Ердийн зургаан өнцөгт пирамид. Эзлэхүүн ба гадаргуугийн томьёо. Геометрийн асуудлын шийдэл

2024 Зохиолч: Angel Austin | [email protected]. Хамгийн сүүлд өөрчлөгдсөн: 2024-01-02 17:52

Стереометр нь сансар огторгуй дахь геометрийн салбар болох призм, цилиндр, конус, бөмбөлөг, пирамид болон бусад гурван хэмжээст дүрсүүдийн шинж чанарыг судалдаг. Энэ нийтлэл нь зургаан өнцөгт ердийн пирамидын шинж чанар, шинж чанаруудын нарийвчилсан тоймд зориулагдсан болно.

Аль пирамидыг судлах вэ

Ердийн зургаан өнцөгт пирамид нь нэг ижил талт ба тэгш өнцөгт зургаан өнцөгт, зургаан ижил тэгш өнцөгт гурвалжингаар хязгаарлагдах орон зайн дүрс юм. Эдгээр гурвалжин нь тодорхой нөхцөлд ижил талт байж болно. Энэ пирамидыг доор харуулав.

Энд ижил зургийг харуулсан бөгөөд зөвхөн нэг тохиолдолд хажуугийн нүүрээ уншигч руу чиглүүлж, нөгөө тохиолдолд хажуугийн ирмэгээр эргүүлсэн байна.

Ердийн зургаан өнцөгт пирамид нь дээр дурдсан 7 нүүртэй. Мөн 7 орой, 12 ирмэгтэй. Призмээс ялгаатай нь бүх пирамидууд нь хажуугийн огтлолцолоос үүссэн нэг тусгай оройтой байдаг.гурвалжин. Ердийн пирамидын хувьд энэ нь чухал үүрэг гүйцэтгэдэг, учир нь түүнээс доош буулгасан перпендикуляр нь зургийн суурь юм. Цаашлаад өндрийг h үсгээр тэмдэглэнэ.

Үзүүлсэн пирамид хоёр шалтгааны улмаас зөв гэж нэрлэгддэг:

• суурь нь ижил тал урт a, тэнцүү өнцөг нь 120o; зургаан өнцөгт байна.
• Пирамидын өндөр h нь зургаан өнцөгтийг яг төвд нь огтолж байна (огтлолцох цэг нь зургаан өнцөгтийн бүх талаас болон оройн цэгүүдээс ижил зайд оршдог).

Гадаргуугийн талбай

Ердийн зургаан өнцөгт пирамидын шинж чанарыг талбайн тодорхойлолтоос авч үзнэ. Үүнийг хийхийн тулд эхлээд онгоцон дээрх дүрсийг задлах нь ашигтай байдаг. Үүний бүдүүвч дүрслэлийг доор үзүүлэв.

Шүүрдэх талбай, улмаар авч үзэж буй зургийн бүх гадаргуу нь зургаан ижил гурвалжин ба нэг зургаан өнцөгтийн талбайн нийлбэртэй тэнцүү болохыг харж болно.

Зургаан өнцөгтийн талбайг тодорхойлохын тулд S_{6 энгийн n өнцөгтийн бүх нийтийн томъёог ашиглана:}

S=n/4a2ctg(pi/n)=>

S₆=3√3/2a^2.

Энд a нь зургаан өнцөгтийн талын урт юм.

Хажуу талын S₃ гурвалжны талбайг хэрвээ та түүний өндрийн утгыг мэдэж байвал олж болно h_b:

S₃=1/2h_ba.

Учир нь бүгд зургаагурвалжингууд хоорондоо тэнцүү бол бид зөв суурьтай зургаан өнцөгт пирамидын талбайг тодорхойлох ажлын илэрхийлэлийг авна:

S=S₆+ 6S₃=3√3/2a^{2 + 61/2h}b_{a=3a(√3/2a + h}b_).

Пирамидын хэмжээ

Талбайн нэгэн адил зургаан өнцөгт ердийн пирамидын эзэлхүүн нь түүний чухал шинж чанар юм. Энэ эзлэхүүнийг бүх пирамид ба конусуудын ерөнхий томъёогоор тооцоолно. Үүнийг бичье:

V=1/3S_oц.

Энд S_o тэмдэгт нь зургаан өнцөгт суурийн талбай, өөрөөр хэлбэл S_o=S _6.

Дээрх S_{6-г V-ийн томъёонд орлуулснаар ердийн зургаан өнцөгт пирамидын эзэлхүүнийг тодорхойлох эцсийн тэгшитгэлд хүрнэ:}

V=√3/2a2ц.

Геометрийн бодлогын жишээ

Ердийн зургаан өнцөгт пирамидын хажуугийн ирмэг нь суурийн талаас хоёр дахин урт байна. Сүүлийнх нь 7 см гэдгийг мэдэж байгаа тул энэ зургийн гадаргуугийн талбай, эзэлхүүнийг тооцоолох шаардлагатай.

Таны таамаглаж байгаачлан энэ асуудлын шийдэл нь дээр дурдсан S ба V-ийн илэрхийллүүдийг ашиглах явдал юм. Гэсэн хэдий ч бид үг хэллэг, үг хэллэгийг мэдэхгүй тул тэдгээрийг шууд ашиглах боломжгүй болно. ердийн зургаан өнцөгт пирамидын өндөр. Тэдгээрийг тооцоод үзье.

h_b гэсэн үгийг b, a/2 болон h_{b тал дээр барьсан тэгш өнцөгт гурвалжныг харгалзан тодорхойлж болно. Энд b нь хажуугийн ирмэгийн урт юм. Асуудлын нөхцөлийг ашигласнаар бид дараахийг авна:}

h_b=√(b²-a²/4)=√(14 ²-7^{2/4)=13, 555 см.}

Пирамидын h өндрийг апотемийн адилаар тодорхойлж болох боловч одоо пирамидын дотор байрлах h, b, a талуудтай гурвалжинг авч үзэх хэрэгтэй. Өндөр нь: байх болно

h=√(b²- a²)=√(14²- 7 ^{2)=12, 124 см.}

Тооцоолсон өндрийн утга нь ямар ч пирамидын хувьд үнэн болох апотемийнхээс бага байгаа нь харагдаж байна.

Одоо та эзлэхүүн болон талбайн илэрхийллүүдийг ашиглаж болно:

S=3a(√3/2a + h_b)=37(√3/27 + 13, 555)=411, 96см^2;

V=√3/2a²h=√3/27²12, 124=514, 48см^3.

Тиймээс ердийн зургаан өнцөгт пирамидын шинж чанарыг хоёрдмол утгагүй тодорхойлохын тулд та түүний шугаман параметрүүдийн аль нэгийг нь мэдэх хэрэгтэй.