Тооны систем - энэ юу вэ? Энэ асуултын хариултыг мэдэхгүй ч гэсэн бидний хүн нэг бүр амьдралдаа тооллын системийг өөрийн эрхгүй ашигладаг бөгөөд үүнийг сэжиглэдэггүй. Энэ нь зөв, олон тооны! Энэ нь нэг биш, хэд хэдэн гэсэн үг юм. Байршлын бус тооллын системийн жишээг хэлэхээсээ өмнө энэ асуудлыг ойлгож, мөн байрлалын системийн талаар ярилцъя.
Нэхэмжлэх шаардлагатай
Эрт дээр үеэс хүмүүс тоолох хэрэгцээтэй байсан, өөрөөр хэлбэл тэд аливаа зүйл, үйл явдлын тоон төсөөллийг ямар нэгэн байдлаар илэрхийлэх шаардлагатай гэдгийг зөн совингоор ойлгодог. Тархи нь тоолоход объект ашиглах шаардлагатай гэж үзсэн. Хуруунууд үргэлж хамгийн тохиромжтой байдаг бөгөөд энэ нь ойлгомжтой, учир нь тэдгээр нь үргэлж бэлэн байдаг (ховор тохиолдлоор).
Тиймээс хүн төрөлхтний эртний төлөөлөгчид шууд утгаараа хуруугаа нугалж, жишээлбэл үхсэн мамонтуудын тоог зааж өгөх ёстой байв. Бүртгэлийн ийм элементүүд хараахан нэргүй байсан бөгөөд зөвхөн харааны зураг, харьцуулалт л байсан.
Орчин үеийн байрлалын тооллын систем
Тооны систем нь тодорхой тэмдэгт (тэмдэг эсвэл үсэг) ашиглан тоон утга, хэмжигдэхүүнийг илэрхийлэх арга (арга) юм.
Байрлалын бус тооллын системийн жишээг өгөхөөс өмнө тоолохдоо байрлалын болон байрлалын бус гэж юу болохыг ойлгох шаардлагатай. Олон тооны байрлалын тооллын системүүд байдаг. Одоо мэдлэгийн янз бүрийн салбарт дараахь зүйлийг ашиглаж байна: хоёртын (зөвхөн хоёр чухал элемент орно: 0 ба 1), арван зургаатын тоо (тэмдэгтүүдийн тоо - 6), наймтын (тэмдэгтийн - 8), арван хоёртын (арван хоёр тэмдэгт), арван зургаан тоот (арван зургаан тэмдэгт орно). тэмдэгтүүд). Түүнчлэн, систем дэх тэмдэгтүүдийн мөр бүр тэгээс эхэлдэг. Орчин үеийн компьютерийн технологи нь хоёртын код буюу хоёртын байрлалын тооллын системд суурилдаг.
Аравтын тооны систем
Байршил гэдэг нь тухайн тооны шинж тэмдэг байрласан янз бүрийн зэрэглэлийн чухал байр суурьтай байхыг хэлнэ. Үүнийг аравтын бутархай тооллын системийн жишээг ашиглан хамгийн сайн харуулж болно. Эцсийн эцэст бид үүнийг багаасаа хэрэглэж заншсан. Энэ системд арван тэмдэг байдаг: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. 327 дугаарыг ав. Энэ нь гурван тэмдэгтэй: 3, 2, 7. Тэд тус бүр дээр байрладаг. өөрийн байр суурь (газар). Долоо нь дан утгуудад (нэгж), хоёр нь арав, гурав нь хэдэн зуунд зориулагдсан байр суурийг эзэлдэг. Энэ тоо нь гурван оронтой тул дотор нь зөвхөн гурван байрлал байна.
Дээрх зүйл дээр үндэслэн энэгурван оронтой аравтын тоог дараах байдлаар тодорхойлж болно: гурван зуу, хоёр арав, долоон нэгж. Түүнчлэн, албан тушаалын ач холбогдлыг (чухал) зүүнээс баруун тийш, сул байрлалаас (нэг) илүү хүчтэй (зуу) хүртэл тоолдог.
Аравтын бутархайн тооллын системд бид маш тухтай санагддаг. Бид гартаа арван хуруутай, хөл дээрээ адилхан. Таван дээр тав - хурууны ачаар бид бага наснаасаа хэдэн арван хүнийг амархан төсөөлдөг. Тийм ч учраас хүүхдүүд тав, аравын үржүүлэх хүснэгтийг сурахад хялбар байдаг. Мөнгөн тэмдэгтийг тав, араваар үржүүлэх (үлдэгдэлгүй хуваах) тоолоход суралцахад маш хялбар байдаг.
Бусад байрлалын тооллын систем
Бидний тархи зөвхөн аравтын бутархай тоолох системд бус зарим нэг тооцоолол хийхэд дассан гэдгийг хэлэх хэрэгтэй. Өнөөг хүртэл хүн төрөлхтөн зургаа, арван хоёр аравтын тооллын системийг ашиглаж ирсэн. Өөрөөр хэлбэл, ийм системд зөвхөн зургаан тэмдэгт байдаг (арван аравтын тоогоор): 0, 1, 2, 3, 4, 5. 12-д арван хоёр нь байдаг: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, энд A - 10-ын тоог, B - 11-ийн тоог илэрхийлнэ (учир нь тэмдэг нь нэг байх ёстой).
Өөрийгөө шүү. Бид цагийг зургаад тооцдог биз дээ? Нэг цаг бол жаран минут (зургаан арав), нэг өдөр бол хорин дөрвөн цаг (хоёр дахин арван хоёр), жил арван хоёр сар гэх мэт… Бүх цагийн интервалууд зургаа болон арван хоёр аравтын цувралд амархан багтдаг. Гэвч бид үүнд дассан тул цаг тоолохдоо энэ тухай огт боддоггүй.
Байрлалын бус тооны систем. Нэгдмэл
Энэ нь юу болохыг тодорхойлох шаардлагатай - байрлалын бус тооллын систем. Энэ бол тооны тэмдгийн байрлал байхгүй, эсвэл тоог "унших" зарчим нь тухайн байрлалаас хамаардаггүй дохионы систем юм. Мөн бичих, тооцоолох өөрийн гэсэн дүрэмтэй.
Байрлалын бус тооны системийн жишээг өгье. Эртний цаг руу буцъя. Хүмүүст данс хэрэгтэй байсан бөгөөд хамгийн энгийн шинэ бүтээл болох зангилаа бий болсон. Байршлын бус тооллын систем нь зангилаа хэлбэртэй. Нэг зүйлийг (цагаан будаа, бух, өвс гэх мэт) худалдаж авах, худалдах үед тоолж, утсаар зангидсан.
Үүний үр дүнд олон уут будаа худалдаж авснаар олс дээр олон зангилаа хийсэн (жишээ нь). Гэхдээ энэ нь модон саваа, чулуун хавтан гэх мэт ховил байж болно. Ийм тооны системийг зангилаа гэж нэрлэдэг болсон. Тэр хоёр дахь нэртэй - нэгдмэл эсвэл ганц бие ("uno" нь Латинаар "нэг" гэсэн утгатай).
Энэ тооллын систем нь байрлалын бус гэдэг нь тодорхой болж байна. Эцсийн эцэст, энэ нь (албан тушаал) зөвхөн нэг байхад бид ямар албан тушаалын тухай ярих вэ! Хачирхалтай нь дэлхийн зарим хэсэгт нэгдмэл бус байрлалын тооллын системийг ашигласаар байна.
Мөн байрлалын бус тооллын системд:
- Ром (тоо бичихэд үсэг хэрэглэдэг - Латин тэмдэгт);
- эртний египет (Ромтой адил тэмдэгтүүдийг бас ашигласан);
- цагаан толгой (цагаан толгойн үсгийг ашигласан);
- Вавилон хэл (дөрвөлжин бичиг - шууд ашигласан баурвуу "шаантаг");
- Грек (мөн цагаан толгойн үсэг гэж нэрлэдэг).
Ром тооны систем
Эртний Ромын эзэнт гүрэн, шинжлэх ухаан нь маш дэвшилттэй байсан. Ромчууд дэлхийд шинжлэх ухаан, урлагийн олон ашигтай шинэ бүтээлүүд, түүний дотор тоолох системээ өгсөн. Хоёр зуун жилийн өмнө Ром тоогоор бизнесийн баримт бичигт мөнгөн дүнг тэмдэглэдэг байсан (ингэснээр хуурамчаар үйлдэхээс зайлсхийсэн).
Ром тоолол бол байрлалын бус тооллын системийн жишээ бөгөөд бид үүнийг одоо мэднэ. Түүнчлэн, Ромын системийг идэвхтэй ашигладаг боловч математик тооцоололд биш, харин нарийн төвлөрсөн үйлдлүүдэд ашигладаг. Жишээлбэл, Ромын тоонуудын тусламжтайгаар ном хэвлэлд түүхэн он сар өдөр, олон зуун жил, боть, хэсэг, бүлгүүдийн тоог зааж өгөх нь заншилтай байдаг. Ромын тэмдгүүдийг ихэвчлэн цагны дугаарыг чимэглэхэд ашигладаг. Мөн Ромын тоолол нь байрлалын бус тооны системийн жишээ юм.
Ромчууд тоог латин үсгээр тэмдэглэдэг байв. Түүгээр ч барахгүй тодорхой дүрмийн дагуу тоо бичдэг байсан. Ром тооллын системд бүх тоог үл хамаарах зүйлгүйгээр бичсэн гол тэмдэгтүүдийн жагсаалт байдаг.
| Тоо (аравтын) | Ром тоо (Латин цагаан толгойн үсэг) |
| 1 | Би |
| 5 | V |
| 10 | X |
| 50 | L |
| 100 | C |
| 500 | D |
| 1000 | M |
Тоо бичих дүрэм
Тэмдгийг (Латин үсэг) нэмж, тэдгээрийн нийлбэрийг тооцоолсноор шаардлагатай тоог олж авсан. Ромын системд тэмдгүүдийг хэрхэн бэлгэдлээр бичсэн, тэдгээрийг хэрхэн "унших" ёстойг авч үзье. Ромын байрлалын бус тооллын системийн тоо үүсэх үндсэн хуулиудыг жагсаацгаая.
- Дөрөв - IV тоо нь хоёр тэмдэгтээс бүрдэнэ (I, V - нэг ба тав). Энэ нь зүүн талд байгаа бол томоос жижиг тэмдгийг хасах замаар олж авна. Жижиг тэмдэг баруун талд байрлах үед та нэмэх хэрэгтэй бөгөөд дараа нь зургаа - VI дугаарыг авна.
- Бие биенийхээ хажууд хоёр ижил тэмдгийг нэмэх шаардлагатай. Жишээ нь: SS нь 200 (C нь 100), эсвэл XX нь 20.
- Хэрэв тооны эхний тэмдэг нь хоёр дахь тэмдэгээс бага бол энэ эгнээний гурав дахь тэмдэгт нь эхнийхээс ч бага утгатай тэмдэгт байж болно. Төөрөгдөл гаргахгүйн тулд дараах жишээг үзүүлэв: CDX - 410 (аравтын тоогоор).
- Зарим том тоог янз бүрээр илэрхийлж болох нь Ромын тоолох системийн нэг сул тал юм. Зарим жишээ энд байна: MVM (Ром)=1000 + (1000 - 5)=1995 (аравтын тоо) эсвэл MDVD=1000 + 500 + (500 - 5)=1995. Энэ нь бүгд биш.
Арифметик заль мэх
Байршилгүй тооллын систем нь заримдаа тоо үүсгэх, тэдгээрийг боловсруулах (тэдгээрийн үйлдэл) дүрмийн цогц цогц юм. Байршлын бус тооллын систем дэх арифметик үйлдлүүд нь тийм ч хялбар биш юморчин үеийн хүмүүсийн хувьд. Бид эртний Ромын математикчдад атаархдаггүй!
Нэмэх жишээ. Хоёр тоог нэмэхийг оролдъё: XIX + XXVI=XXXV, энэ ажлыг хоёр үе шаттайгаар гүйцэтгэдэг:
- Эхлээд тоонуудын жижиг бутархайг аваад нэмнэ: IX + VI=XV (V-ийн дараа I, X-ээс өмнө би бие биенээ "устгах").
- Хоёр дахь - хоёр тооны том бутархай нэмэх: X + XX=XXX.
Хасах нь арай илүү төвөгтэй. Багасгах тоо нь түүний бүрэлдэхүүн хэсгүүдэд хуваагдах ёстой бөгөөд дараа нь давхардсан тэмдэгтүүд нь хасагдах тоонд буурч, хасагдах ёстой. 500-аас 263-ыг хас:
D - CCLXIII=CCCCLXXXXXVIIIII - CCLXIII=CCXXXVII.
Ром тоогоор үржүүлэх. Ромчуудад арифметик үйлдлийн шинж тэмдэг байгаагүй, зүгээр л үгээр тэмдэглэдэг байсныг энэ дашрамд дурдах хэрэгтэй.
Олон тооны тоог үржүүлэгчийн тэмдэг тус бүрээр үржүүлэх шаардлагатай болсон тул хэд хэдэн бүтээгдэхүүнийг нэмэх шаардлагатай болсон. Олон гишүүнтүүдийг ингэж үржүүлдэг.
Хуваалтын хувьд Ромын тооны систем дэх энэ үйл явц хамгийн хэцүү байсан бөгөөд одоо ч хэвээр байна. Эртний Ромын абакусыг энд ашигласан. Түүнтэй ажиллахын тулд хүмүүсийг тусгайлан бэлтгэсэн (мөн хүн бүр ийм шинжлэх ухааныг эзэмшиж чадаагүй).
Байршилгүй системийн сул талуудын талаар
Дээр дурьдсанчлан байрлалын бус тооллын систем нь сул тал, ашиглахад тохиромжгүй талуудтай. Unary нь энгийн тоолоход хангалттай энгийн боловч арифметик болон нарийн төвөгтэй тооцооллын хувьд тийм биш юм.хангалттай сайн.
Ром хэлэнд их тоо үүсгэх нэгдсэн дүрэм байдаггүй бөгөөд төөрөгдөл үүсдэг бөгөөд үүнд тооцоолол хийхэд маш хэцүү байдаг. Мөн эртний Ромчуудын өөрсдийн аргаар бичиж чадах хамгийн том тоо нь 100,000 байсан.
