Геометрийн хувьд дүрсийг судлахад хоёр чухал шинж чанарыг ашигладаг: талуудын урт ба тэдгээрийн хоорондох өнцөг. Орон зайн дүрсийн хувьд эдгээр шинж чанарууд дээр хоёр талт өнцөг нэмэгддэг. Энэ нь юу болохыг авч үзье, мөн пирамидын жишээн дээр эдгээр өнцгийг тодорхойлох аргыг тайлбарлая.
Хоёр өнцөгтийн тухай ойлголт
Хүн бүр огтлолцсон хоёр шулуун огтлолцох цэг дээрээ оройтой өнцөг үүсгэдгийг мэддэг. Энэ өнцгийг протектороор хэмжиж болно, эсвэл тригонометрийн функцуудыг ашиглан тооцоолж болно. Хоёр тэгш өнцөгт үүссэн өнцгийг шугаман гэж нэрлэдэг.
Одоо гурван хэмжээст орон зайд шулуун шугамаар огтлолцсон хоёр хавтгай байна гэж төсөөлөөд үз дээ. Тэдгээрийг зураг дээр харуулав.
Хоёр өнцөгт өнцөг нь огтлолцох хоёр хавтгайн хоорондох өнцөг юм. Шугамантай адил градусаар эсвэл радианаар хэмжигддэг. Хэрэв онгоцууд огтлолцох шугамын аль нэг цэгт хоёр перпендикулярыг сэргээнэ. Эдгээр хавтгайд хэвтэж байвал тэдгээрийн хоорондох өнцөг нь хүссэн dihedral болно. Энэ өнцгийг тодорхойлох хамгийн хялбар арга бол хавтгайнуудын ерөнхий тэгшитгэлийг ашиглах явдал юм.
Хавтгайнуудын тэгшитгэл ба тэдгээрийн хоорондох өнцгийн томьёо
Сансар огторгуйн аливаа хавтгайн тэгшитгэлийг ерөнхийд нь дараах байдлаар бичнэ:
A × x + B × y + C × z + D=0.
Энд x, y, z нь хавтгайд хамаарах цэгүүдийн координатууд, A, B, C, D коэффициентүүд нь мэдэгдэж байгаа тоонууд юм. Хоёр өнцөгт өнцгийг тооцоолох энэхүү тэгшитгэлийн тав тухтай байдал нь хавтгайн чиглэлийн векторын координатыг тодорхой агуулсан байдаг. Бид үүнийг n¯-ээр тэмдэглэнэ. Дараа нь:
n¯=(A; B; C).
n¯ вектор хавтгайд перпендикуляр байна. Хоёр хавтгайн хоорондох өнцөг нь n1¯ ба n2¯ чиглэлийн векторуудын хоорондох өнцөгтэй тэнцүү байна. Хоёр векторын үүсгэсэн өнцгийг тэдгээрийн скаляр үржвэрээс онцгойлон тодорхойлдог болохыг математикаас мэддэг. Энэ нь хоёр хавтгайн хоорондох хоёр өнцөгт өнцгийг тооцоолох томьёог бичих боломжийг танд олгоно:
φ=arccos (|(n1¯ × n2¯)| / (|n1 ¯| × |n2¯|)).
Хэрэв векторуудын координатыг орлуулбал томьёо нь тодорхой бичигдэнэ:
φ=arccos (|A1 × A2 + B1 × B 2 + C1 × C2| / (√(A1 2 + B12 + C12 ) × √(A22+B22 + C22))).
Хоёр өнцөгт өнцөг нь үргэлж 90o-ээс бага буюу тэнцүү байдаг тул тоологч дахь модулийн тэмдгийг зөвхөн хурц өнцгийг тодорхойлоход ашигладаг.
Пирамид ба түүний булангууд
Пирамид нь нэг n өнцөг ба n гурвалжнаас тогтсон дүрс юм. Энд n нь пирамидын суурь болох олон өнцөгтийн талуудын тоотой тэнцүү бүхэл тоо юм. Энэ орон зайн дүрс нь хавтгай нүүр (хажуу тал) -аас бүрддэг тул олон өнцөгт эсвэл олон өнцөгт юм.
Пирамид олон өнцөгт хоёр өнцөгт хоёр төрлийн байж болно:
- суурь ба хажуугийн хооронд (гурвалжин);
- хоёр талын хооронд.
Хэрэв пирамидыг ердийн гэж үзвэл түүний нэрлэсэн өнцгийг тодорхойлоход хялбар байдаг. Үүнийг хийхийн тулд гурван мэдэгдэж буй цэгийн координатыг ашиглан хавтгайн тэгшитгэл зохиож, φ өнцгийн хувьд дээрх догол мөрөнд өгөгдсөн томъёог ашиглана.
Доор бид дөрвөлжин ердийн пирамидын суурь дээр хоёр өнцөгт өнцгийг хэрхэн олохыг харуулсан жишээг үзүүлэв.
Дөрвөн өнцөгт энгийн пирамид ба түүний суурийн өнцөг
Дөрвөлжин суурьтай ердийн пирамид өгөгдсөн гэж бодъё. Квадрат талын урт нь a, зургийн өндөр нь h. Пирамидын суурь ба хажуугийн хоорондох өнцгийг ол.
Координатын системийн эхийг дөрвөлжингийн төвд байрлуулъя. Дараа нь цэгүүдийн координатуудЗурагт үзүүлсэн A, B, C, D нь:
A=(a/2; -a/2; 0);
B=(a/2; a/2; 0);
C=(-a/2; a/2; 0);
D=(0; 0; h).
ACB болон ADB онгоцуудыг авч үзье. ACB хавтгайн n1¯ чиглэлийн вектор нь:
байх нь ойлгомжтой.
1¯=(0; 0; 1).
АХБ-ны хавтгайн n2¯ чиглэлийн векторыг тодорхойлохын тулд дараах байдлаар ажиллана уу: түүнд хамаарах дурын хоёр векторыг ол, жишээлбэл, AD¯ ба AB¯, дараа нь тэдгээрийн векторын ажлыг тооцоол. Үүний үр дүнд n2¯ координатыг өгнө. Бидэнд:
AD¯=D - A=(0; 0; h) - (a/2; -a/2; 0)=(-a/2; a/2; h);
AB¯=B - A=(a/2; a/2; 0) - (a/2; -a/2; 0)=(0; a; 0);
2¯=[AD¯ × AB¯]=[(-a/2; a/2; h) × (0; a; 0)]=(-a × h; 0;-a2/2).
Векторыг тоогоор үржүүлж хуваахад чиглэл нь өөрчлөгддөггүй тул үүссэн n2¯-г хувиргаж, координатыг нь -a-д хуваавал:
2¯=(ц; 0; a/2).
Бид ACB суурь болон АХБ-ны хажуугийн хавтгайд зориулагдсан n1¯ ба n2¯ вектор чиглүүлэгчийг тодорхойлсон. φ өнцгийн томъёог ашиглах хэвээр байна:
φ=arccos (|(n1¯ × n2¯)| / (|n1 ¯| × |n2¯|))=arccos (a / (2 × √h2 + a 2/4)).
Үрсэн илэрхийлэлийг хувиргаж, дараах байдлаар дахин бичнэ үү:
φ=arccos (a / √(a2+ 4 × h2)).
Бид ердийн дөрвөлжин пирамидын суурь дээрх хоёр өнцөгт өнцгийн томьёог олж авлаа. Зургийн өндөр ба хажуугийн уртыг мэдсэнээр та φ өнцгийг тооцоолж болно. Жишээлбэл, суурь тал нь 230.4 метр, анхны өндөр нь 146.5 метр байсан Хеопс пирамидын хувьд φ өнцөг нь 51.8o болно.
Дөрвөн өнцөгт ердийн пирамидын хоёр өнцөгт өнцгийг геометрийн аргаар тодорхойлох боломжтой. Үүнийг хийхийн тулд h өндөр, суурийн хагас урттай a/2, тэгш өнцөгт гурвалжны үгээр үүссэн тэгш өнцөгт гурвалжинг авч үзэхэд хангалттай.
