Магадлалын онол нь зөвхөн дээд боловсролын сургуулийн оюутнууд судалдаг математикийн тусгай салбар юм. Та тооцоолол, томъёололд дуртай юу? Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний хэвийн тархалт, ансамблийн энтропи, математикийн хүлээлт, дисперстэй танилцах хэтийн төлөвөөс та айхгүй байна уу? Тэгвэл энэ сэдэв танд маш их сонирхолтой байх болно. Шинжлэх ухааны энэ хэсгийн хамгийн чухал үндсэн ойлголтуудтай танилцацгаая.
Үндсэн зүйлийг эргэн санах
Магадлалын онолын хамгийн энгийн ойлголтуудыг санаж байсан ч өгүүллийн эхний догол мөрийг үл тоомсорлож болохгүй. Үнэн хэрэгтээ та үндсэн ойлголтуудыг тодорхой ойлгохгүй бол доор авч үзсэн томьёотой ажиллах боломжгүй болно.
Тиймээс санамсаргүй үйл явдал, туршилт байна. Гүйцэтгэсэн үйлдлүүдийн үр дүнд бид хэд хэдэн үр дүнд хүрч чадна - тэдгээрийн зарим нь илүү түгээмэл, бусад нь бага байдаг. Үйл явдлын магадлал гэдэг нь нэг төрлийн бодит хүлээн авсан үр дүнгийн тоог боломжит үр дүнгийн нийт тоонд харьцуулсан харьцаа юм. Зөвхөн энэ үзэл баримтлалын сонгодог тодорхойлолтыг мэдсэнээр та тасралтгүй математикийн хүлээлт ба дисперсийг судалж эхлэх боломжтой.санамсаргүй хэмжигдэхүүн.
Арифметик дундаж
Сургуульд байхдаа ч гэсэн математикийн хичээл дээр арифметик дундажтай ажилладаг байсан. Энэ ойлголтыг магадлалын онолд өргөн ашигладаг тул үүнийг үл тоомсорлож болохгүй. Одоогоор бидний хувьд хамгийн гол зүйл бол санамсаргүй хэмжигдэхүүний математикийн хүлээлт ба дисперсийн томъёонд үүнийг тааруулах явдал юм.
Бидэнд тоонуудын дараалал байгаа бөгөөд арифметик дундажийг олохыг хүсэж байна. Биднээс шаардагдах бүх зүйл бол боломжтой бүх зүйлийг нэгтгэж, дарааллын элементүүдийн тоонд хуваах явдал юм. Бид 1-ээс 9 хүртэлх тоотой байцгаая. Элементүүдийн нийлбэр нь 45 байх ба энэ утгыг 9-д хуваана. Хариулт: - 5.
Таралт
Шинжлэх ухаанаар хэлбэл дисперс гэдэг нь олж авсан шинж чанарын утгуудын арифметик дунджаас хазайсан дундаж квадратыг хэлнэ. Нэгийг нь латин том D үсгээр тэмдэглэсэн. Үүнийг тооцоолоход юу хэрэгтэй вэ? Дарааллын элемент бүрийн хувьд бид боломжтой тоо болон арифметик дундаж хоёрын зөрүүг тооцоод квадрат болгоно. Бидний авч үзэж буй үйл явдлын үр дүн байж болохуйц олон үнэт зүйлс байх болно. Дараа нь бид хүлээн авсан бүх зүйлийг нэгтгэн дүгнэж, дарааллын элементүүдийн тоогоор хуваана. Хэрэв бидэнд таван боломжит үр дүн байгаа бол таваар хуваа.
Dispersion нь асуудлыг шийдвэрлэхдээ хэрэглэхийн тулд санах хэрэгтэй шинж чанаруудтай. Жишээлбэл, санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг X дахин ихэсгэвэл дисперс нь квадратаас X дахин нэмэгдэнэ (өөрөөр хэлбэл XX). Энэ нь хэзээ ч тэгээс багагүй бөгөөд үүнээс хамаардаггүйутгуудыг ижил утгаар дээш эсвэл доош шилжүүлэх. Мөн бие даасан туршилтын хувьд нийлбэрийн хэлбэлзэл нь хэлбэлзлийн нийлбэртэй тэнцүү байна.
Одоо бид салангид санамсаргүй хэмжигдэхүүний дисперс болон математикийн хүлээлтийн жишээг авч үзэх хэрэгтэй.
Бид 21 туршилт хийгээд 7 өөр үр дүнд хүрсэн гэж бодъё. Бид тус бүрийг 1, 2, 2, 3, 4, 4, 5 удаа ажигласан. Ямар зөрүүтэй байх вэ?
Эхлээд арифметик дундажийг бодъё: элементүүдийн нийлбэр нь мэдээж 21. Үүнийг 7-д хувааж 3-ыг авна. Одоо анхны дарааллын тоо бүрээс 3-ыг хасч, утга тус бүрийг квадрат болгож, нэмнэ. үр дүн нь хамтдаа. Энэ нь 12 болж байна. Одоо бид тоог элементүүдийн тоонд хуваах нь хэвээр байгаа бөгөөд энэ нь бүх юм шиг санагдаж байна. Гэхдээ барих зүйл байна! Үүнийг ярилцъя.
Туршилтын тооноос хамаарах
Вариацийг тооцоолохдоо хуваагч нь N эсвэл N-1 гэсэн хоёр тооны аль нэг нь байж болно. Энд N нь гүйцэтгэсэн туршилтын тоо эсвэл дарааллын элементийн тоо (үнэндээ ижил байна). Энэ нь юунаас хамаардаг вэ?
Хэрэв тестийн тоог хэдэн зуугаар хэмжсэн бол хуваагчдаа N-г оруулах ёстой. Хэрэв нэгжээр байвал N-1. Эрдэмтэд бэлгэдлийн үүднээс хилийн шугамыг зурахаар шийдсэн: өнөөдөр энэ нь 30-ын тоогоор гүйж байна. Хэрэв бид 30-аас бага туршилт хийсэн бол N-1-д, түүнээс дээш бол N-д хуваана.
Даалгавар
Вариац болон хүлээлтийн асуудлыг шийдэх жишээ рүүгээ буцаж орцгооё. Бид12-ын завсрын тоог хүлээн авсан бөгөөд үүнийг N эсвэл N-1-д хуваах ёстой. Бид 21 туршилт хийсэн бөгөөд энэ нь 30 хүрэхгүй байгаа тул бид хоёр дахь хувилбарыг сонгох болно. Хариулт нь: дисперс нь 12 / 2=2.
Хүлээлт
Энэ нийтлэлд авч үзэх ёстой хоёр дахь үзэл баримтлал руугаа орцгооё. Математикийн хүлээлт нь боломжит бүх үр дүнг харгалзах магадлалаар үржүүлсний үр дүн юм. Үр дүнгийн утга, түүнчлэн хэлбэлзлийг тооцоолох үр дүн нь хичнээн үр дүнг авч үзсэнээс үл хамааран бүх ажлын хувьд зөвхөн нэг удаа гарна гэдгийг ойлгох нь чухал юм.
Хүлээлтийн томьёо нь маш энгийн: бид үр дүнг гаргаж, магадлалаар нь үржүүлж, хоёр дахь, гурав дахь үр дүнд нь адилхан нэмдэг гэх мэт. Энэ ойлголттой холбоотой бүх зүйлийг тооцоолоход хялбар байдаг. Жишээлбэл, математикийн хүлээлтийн нийлбэр нь нийлбэрийн математикийн хүлээлттэй тэнцүү байна. Ажлын хувьд ч мөн адил. Магадлалын онолын хэмжигдэхүүн бүр ийм энгийн үйлдлүүдийг хийхийг зөвшөөрдөггүй. Даалгавраа аваад нэгэн зэрэг судалсан хоёр ойлголтын үнэ цэнийг тооцоод үзье. Нэмж хэлэхэд, бид онолд сатаарсан - дадлага хийх цаг боллоо.
Өөр нэг жишээ
Бид 50 туршилт явуулж, 0-ээс 9 хүртэлх 10 төрлийн үр дүнг өөр өөр хувиар харуулсан. Үүнд: 2%, 10%, 4%, 14%, 2%, 18%, 6%, 16%, 10%, 18%. Магадлалыг авахын тулд та хувийн утгыг 100-д хуваах хэрэгтэй гэдгийг санаарай. Тиймээс бид 0.02 болно; 0, 1 гэх мэт. Санамсаргүй байдлын дисперсийг төлөөлүүльеүнэ цэнэ ба математикийн хүлээлтийн асуудлыг шийдэх жишээ.
Бага сургуулиас бидний санаж байгаа томъёогоор арифметик дундажийг тооцоол: 50/10=5.
Одоо тоолоход хялбар болгох үүднээс магадлалыг үр дүнгийн тоо болгон "хэсэг болгон" хөрвүүлье. Бид 1, 5, 2, 7, 1, 9, 3, 8, 5, 9-ийг авна. Олж авсан утга бүрээс арифметик дундажийг хасч, дараа нь бид үр дүнгийн квадратыг авна. Жишээ болгон эхний элементийг ашиглан үүнийг хэрхэн хийхийг харна уу: 1 - 5=(-4). Цаашид: (-4)(-4)=16. Бусад утгуудын хувьд эдгээр үйлдлийг өөрөө хийнэ. Хэрэв та бүх зүйлийг зөв хийсэн бол бүх завсрын үр дүнг нэмсний дараа та 90 оноо авах болно.
90-ийг N-д хуваах замаар дисперс ба дундажийг үргэлжлүүлэн тооцоолно уу. Бид яагаад N-1 биш харин N-г сонгодог вэ? Энэ нь зөв, учир нь хийсэн туршилтын тоо 30-аас хэтэрсэн. Тэгэхээр: 90/10=9. Бид тархалтыг авсан. Хэрэв та өөр дугаар авсан бол цөхрөл бүү зов. Та тооцоололдоо алдаа гаргасан байх магадлалтай. Бичсэн зүйлээ дахин шалгаарай, тэгвэл бүх зүйл байрандаа орох нь гарцаагүй.
Эцэст нь хүлээлтийн томъёог санацгаая. Бид бүх тооцоог өгөхгүй, зөвхөн шаардлагатай бүх процедурыг дуусгасны дараа шалгаж болох хариултыг бичих болно. Хүлээлт нь 5, 48-тай тэнцүү байх болно. Бид зөвхөн эхний элементүүдийн жишээг ашиглан үйлдлүүдийг хэрхэн гүйцэтгэхийг санаж байна: 00, 02 + 10, 1… гэх мэт. Таны харж байгаагаар бид үр дүнгийн утгыг магадлалаар нь үржүүлдэг.
Хазайлт
Дэлбэрэлт ба хүлээгдэж буй утгатай нягт холбоотой өөр нэг ойлголт болстандарт хэлбэлзэл. Үүнийг Латин үсгээр sd эсвэл Грекийн жижиг үсгээр "сигма" гэж тэмдэглэдэг. Энэ үзэл баримтлал нь дундаж утгууд нь үндсэн шинж чанараас хэрхэн хазайж байгааг харуулдаг. Үүний утгыг олохын тулд та дисперсийн квадрат язгуурыг тооцоолох хэрэгтэй.
Хэрэв та хэвийн тархалтын графикийг байгуулж, стандарт хазайлтын утгыг шууд харахыг хүсвэл үүнийг хэд хэдэн үе шаттайгаар хийж болно. Зургийн хагасыг горимын зүүн эсвэл баруун талд (төв утга) авч, хэвтээ тэнхлэгт перпендикуляр зурж, үүссэн зургуудын талбайнууд тэнцүү байна. Тархалтын дунд хэсэг ба хэвтээ тэнхлэгт үүссэн проекцын хоорондох сегментийн утга нь стандарт хазайлт болно.
Програм хангамж
Томъёоны тайлбар болон танилцуулсан жишээнүүдээс харахад дисперс болон математикийн хүлээлтийг тооцоолох нь арифметикийн үүднээс авч үзвэл хамгийн хялбар журам биш юм. Цагийг дэмий үрэхгүйн тулд дээд боловсролд ашигладаг хөтөлбөрийг ашиглах нь утга учиртай - үүнийг "R" гэж нэрлэдэг. Энэ нь танд статистик болон магадлалын онолоос олон ойлголтын утгыг тооцоолох боломжийг олгодог функцуудтай.
Жишээ нь та утгын векторыг тодорхойлно. Үүнийг дараах байдлаар хийнэ: вектор <-c(1, 5, 2…). Одоо та энэ векторын зарим утгыг тооцоолох шаардлагатай бол функц бичиж, аргумент болгон өгнө. Зөрчлийг олохын тулд var-г ашиглах хэрэгтэй. Түүний жишээхэрэглээ: var(вектор). Дараа нь та "enter" дээр дараад үр дүнг гаргана.
дүгнэлтэнд
Вариац болон математикийн хүлээлт нь магадлалын онолын үндсэн ойлголт бөгөөд үүнгүйгээр ирээдүйд ямар нэгэн зүйлийг тооцоолоход хэцүү байдаг. Их дээд сургуулиудын лекцийн үндсэн хичээлд энэ сэдвийг судалж эхэлсэн эхний саруудад аль хэдийн авч үздэг. Чухамдаа эдгээр энгийн ойлголтуудын талаар ойлголт дутмаг, тэдгээрийг тооцоолох чадваргүйгээс болж олон оюутнууд хөтөлбөрөөс шууд хоцорч, дараа нь хичээлийн төгсгөлд муу үнэлгээ авдаг бөгөөд энэ нь тэднийг тэтгэлэггүй болгодог.
Өдөрт дор хаяж нэг долоо хоног хагас цаг дасгал хийж, энэ өгүүлэлд дурдсантай төстэй асуудлуудыг шийдээрэй. Дараа нь магадлалын онолын аливаа шалгалтанд та гадны зөвлөмж, хуурамч хуудасгүйгээр жишээнүүдийг даван туулах болно.
