Тэгш бус байдал ба тэгш бус байдлын систем нь ахлах сургуулийн алгебрийн хичээлд заадаг сэдвүүдийн нэг юм. Хэцүү байдлын хувьд энэ нь хамгийн хэцүү биш, учир нь энэ нь энгийн дүрмүүдтэй байдаг (тэдгээрийн талаар бага зэрэг дараа). Дүрмээр бол сургуулийн сурагчид тэгш бус байдлын системийн шийдлийг маш амархан сурдаг. Энэ нь мөн л багш нар шавь нараа энэ сэдвээр зүгээр л "сургадаг"-тай холбоотой. Тэд үүнийг хийхээс өөр аргагүй, учир нь үүнийг ирээдүйд бусад математик хэмжигдэхүүнүүдийн тусламжтайгаар судалж, OGE болон Улсын нэгдсэн шалгалтанд хамруулдаг. Сургуулийн сурах бичигт тэгш бус байдал, тэгш бус байдлын тогтолцооны сэдвийг маш нарийн тусгасан байдаг тул хэрэв та үүнийг судлах гэж байгаа бол тэдгээрт хандах нь дээр. Энэ нийтлэл нь зөвхөн олон материалын тайлбар бөгөөд зарим орхигдуулсан зүйл байж болзошгүй.
Тэгш бус байдлын системийн тухай ойлголт
Шинжлэх ухааны хэл рүү хандвал "систем" гэсэн ойлголтыг тодорхойлж болнотэгш бус байдал". Энэ бол хэд хэдэн тэгш бус байдлыг илэрхийлдэг ийм математик загвар юм. Мэдээжийн хэрэг, энэ загвар нь шийдлийг шаарддаг бөгөөд энэ нь даалгаварт санал болгож буй системийн бүх тэгш бус байдлын ерөнхий хариулт байх болно (ихэвчлэн үүнийг ингэж бичдэг. жишээ: "4 x + 1 > 2 ба 30 - x > 6… тэгш бус байдлын системийг шийд.").
Тэгш бус байдлын систем ба тэгшитгэлийн систем
Шинэ сэдэв сурах явцад ихэвчлэн үл ойлголцол үүсдэг. Нэг талаас, бүх зүйл тодорхой, би даалгавраа шийдэж эхлэхийг илүүд үздэг, гэхдээ нөгөө талаас, зарим мөчүүд "сүүдэрт" үлддэг, тэдгээрийг сайн ойлгодоггүй. Мөн аль хэдийн олж авсан мэдлэгийн зарим элементүүдийг шинэ мэдлэгтэй холбож болно. Энэ давхцлын үр дүнд ихэвчлэн алдаа гардаг.
Тиймээс бид сэдвийнхээ шинжилгээг үргэлжлүүлэхийн өмнө тэгшитгэл ба тэгш бус байдлын ялгаа, тэдгээрийн тогтолцооны талаар эргэн санах хэрэгтэй. Үүнийг хийхийн тулд эдгээр математикийн ойлголтууд юу болохыг дахин нэг удаа тодруулах шаардлагатай байна. Тэгшитгэл нь үргэлж тэгш байдал бөгөөд энэ нь үргэлж ямар нэгэн зүйлтэй тэнцүү байдаг (математикт энэ үгийг "=" тэмдгээр тэмдэглэдэг). Тэгш бус байдал гэдэг нь нэг утга нөгөөгөөсөө их эсвэл бага байх, эсвэл тэдгээр нь ижил биш гэсэн баталгааг агуулсан загвар юм. Тиймээс, эхний тохиолдолд тэгш байдлын тухай ярих нь зүйтэй бөгөөд хоёрдугаарт, энэ нь хэчнээн ойлгомжтой сонсогдож байгаагаас үл хамаараннэр нь өөрөө, анхны өгөгдлийн тэгш бус байдлын тухай. Тэгшитгэл ба тэгш бус байдлын системүүд нь бие биенээсээ бараг ялгаатай байдаггүй бөгөөд тэдгээрийг шийдвэрлэх аргууд нь ижил байдаг. Цорын ганц ялгаа нь эхнийх нь тэгш бус байдлыг ашиглаж байхад хоёр дахь нь тэгш бус байдлыг ашиглаж байгаа явдал юм.
Тэгш бус байдлын төрлүүд
Тоон болон үл мэдэгдэх хувьсагчтай гэсэн хоёр төрлийн тэгш бус байдал байдаг. Эхний төрөлд бие биентэйгээ тэнцүү биш утгуудыг (тоо) өгдөг, жишээлбэл, 8 > 10. Хоёр дахь төрөл нь үл мэдэгдэх хувьсагч агуулсан тэгш бус байдал (Латин цагаан толгойн зарим үсгээр, ихэвчлэн X) байдаг. Энэ хувьсагчийг олох хэрэгтэй. Хэдэн хувьсагчтай байгаагаас хамааран математик загвар нь тэгш бус байдлыг нэг хувьсагчтай (нэг хувьсагчтай тэгш бус байдлын системийг бүрдүүлдэг) эсвэл хэд хэдэн хувьсагчтай (хэд хэдэн хувьсагчтай тэгш бус байдлын системийг бүрдүүлдэг) хооронд нь ялгадаг.
Сүүлийн хоёр төрлийг бүтээцийн зэрэг, шийдлийн нарийн төвөгтэй байдлын түвшингээс хамааран энгийн ба төвөгтэй гэж хуваадаг. Энгийнийг мөн шугаман тэгш бус байдал гэж нэрлэдэг. Тэд эргээд хатуу, хатуу бус гэж хуваагддаг. Нэг утга нь бага эсвэл илүү байх ёстой гэж хатуу "хэлдэг" тул энэ нь цэвэр тэгш бус байдал юм. Хэд хэдэн жишээ байна: 8 x + 9 > 2, 100 - 3 x > 5, гэх мэт. Хатуу бус зүйлд тэгш эрх багтана. Өөрөөр хэлбэл, нэг утга нь өөр утгаас их буюу тэнцүү байж болно ("≧" тэмдэг) эсвэл өөр утгаас бага эсвэл тэнцүү ("≦" тэмдэг). Дараалалтай хэвээр байнаТэгш бус байдлын хувьд хувьсагч нь язгуур дээр зогсдоггүй, квадрат, юунд ч хуваагддаггүй, тиймээс тэдгээрийг "энгийн" гэж нэрлэдэг. Нарийн төвөгтэй хувьсагчдад үл мэдэгдэх хувьсагч багтдаг бөгөөд тэдгээрийг олоход илүү математикийн үйлдлүүд шаардлагатай байдаг. Тэдгээр нь ихэвчлэн дөрвөлжин, шоо эсвэл үндэс дор байдаг, тэдгээр нь модульчлагдсан, логарифм, бутархай гэх мэт байж болно. Гэхдээ бидний даалгавар бол тэгш бус байдлын системийн шийдлийг ойлгох явдал тул шугаман тэгш бус байдлын системийн тухай ярих болно. Гэсэн хэдий ч үүнээс өмнө тэдний шинж чанарын талаар хэдэн үг хэлэх хэрэгтэй.
Тэгш бус байдлын шинж чанарууд
Тэгш бус байдлын шинж чанарууд нь дараах заалтуудыг агуулна:
- Хэрэв талуудын дарааллыг өөрчлөх үйлдлийг хийвэл тэгш бус байдлын тэмдэг урвуу болно (жишээлбэл, хэрэв t1 ≦ t2, дараа нь t 2 ≧ t1).
- Тэгш бус байдлын хоёр хэсэг нь ижил тоог өөртөө нэмэх боломжийг олгоно (жишээлбэл, хэрэв t1 ≦ t2, дараа нь t 1 + тоо ≦ t2 + тоо).
- Ижил чиглэлийн тэмдэгтэй хоёр ба түүнээс дээш тэгш бус байдал нь тэдгээрийн зүүн ба баруун хэсгийг нэмэх боломжийг олгоно (жишээлбэл, хэрэв t1 ≧ t2 бол , t3 ≧ t4, дараа нь t1 + t 3 ≧ t2 + t4).
- Тэгш бус байдлын хоёр хэсэг нь ижил эерэг тоогоор үржих буюу хуваагдахыг зөвшөөрдөг (жишээлбэл, хэрэв t1 ≦ t2ба тоо ≦ 0, дараа нь t1 ≧ тоо t2).
- Эерэг нөхцөлтэй, нэг чиглэлийн тэмдэгтэй хоёр ба түүнээс дээш тэгш бус байдлыг зөвшөөрнөбие биенээ үржүүлэх (жишээлбэл, хэрэв t1 ≦ t2, t3 ≦ t4, t1, t2, t3, т 4 ≧ 0 дараа нь t1 t3 ≦ t2 t4).
- Тэгш бус байдлын хоёр хэсэг нь өөрсдийгөө ижил сөрөг тоогоор үржүүлэх эсвэл хуваахыг зөвшөөрдөг боловч тэгш бус байдлын тэмдэг өөрчлөгдөнө (жишээлбэл, хэрэв t1 ≦ t2 ба ≦ 0 тоо, дараа нь t1 ≧ тоо t2).
- Бүх тэгш бус байдал нь шилжилттэй байна (жишээлбэл, хэрэв t1 ≦ t2 болон t2≦ t3, дараа нь t1 ≦ t3).
Одоо тэгш бус байдалтай холбоотой онолын үндсэн заалтуудыг судалсны дараа бид тэдгээрийн системийг шийдвэрлэх дүрмүүдийн талаар шууд авч үзэх боломжтой.
Тэгш бус байдлын системийн шийдэл. Ерөнхий мэдээлэл. Шийдэл
Дээр дурдсанчлан шийдэл нь өгөгдсөн системийн бүх тэгш бус байдалд тохирсон хувьсагчийн утгууд юм. Тэгш бус байдлын системийн шийдэл гэдэг нь эцсийн дүндээ бүхэл бүтэн системийн шийдэлд хүргэдэг эсвэл ямар ч шийдэлгүй гэдгийг батлах математик үйлдлүүдийн хэрэгжилт юм. Энэ тохиолдолд хувьсагч нь хоосон тооны олонлогийг хэлнэ (дараах байдлаар бичнэ: хувьсагчийг илэрхийлэх үсэг ∈ ("харьяалах" тэмдэг) ø ("хоосон олонлог" тэмдэг), жишээлбэл, x ∈ ø (Үүнийг дараах байдлаар уншина: "х" хувьсагч нь хоосон олонлогт хамаарна"). Тэгш бус байдлын системийг шийдэх хэд хэдэн арга байдаг.график, алгебр, орлуулах арга. Эдгээр нь хэд хэдэн үл мэдэгдэх хувьсагчтай математик загваруудыг хэлдэг гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Зөвхөн нэг байгаа тохиолдолд зайны аргыг ашиглана.
График арга
Хэд хэдэн үл мэдэгдэх (хоёр ба түүнээс дээш) тэгш бус байдлын системийг шийдэх боломжийг танд олгоно. Энэ аргын ачаар шугаман тэгш бус байдлын системийг маш хялбар бөгөөд хурдан шийддэг тул энэ нь хамгийн түгээмэл арга юм. Учир нь график зурах нь математикийн үйлдлүүдийг бичих хэмжээг бууруулдаг. Маш их ажил хийгдэж, бага зэрэг олон янз байхыг хүсч байвал үзэгнээсээ бага зэрэг завсарлага аваад, захирагчтай харандаа аваад, тэдний тусламжтайгаар цаашдын үйлдлээ үргэлжлүүлэх нь ялангуяа тааламжтай байдаг. Гэсэн хэдий ч та даалгавраа орхиж, оюун санааны үйл ажиллагаагаа зурах руу шилжүүлэх хэрэгтэй болдог тул зарим хүмүүс энэ аргад дургүй байдаг. Гэсэн хэдий ч энэ нь маш үр дүнтэй арга юм.
Тэгш бус байдлын системийг график аргаар шийдвэрлэхийн тулд тэгш бус байдал бүрийн бүх гишүүдийг зүүн тал руу нь шилжүүлэх шаардлагатай. Тэмдгийг урвуу болгож, баруун талд тэгийг бичиж, тэгш бус байдал бүрийг тусад нь бичнэ. Үүний үр дүнд тэгш бус байдлаас функцүүд гарна. Үүний дараа та харандаа, захирагч авч болно: одоо та олж авсан функц бүрийн графикийг зурах хэрэгтэй. Тэдний огтлолцлын интервалд байх бүх тооны багц нь тэгш бус байдлын системийн шийдэл болно.
Алгебрийн арга
Хоёр үл мэдэгдэх хувьсагчтай тэгш бус байдлын системийг шийдэх боломжийг танд олгоно. Тэгш бус байдал нь мөн адил тэгш бус тэмдэгтэй байх ёстой (өөрөөр хэлбэл тэдгээр нь зөвхөн "их" тэмдэг эсвэл зөвхөн "бага" тэмдэг гэх мэтийг агуулсан байх ёстой) Хэдийгээр хязгаарлалттай ч энэ арга нь бас илүү төвөгтэй байдаг. Үүнийг хоёр алхамаар хэрэгжүүлнэ.
Эхнийх нь үл мэдэгдэх хувьсагчийн аль нэгийг арилгах явдал юм. Эхлээд та үүнийг сонгох хэрэгтэй, дараа нь энэ хувьсагчийн өмнө тоо байгаа эсэхийг шалгана уу. Хэрэв байхгүй бол (хувьсагч нь нэг үсэг шиг харагдах болно) бид юу ч өөрчлөхгүй, хэрэв байгаа бол (хувьсагчийн төрөл нь жишээлбэл, 5y эсвэл 12y байх болно) эсэхийг шалгах шаардлагатай. тэгш бус байдал бүрт сонгосон хувьсагчийн өмнөх тоо ижил байна. Үүнийг хийхийн тулд тэгш бус байдлын гишүүн бүрийг нийтлэг хүчин зүйлээр үржүүлэх хэрэгтэй, жишээлбэл, эхний тэгш бус байдалд 3y, хоёр дахь нь 5y гэж бичсэн бол эхний тэгш бус байдлын бүх гишүүдийг 5-аар үржүүлэх хэрэгтэй., хоёр дахь нь 3. Та 15y ба 15y-ийг авна.
Шийдвэрийн хоёр дахь шат. Тэгш бус байдал бүрийн зүүн талыг баруун талд нь шилжүүлж, нэр томьёо бүрийн тэмдгийг эсрэг тал руу нь шилжүүлэх шаардлагатай бөгөөд баруун талд тэг гэж бичнэ. Дараа нь хөгжилтэй хэсэг ирдэг: сонгосон хувьсагчаас (өөрөөр "багасгах" гэж нэрлэдэг) салж, тэгш бус байдлыг нэмж оруулдаг. Та шийдвэрлэх шаардлагатай нэг хувьсагчтай тэгш бус байдлыг олж авах болно. Үүний дараа та ижил зүйлийг хийх хэрэгтэй, зөвхөн өөр үл мэдэгдэх хувьсагчтай. Хүлээн авсан үр дүн нь системийн шийдэл байх болно.
Орлуулах арга
Шинэ хувьсагчийг нэвтрүүлэх боломж гарсан үед тэгш бус байдлын системийг шийдэх боломжийг танд олгоно. Ихэнхдээ энэ аргыг тэгш бус байдлын нэг гишүүний үл мэдэгдэх хувьсагчийг дөрөв дэх зэрэглэлд өсгөж, нөгөө гишүүнд квадрат болгоход ашигладаг. Тиймээс энэ арга нь систем дэх тэгш бус байдлын түвшинг бууруулахад чиглэгддэг. Х4 - x2 - 1 ≦ 0 түүврийн тэгш бус байдлыг дараах байдлаар шийднэ. Шинэ хувьсагчийг танилцуулж байна, жишээ нь t. Тэд: "Let t=x2" гэж бичээд дараа нь загварыг шинэ хэлбэрээр дахин бичнэ. Манай тохиолдолд бид t2 - t - 1 ≦0 болно. Энэ тэгш бус байдлыг интервалын аргаар шийдэх хэрэгтэй (энэ тухай бага зэрэг дараа), дараа нь X хувьсагч руу буцаж, дараа нь өөр тэгш бус байдалтай ижил зүйлийг хийх хэрэгтэй. Хүлээн авсан хариултууд нь системийн шийдвэр байх болно.
Интервалын арга
Энэ бол тэгш бус байдлын системийг шийдвэрлэх хамгийн хялбар арга бөгөөд үүний зэрэгцээ бүх нийтийн бөгөөд өргөн тархсан. Энэ нь ахлах сургуульд, тэр ч байтугай ахлах сургуульд хэрэглэгддэг. Үүний мөн чанар нь оюутан тэмдэглэлийн дэвтэрт зурсан тооны шулуун дээрх тэгш бус байдлын интервалыг хайж байгаа явдалд оршдог (энэ нь график биш, харин тоонуудын энгийн шулуун шугам юм). Тэгш бус байдлын интервалууд огтлолцсон тохиолдолд системийн шийд олно. Зайны аргыг ашиглахын тулд дараах алхмуудыг дагана уу:
- Тэгш бус байдал бүрийн бүх гишүүдийг зүүн тал руу шилжүүлж, тэмдгийн эсрэгээр (баруун талд тэгийг бичсэн).
- Тэгш бус байдлыг тусад нь бичиж, тус бүрийн шийдлийг тодорхойлно.
- Тоон дээрх тэгш бус байдлын огтлолцолЧигээрээ. Эдгээр уулзвар дээрх бүх дугаар нь шийдэл байх болно.
Ямар арга хэрэглэх вэ?
Хамгийн хялбар бөгөөд хамгийн тохиромжтой нь мэдээжийн хэрэг, гэхдээ даалгавар тодорхой аргыг шаарддаг үе байдаг. Ихэнхдээ график ашиглан эсвэл интервалын аргыг ашиглан шийдэх хэрэгтэй гэж тэд хэлдэг. Алгебрийн арга, орлуулалтыг маш ховор эсвэл огт ашигладаггүй, учир нь тэдгээр нь нэлээд төвөгтэй бөгөөд ойлгомжгүй бөгөөд үүнээс гадна тэгш бус байдлыг бус тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэхэд ашигладаг тул та график, интервал зурахад хандах хэрэгтэй. Эдгээр нь алсын харааг авчирдаг бөгөөд энэ нь математикийн үйлдлүүдийг үр дүнтэй, хурдан явуулахад хувь нэмрээ оруулахаас өөр аргагүй юм.
Хэрэв ямар нэг зүйл ажиллахгүй бол
Алгебрийн тодорхой сэдвийг судлах явцад мэдээж ойлгоход бэрхшээл гарч болзошгүй. Энэ нь хэвийн зүйл, учир нь бидний тархи нарийн төвөгтэй материалыг нэг дор ойлгох боломжгүй байдлаар бүтээгдсэн байдаг. Ихэнхдээ та догол мөрийг дахин унших, багшийн тусламж авах эсвэл ердийн асуудлыг шийдвэрлэх дасгал хийх хэрэгтэй. Манай тохиолдолд тэд жишээлбэл: "3 x + 1 ≧ 0 ба 2 x - 1 > 3 тэгш бус байдлын системийг шийд". Тиймээс хувийн хичээл зүтгэл, гадны хүмүүсийн тусламж, дадлага нь аливаа нарийн төвөгтэй сэдвийг ойлгоход тусалдаг.
Решебник?
Мөн шийдлийн ном нь бас маш сайн, гэхдээ гэрийн даалгавраа хуурч мэхлэх биш, харин өөртөө туслах зорилготой. Тэдгээрээс та шийдэл бүхий тэгш бус байдлын системийг олж болно, харна уутэдгээрийг (загвар гэх мэт), шийдлийн зохиогч даалгаврыг хэрхэн даван туулж чадсаныг ойлгохыг хичээ, дараа нь үүнийг өөрөө хийхийг хичээ.
Дүгнэлт
Алгебр бол сургуулийн хамгийн хэцүү хичээлүүдийн нэг юм. За, та юу хийж чадах вэ? Математик үргэлж ийм байсаар ирсэн: заримд нь амархан ирдэг, нөгөөд нь хэцүү байдаг. Гэхдээ ямар ч тохиолдолд ерөнхий боловсролын хөтөлбөр нь ямар ч оюутан үүнийг даван туулах чадвартай байхаар хийгдсэн гэдгийг санах нь зүйтэй. Үүнээс гадна та асар олон тооны туслахуудыг санаж байх хэрэгтэй. Тэдгээрийн заримыг дээр дурдсан.
