Призм нь сургуулийн хатуу геометрийн курст судалдаг олон өнцөгт буюу олон өнцөгт юм. Энэхүү олон өнцөгтийн чухал шинж чанаруудын нэг нь түүний эзэлхүүн юм. Өгүүлэлд энэ утгыг хэрхэн тооцоолох, мөн ердийн дөрвөлжин ба зургаан өнцөгт призмийн эзэлхүүний томъёог өгье.
Стереометрийн призм
Энэ дүрсийг параллель хавтгайд байрладаг хоёр ижил олон өнцөгт, хэд хэдэн параллелограммуудаас бүрдсэн олон өнцөгт гэж ойлгодог. Зарим төрлийн призмийн хувьд параллелограммууд нь тэгш өнцөгт дөрвөлжин эсвэл квадратыг илэрхийлж болно. Доорх нь таван өнцөгт призм гэж нэрлэгддэг жишээ юм.
Дээрх зурган дээрх шиг дүрс бүтээхийн тулд та таван өнцөгтийг авч, орон зайд тодорхой зайд параллель шилжүүлэх хэрэгтэй. Хоёр таван өнцөгтийн талыг параллелограмм ашиглан холбосноор бид хүссэн призмийг олж авна.
Призм бүр нүүр, орой, ирмэгээс бүрдэнэ. Призмийн оройнуудпирамидаас ялгаатай нь тэдгээр нь тэнцүү бөгөөд тус бүр нь хоёр суурийн аль нэгийг илэрхийлдэг. Нүүр ба ирмэгүүд нь үндсэн болон хажуугийнх нь гэсэн хоёр төрөлтэй.
Призм нь хэд хэдэн төрөлтэй (зөв, ташуу, гүдгэр, шулуун, хотгор). Зургийн хэлбэрийг харгалзан призмийн эзэлхүүнийг ямар томьёогоор тооцоолохыг өгүүллийн дараа авч үзье.
Призмийн эзэлхүүнийг тодорхойлох ерөнхий илэрхийлэл
Судлж буй дүрс нь шулуун эсвэл ташуу, тогтмол эсвэл жигд бус аль төрөлд хамаарахаас үл хамааран түүний эзлэхүүнийг тодорхойлох боломжийг олгодог бүх нийтийн илэрхийлэл байдаг. Орон зайн дүрсийн эзэлхүүн нь түүний нүүрний хооронд хүрээлэгдсэн орон зайн талбай юм. Призмийн эзэлхүүний ерөнхий томъёо нь:
V=So × h.
Энд So нь суурийн талбайг илэрхийлнэ. Бид хоёрын тухай биш харин нэг үндэслэлийн тухай ярьж байгааг санах нь зүйтэй. h утга нь өндөр юм. Судалж буй зургийн өндрийг түүний ижил суурийн хоорондох зай гэж ойлгодог. Хэрэв энэ зай нь хажуугийн хавирганы урттай давхцаж байвал шулуун призмийн тухай ярьдаг. Шулуун зурагт бүх тал нь тэгш өнцөгт байна.
Тиймээс хэрэв призм ташуу ба тэгш бус суурьтай олон өнцөгт байвал түүний эзэлхүүнийг тооцоолоход илүү төвөгтэй болно. Хэрэв зураг шулуун байвал эзлэхүүнийг тооцоолохдоо зөвхөн So суурийн талбайг тодорхойлоход л буурна.
Ердийн дүрсийн эзлэхүүнийг тодорхойлох
Тухайн призмийг шулуун ба олон өнцөгт суурьтай талууд ба өнцөг нь хоорондоо тэнцүү байна. Жишээлбэл, ийм энгийн олон өнцөгтүүд нь дөрвөлжин ба тэгш талт гурвалжин юм. Үүний зэрэгцээ ромб нь бүх өнцөг нь тэнцүү биш тул ердийн дүрс биш юм.
Энгийн призмийн эзэлхүүний томьёо нь өгүүллийн өмнөх догол мөрөнд бичсэн V-ийн ерөнхий илэрхийллээс тодорхой гарч байна. Холбогдох томъёог бичихийн өмнө зөв суурийн талбайг тодорхойлох шаардлагатай. Математикийн нарийн ширийн зүйлийг ярихгүйгээр бид заасан талбайг тодорхойлох томъёог танилцуулж байна. Энэ нь ямар ч энгийн n-gon-д зориулагдсан бөгөөд дараах хэлбэртэй байна:
S=n / 4 × ctg (pi / n) × a2.
Илэрхийлэлээс харахад Sn талбай нь хоёр параметрийн функц юм. Бүхэл тоо n нь 3-аас хязгааргүй хүртэлх утгыг авч болно. a утга нь n өнцөгтийн талын урт юм.
Зургийн эзэлхүүнийг тооцоолохын тулд зөвхөн S талбайг h өндөр эсвэл хажуугийн ирмэгийн b уртаар үржүүлэхэд л хангалттай (h=b). Үүний үр дүнд бид дараах ажлын томъёонд хүрлээ:
V=n / 4 × ctg (pi / n) × a2 × h.
Дурын төрлийн призмийн эзэлхүүнийг тодорхойлохын тулд хэд хэдэн хэмжигдэхүүнийг (зургийн суурийн талуудын урт, өндөр, хоёр талт өнцөг) мэдэж байх хэрэгтэй гэдгийг анхаарна уу, гэхдээ V утгыг тооцоолох хэрэгтэй. ердийн призмийн хувьд бид зөвхөн хоёр шугаман параметрийг мэдэх хэрэгтэй, жишээ нь, a ба h.
Дөрвөн өнцөгт ердийн призмийн эзэлхүүн
Дөрвөн өнцөгт призмийг параллелепипед гэнэ. Хэрэв түүний бүх нүүр тэгш, дөрвөлжин байвал ийм дүрс нь шоо болно. Тэгш өнцөгт параллелепипед буюу шоо дөрвөлжингийн эзэлхүүнийг түүний гурван өөр талыг (урт, өндөр, өргөн) үржүүлэх замаар тодорхойлдог гэдгийг оюутан бүр мэддэг. Энэ баримт нь ердийн дүрсийн ерөнхий эзлэхүүний илэрхийллээс үүдэлтэй:
V=n/4 × ctg (pi / n) × a2 × h=4/4 × ctg (pi / 4) × a2× h=a2 × h.
Энд 45°-ын котангенс 1-тэй тэнцүү байна. Суурийн h өндөр ба хажуугийн уртын тэгшитгэл нь автоматаар кубын эзэлхүүний томъёонд хүргэдэг гэдгийг анхаарна уу.
Зургаан өнцөгт ердийн призмийн эзэлхүүн
Одоо дээрх онолыг ашиглаад зургаан өнцөгт суурьтай дүрсийн эзэлхүүнийг тодорхойлно. Үүнийг хийхийн тулд та томьёоны n=6 утгыг орлуулахад л хангалттай:
V=6/4 × ctg (pi / 6) × a2 × h=3 × √3/2 × a2 × h.
Бичсэн илэрхийллийг S-ийн бүх нийтийн томьёог ашиглахгүйгээр бие даан авч болно. Үүнийг хийхийн тулд та ердийн зургаан өнцөгтийг зургаан тэгш талт гурвалжинд хуваах хэрэгтэй. Тэдгээрийн тус бүрийн тал нь a-тай тэнцүү байх болно. Нэг гурвалжны талбай нь:
-тай тохирч байна.
S3=√3/4 × a2.
Энэ утгыг гурвалжны тоо (6) болон өндрөөр үржүүлбэл эзлэхүүний дээрх томьёог гарна.
