Шууд гурвалжин призм. Эзлэхүүн ба гадаргуугийн томьёо. Геометрийн асуудлын шийдэл

2024 Зохиолч: Angel Austin | [email protected]. Хамгийн сүүлд өөрчлөгдсөн: 2024-01-02 17:52

Ахлах сургуульдаа хавтгай дээрх дүрсүүдийн шинж чанарыг судалсны дараа призм, бөмбөрцөг, пирамид, цилиндр, конус зэрэг орон зайн геометрийн биетүүдийг авч үзэх арга руу шилждэг. Энэ нийтлэлд бид шулуун гурвалжин призмийн хамгийн бүрэн тайлбарыг өгөх болно.

Гурвалжин призм гэж юу вэ?

Өгүүллэгээ цаашид хэлэлцэх дүрсийн тодорхойлолтоор эхэлцгээе. Геометрийн үүднээс призм гэдэг нь ижил өнцөг нь шулуун шугамын хэрчмүүдээр холбогдсон зэрэгцээ хавтгайд байрладаг хоёр ижил n-гоноос үүссэн орон зай дахь дүрс юм. Эдгээр сегментүүдийг хажуугийн хавирга гэж нэрлэдэг. Суурийн хажуу талуудтай нийлээд хажуугийн гадаргууг үүсгэдэг бөгөөд энэ нь ерөнхийдөө параллелограммаар дүрслэгддэг.

Хоёр n-гон нь зургийн суурь юм. Хэрэв хажуугийн ирмэгүүд нь перпендикуляр байвал шулуун призмийн тухай ярьдаг. Үүний дагуу олон өнцөгтийн суурийн n талуудын тоо гурав бол ийм дүрсийг гурвалжин призм гэнэ.

Гурвалжин шулуун призмийг дээрх зурагт үзүүлэв. Суурь нь тэгш талт гурвалжин байдаг тул энэ зургийг мөн тогтмол гэж нэрлэдэг. Зураг дээрх h үсгээр тэмдэглэгдсэн зургийн хажуугийн ирмэгийн уртыг өндөр гэнэ.

Зурагт гурвалжин суурьтай призмийг таван нүүрнээс бүрдүүлсний хоёр нь тэгш талт гурвалжин, гурав нь ижил тэгш өнцөгт хэлбэртэй байгааг харуулж байна. Призм нь нүүрнүүдээс гадна суурь нь зургаан орой, есөн ирмэгтэй. Элементүүдийн тоонууд хоорондоо Эйлер теоремоор холбогдоно:

ирмэгийн тоо=оройн тоо + талуудын тоо - 2.

Төв гурвалжин призмийн талбай

Бид дээрх дүрсийг хоёр төрлийн таван нүүр (хоёр гурвалжин, гурван тэгш өнцөгт) бүрдүүлдэг болохыг олж мэдсэн. Эдгээр бүх нүүр нь призмийн бүрэн гадаргууг бүрдүүлдэг. Тэдний нийт талбай нь зургийн талбай юм. Доорх нь гурвалжин призмийг задалж байгаа бөгөөд эхлээд зурагнаас хоёр суурийг таслаад дараа нь нэг ирмэгийн дагуу зүсэж, хажуугийн гадаргууг задлах замаар олж авч болно.

Энэ шүүрэлтийн гадаргуугийн талбайг тодорхойлох томъёог өгцгөөе. Зөв гурвалжин призмийн сууриудаас эхэлье. Тэд гурвалжныг төлөөлдөг тул тус бүрийн S_{3 талбайг дараах байдлаар олж болно:}

S₃=1/2ah_a.

Энд a нь гурвалжны тал, h_{a нь гурвалжны оройноос энэ тал руу буулгасан өндөр юм.}

Хэрэв гурвалжин тэгш талт (энгийн) бол S_{3-ийн томьёо нь зөвхөн нэг параметр a-аас хамаарна. Энэ нь иймэрхүү харагдаж байна:}

S₃=√3/4a^2.

Энэ илэрхийллийг a, a/2, h_{a хэсгүүдээр үүсгэсэн тэгш өнцөгт гурвалжинг авч үзэж болно.}

Энгийн дүрсийн S_o суурийн талбай нь S_{3-ээс хоёр дахин их байна:}

S_o=2S₃=√3/2a^2.

Хажуугийн гадаргуугийн талбайн хувьд S_{b, үүнийг тооцоолоход хэцүү биш юм. Үүнийг хийхийн тулд a ба h талуудаас үүссэн тэгш өнцөгтийн талбайг гурваар үржүүлэхэд хангалттай. Харгалзах томъёо нь:}

S_b=3aцаг.

Тиймээс гурвалжин суурьтай ердийн призмийн талбайг дараах томъёогоор олно:

S=S_o+ S_b=√3/2a^{2+ 3 ah.}

Хэрэв призм шулуун боловч тэгш бус байвал түүний талбайг тооцоолохын тулд тэгш өнцөгтийн талбайг тусад нь нэмэх хэрэгтэй.

Зургийн эзлэхүүнийг тодорхойлох

Призмийн эзэлхүүнийг талуудаар нь (нүүрээр) хязгаарласан орон зай гэж ойлгодог. Тэгш өнцөгт призмийн эзэлхүүнийг тооцоолох нь түүний гадаргуугийн талбайг тооцоолохоос хамаагүй хялбар юм. Үүнийг хийхийн тулд суурийн талбай, зургийн өндрийг мэдэхэд хангалттай. Шулуун дүрсийн өндөр h нь түүний хажуугийн ирмэгийн урт бөгөөд суурийн талбайг хэрхэн тооцоолох талаар бид өмнөх хэсэгт өгсөн.цэг, дараа нь хүссэн эзэлхүүнийг олж авахын тулд эдгээр хоёр утгыг бие биендээ үржүүлэх хэрэгтэй. Үүний томъёо нь: болно.

V=S_3ц.

Нэг суурийн талбай ба өндрийн үржвэр нь зөвхөн шулуун призм төдийгүй ташуу дүрс, тэр ч байтугай цилиндрийн эзэлхүүнийг өгөх болно гэдгийг анхаарна уу.

Асуудал шийдвэрлэх

Шилэн гурвалжин призмийг оптикт дисперсийн үзэгдлийн улмаас цахилгаан соронзон цацрагийн спектрийг судлахад ашигладаг. Энгийн шилэн призмийн суурийн хажуугийн урт 10 см, ирмэгийн урт нь 15 см байдаг нь мэдэгдэж байна. Түүний шилний нүүрний талбай хэд вэ, ямар эзэлхүүнтэй вэ?

Талбайг тодорхойлохын тулд бид нийтлэлд бичсэн томъёог ашиглана. Бидэнд:

S=√3/2a²+ 3ah=√3/210² + 3 1015=536.6см^2.

V хэмжээг тодорхойлохын тулд дээрх томьёог мөн ашигладаг:

V=S₃h=√3/4a²h=√3/410 2^{15=649.5 см}3^.

Призмийн ирмэг нь 10 см, 15 см урт хэдий ч зургийн эзэлхүүн ердөө 0,65 литр байна (10 см талтай шоо 1 литр эзэлхүүнтэй).