлан хоёр шугам (хамтдаа) -д хамаарах боломжтой.зөвхөн нэг онгоц.
Хэсгийн хэсэг
Түрүүнд дурдсан конусын тэнхлэгийн хэсэг нь гурвалжин юм. Үүний үндсэн дээр гурвалжны талбайн томъёог ашиглан түүний талбайг тооцоолж болно:
S=1/2dцаг эсвэл S=1/22rh
Энд S нь хөндлөн огтлолын талбай;
d – үндсэн диаметр;
r – радиус;
ц – өндөр.
Ташуу эсвэл ташуу конусын хувьд тэнхлэгийн дагуух хэсэг нь мөн гурвалжин байх тул түүний хөндлөн огтлолын талбайг ижил төстэй байдлаар тооцно.
Эзлэхүүн
Конус нь гурван хэмжээст орон зайд гурван хэмжээст дүрс учраас бид түүний эзлэхүүнийг тооцоолж болно. Конусын эзэлхүүн нь энэ биеийг эзэлхүүний нэгжээр, өөрөөр хэлбэл m3-ээр илэрхийлдэг тоо юм. Эдгээр хоёр төрлийн биеийн томьёо нь ялгаатай биш тул тооцоолол нь шулуун эсвэл ташуу (ташуу) эсэхээс хамаарахгүй.
Түрүүн хэлсэнчлэн тэгш өнцөгт гурвалжны нэг хөлийг нь эргүүлснээр зөв конус үүсдэг. Налуу эсвэл ташуу конус нь өөр өөр хэлбэрээр үүсдэг, учир нь түүний өндрийг биеийн суурийн хавтгайн төвөөс холдуулдаг. Гэсэн хэдий ч бүтцийн ийм ялгаа нь түүний эзлэхүүнийг тооцоолох аргад нөлөөлөхгүй.
Эзлэхүүний тооцоо
Аливаа конусын эзэлхүүний томъёо дараах байдалтай байна:
V=1/3πhr2
V нь конусын эзэлхүүн;
цаг – өндөр;
r – радиус;
π - тогтмол 3, 14-тэй тэнцүү.
Конусын эзэлхүүнийг тооцоолохын тулд биеийн суурийн өндөр ба радиусын өгөгдөлтэй байх шаардлагатай.
Биеийн өндрийг тооцоолохын тулд суурийн радиус болон түүний үүсгэгчийн уртыг мэдэх хэрэгтэй. Радиус, өндөр, үүсгэгчийг тэгш өнцөгт гурвалжинд нэгтгэсэн тул өндрийг Пифагорын теоремын томъёогоор тооцоолж болно (a2+ b2=c 2 эсвэл манай тохиолдолд h2+ r2=l2 , энд l - generatrix). Энэ тохиолдолд гипотенуз ба нөгөө хөлийн квадратуудын ялгааны квадрат язгуурыг гаргаж өндрийг тооцоолно:
a=√c2- b2
Өөрөөр хэлбэл конусын өндөр нь үүсгэгчийн уртын квадрат ба суурийн радиусын квадратын ялгаанаас квадрат язгуур гаргасны дараа олж авсан утгатай тэнцүү байх болно:
h=√l2 - r2
Энэ аргыг ашиглан өндрийг тооцоолж, суурийнх нь радиусыг мэдсэнээр конусын эзэлхүүнийг тооцоолж болно. Энэ тохиолдолд generatrix нь тооцоололд туслах элементийн үүрэг гүйцэтгэдэг тул чухал үүрэг гүйцэтгэдэг.
Үүний нэгэн адил, хэрэв та биеийн өндөр болон түүний генерацийн уртыг мэддэг бол түүний суурийн радиусыг генийн квадрат ба өндрийн квадратын зөрүүний квадрат язгуурыг гаргаж авах замаар олж болно.:
r=√l2 - h2
Дараа нь дээрхтэй ижил томъёог ашиглан конусын эзэлхүүнийг тооцоол.
Налуу конусын хэмжээ
Бүх төрлийн эргэлтийн биетийн конусын эзэлхүүний томьёо ижил байдаг тул түүний тооцооны ялгаа нь өндрийг хайх явдал юм.
Налуу конусын өндрийг олохын тулд оролтын өгөгдөлд үүсгэгчийн урт, суурийн радиус, төвийн хоорондох зай зэргийг багтаасан байх ёстой.суурь ба түүний суурийн хавтгайтай биеийн өндрийн огтлолцол. Үүнийг мэдсэнээр та тэгш өнцөгт гурвалжны суурь болох суурийн диаметрийн хэсгийг хялбархан тооцоолж болно (өндөр, үүсгэгч ба суурийн хавтгайгаар үүсгэгдсэн). Дараа нь Пифагорын теоремыг ашиглан конусын өндөр, дараа нь түүний эзэлхүүнийг тооцоол.
