Санамсаргүй хэмжигдэхүүн болон тэдгээрийн хувьсагчдын тархалтын функцийг олохын тулд энэ мэдлэгийн салбарын бүх шинж чанарыг судлах шаардлагатай. Хувьсагчийг өөрчлөх, агшин үүсгэх зэрэг асуултын утгыг олох хэд хэдэн өөр аргууд байдаг. Тархалт гэдэг нь тархалт, хэлбэлзэл гэх мэт элементүүд дээр суурилсан ойлголт юм. Гэхдээ тэдгээр нь зөвхөн тархалтын далайцын зэргийг тодорхойлдог.
Санамсаргүй хэмжигдэхүүний хамгийн чухал функцууд нь хамааралтай, бие даасан, тэгш тархсан функцууд юм. Жишээлбэл, X1 нь эрэгтэй хүн амын дундаас санамсаргүй байдлаар сонгогдсон хүний жин, X2 нь өөр нэг хүний жин, …, Xn нь эрэгтэй хүн амын дундаас нэг хүний жин юм бол бид санамсаргүй байдлаар хэрхэн ажилладагийг мэдэх хэрэгтэй. X тархсан. Энэ тохиолдолд төв хязгаарын теорем гэж нэрлэгддэг сонгодог теорем хэрэгжинэ. Энэ нь том хэмжээтэй n-ийн хувьд функц нь стандарт тархалтыг дагадаг болохыг харуулах боломжийг танд олгоно.
Нэг санамсаргүй хэмжигдэхүүний функцууд
Төв хязгаарын теорем нь бином ба Пуассон зэрэг авч үзэж буй салангид утгуудыг ойролцоолоход зориулагдсан. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын функцийг юуны түрүүнд нэг хувьсагчийн энгийн утгууд дээр авч үздэг. Жишээлбэл, X нь өөрийн магадлалын тархалттай тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүн юм. Энэ тохиолдолд бид хуваарилалтын функцын арга ба хувьсагчийн өөрчлөлт гэсэн хоёр өөр аргыг ашиглан Y-ийн нягтын функцийг хэрхэн олохыг судалж байна. Нэгдүгээрт, зөвхөн нэгийг харьцах утгыг авч үздэг. Дараа нь та хувьсагчийн магадлалыг олохын тулд хувьсагчийг өөрчлөх техникийг өөрчлөх хэрэгтэй. Эцэст нь бид урвуу хуримтлагдсан тархалтын функц нь тодорхой дараалсан хэв маягийг дагадаг санамсаргүй тоог загварчлахад хэрхэн тусалж болохыг сурах хэрэгтэй.
Харгалзах утгыг хуваарилах арга
Санамсаргүй хэмжигдэхүүний нягтыг олохын тулд түүний магадлалын тархалтын функцийн аргыг хэрэглэнэ. Энэ аргыг ашиглахдаа хуримтлагдсан утгыг тооцдог. Дараа нь үүнийг ялгаж үзвэл магадлалын нягтыг гаргаж болно. Одоо бид түгээлтийн функцийн аргатай болсон тул бид өөр хэдэн жишээг харж болно. X нь тодорхой магадлалын нягтралтай тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүн байг.
x2-ийн магадлалын нягтын функц гэж юу вэ? Хэрэв та функцийг (дээд ба баруун) y \u003d x2-г харж эсвэл графикаар зурвал энэ нь X ба 0 <y<1 нэмэгдэж байгааг анзаарч болно. Одоо та Y-г олохын тулд авч үзсэн аргыг ашиглах хэрэгтэй. Эхлээд хуримтлагдсан тархалтын функц олддог, та магадлалын нягтыг олж авахын тулд зөвхөн ялгах хэрэгтэй. Ингэснээр бид: 0<y<1 авна. Y нь X-ийн өсөн нэмэгдэж буй функц байх үед Y-г олохын тулд түгээлтийн аргыг амжилттай хэрэгжүүлсэн. Дашрамд хэлэхэд, f(y) нь 1-ээс y-д интеграцчилдаг.
Сүүлийн жишээнд хуримтлагдсан функцууд болон магадлалын нягтралыг аль санамсаргүй хэмжигдэхүүнд хамаарахыг X эсвэл Y-ээр индексжүүлэхэд маш их анхаарал хандуулсан. Жишээлбэл, Y-ийн хуримтлагдсан тархалтын функцийг олохдоо бид X-г авсан. Хэрэв та санамсаргүй хэмжигдэхүүн X болон түүний нягтыг олох шаардлагатай бол түүнийг ялгахад л хангалттай.
Хувьсагчийн өөрчлөлтийн техник
Х нь нийтлэг хуваагч f (x) бүхий тархалтын функцээр өгөгдсөн тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүн байя. Энэ тохиолдолд хэрэв та y-ийн утгыг X=v (Y) -д оруулбал x-ийн утгыг авна, жишээ нь v (y). Одоо бид тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүн Y-ийн тархалтын функцийг авах хэрэгтэй. Хуримтлагдсан Y-ийн тодорхойлолтоос эхний ба хоёр дахь тэгшитгэл хийгдэж байна. Функцийн u (X) ≦ y байх хэсэг нь гурав дахь тэгшитгэл биелнэ. X ≦ v (Y) гэдэг нь бас үнэн. Сүүлийнх нь тасралтгүй X санамсаргүй хэмжигдэхүүн дэх магадлалыг тодорхойлохын тулд хийгддэг. Одоо бид Y магадлалын нягтралыг авахын тулд FY (y) -ийн дериватив, Y-ийн хуримтлагдсан тархалтын функцийг авах хэрэгтэй.
Багаруулах функцийн ерөнхий ойлголт
Х нь c1<x<c2 дээр тодорхойлогдсон нийтлэг f (x)-тай тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүн байг. Мөн Y=u (X) нь урвуу X=v (Y) бүхий X-ийн буурах функц байя. Функц тасралтгүй ба буурч байгаа тул урвуу функц X=v (Y) байна.
Энэ асуудлыг шийдэхийн тулд та тоон мэдээлэл цуглуулж, эмпирик хуримтлагдсан тархалтын функцийг ашиглаж болно. Энэ мэдээлэл болон түүнд таалагдахын тулд та хэрэглээний дээж, стандарт хазайлт, медиа өгөгдөл гэх мэтийг нэгтгэх хэрэгтэй.
Үүнтэй адил маш энгийн магадлалын загвар ч гэсэн асар олон үр дүнтэй байж болно. Жишээлбэл, хэрэв та зоосыг 332 удаа эргүүлбэл. Дараа нь эргүүлснээр олж авсан үр дүнгийн тоо нь google-ээс (10100) их байна - энэ тоо, гэхдээ мэдэгдэж буй орчлон дахь энгийн тоосонцороос 100 квинтиллион дахин их биш юм. Боломжит бүх үр дүнд хариулт өгдөг дүн шинжилгээ хийх сонирхолгүй байна. Толгойн тоо эсвэл сүүлний хамгийн урт цус харвалт гэх мэт энгийн ойлголт хэрэгтэй болно. Сонирхсон асуудалд анхаарлаа хандуулахын тулд тодорхой үр дүнг хүлээн авдаг. Энэ тохиолдолд тодорхойлолт нь дараах байдалтай байна: санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь магадлалын орон зайтай бодит функц юм.
Санамсаргүй хэмжигдэхүүний S мужийг заримдаа төлөвийн орон зай гэж нэрлэдэг. Тиймээс хэрэв X нь тухайн утга юм бол N=X2, exp ↵X, X2 + 1, tan2 X, bXc гэх мэт. Эдгээрийн сүүлчийнх буюу X-г хамгийн ойрын бүхэл тоо хүртэл дугуйлахыг давхар функц гэж нэрлэдэг.
Тохируулгын функцууд
Х санамсаргүй хэмжигдэхүүний сонирхлын тархалтын функцийг тодорхойлсны дараа ихэвчлэн асуулт гарч ирдэг: "X нь В утгуудын зарим дэд бүлэгт багтах магадлал ямар вэ?". Жишээлбэл, B={сондгой тоо}, B={1-ээс их}, эсвэл B={2-оос 7-н хооронд} нь X-тэй үр дүнгийн утгыг заана.санамсаргүй хэмжигдэхүүн, дэд олонлог А. Тиймээс дээрх жишээнд та үйл явдлыг дараах байдлаар дүрсэлж болно.
{X нь сондгой тоо}, {X нь 1-ээс их байна}={X> 1}, {X нь 2-оос 7-ны хооронд}={2 <X <7} Б дэд олонлогийн дээрх гурван сонголттой таарч байна. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний олон шинж чанарууд нь тодорхой X-тэй холбоогүй байдаг. Харин X-ийн утгыг хэрхэн хуваарилахаас хамаарна. Энэ нь иймэрхүү сонсогдож буй тодорхойлолтод хүргэдэг: x санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын функц нь хуримтлагдсан бөгөөд тоон ажиглалтаар тодорхойлогддог.
Санамсаргүй хувьсагч ба түгээлтийн функцууд
Тиймээс та x санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын функц интервалд утгуудыг авах магадлалыг хасах замаар тооцоолж болно. Төгсгөлийн цэгүүдийг оруулах эсвэл хасах талаар бодоорой.
Санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь төгсгөлтэй эсвэл тоолж болох хязгааргүй төлөвийн орон зайтай бол бид түүнийг дискрет гэж нэрлэнэ. Тиймээс, X нь хазайлттай зоосны гурван бие даасан эргэлт дээрх толгойн тоо бөгөөд p магадлалтайгаар өсдөг. Бид X-д зориулсан дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн FX-ийн хуримтлагдсан тархалтын функцийг олох хэрэгтэй. Гурван картын цуглуулгын оргилуудын тоог X гэж үзье. Дараа нь FX-ээр дамжуулан Y=X3. FX 0-ээс эхэлж, 1-ээр дуусдаг бөгөөд x утга нэмэгдэх тусам буурахгүй. Х дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний хуримтлагдсан FX тархалтын функц нь үсрэлтээс бусад тохиолдолд тогтмол байна. Үсрэх үед FX тасралтгүй байна. Зөв байдлын талаархи мэдэгдлийг нотлохмагадлалын шинж чанараас тархалтын функцийн тасралтгүй байдал нь тодорхойлолтыг ашиглан боломжтой. Энэ нь иймэрхүү сонсогдож байна: тогтмол санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь ялгах боломжтой хуримтлагдсан FX-тэй байна.
Энэ нь хэрхэн тохиолдож болохыг харуулахын тулд бид нэгж радиустай байг жишээ болгон өгч болно. Магадгүй. сум нь заасан талбайд жигд тархсан байна. Зарим λ> 0. Иймд тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын функцууд жигд нэмэгддэг. FX нь түгээлтийн функцийн шинж чанартай.
Автобус ирэх хүртэл автобусны буудал дээр нэг эрэгтэй хүн хүлээдэг. Хүлээх хугацаа 20 минут болоход тэр татгалзах болно гэж өөрөө шийдсэн. Эндээс Т-ийн хуримтлагдсан хуваарилалтын функцийг олох шаардлагатай. Тухайн хүн автобусны буудал дээр хэвээр байх эсвэл явахгүй байх хугацаа. Санамсаргүй хувьсагч бүрийн хувьд хуримтлагдсан тархалтын функц тодорхойлогддог хэдий ч. Үүнтэй адил бусад шинж чанаруудыг ихэвчлэн ашиглах болно: дискрет хувьсагчийн масс ба санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын нягтын функц. Ихэвчлэн утгыг эдгээр хоёр утгын аль нэгээр нь гаргадаг.
Масс функцууд
Эдгээр утгыг ерөнхий (масс) шинж чанартай дараах шинж чанаруудаар авч үздэг. Эхнийх нь магадлал нь сөрөг биш гэдгийг үндэслэсэн. Хоёр дахь нь, бүх x=2S-ийн олонлог, X-ийн төлөвийн орон зай нь X-ийн магадлалын эрх чөлөөний хуваалтыг бүрдүүлдэг гэсэн ажиглалтаас гарч байна. Жишээ нь: үр дүн нь хамааралгүй, хэвийсэн зоос шидэх. Та үргэлжлүүлэн хийж болнотолгой эргэх хүртэл тодорхой үйлдлүүд. Эхний толгойн урд талын сүүлний тоог өгдөг санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг X гэж тэмдэглэе. Мөн p нь өгөгдсөн аливаа үйлдлийн магадлалыг илэрхийлнэ.
Тиймээс масс магадлалын функц нь дараах онцлог шинж чанартай байна. Нэр томьёо нь тоон дарааллыг бүрдүүлдэг тул X-ийг геометрийн санамсаргүй хэмжигдэхүүн гэж нэрлэдэг. Геометрийн схем c, cr, cr2,.,,, crn нийлбэртэй. Тиймээс sn нь n 1 гэсэн хязгаартай. Энэ тохиолдолд хязгааргүй нийлбэр нь хязгаар болно.
Дээрх массын функц нь харьцаатай геометрийн дарааллыг үүсгэдэг. Иймд а ба б натурал тоонууд. Түгээлтийн функцийн утгуудын зөрүү нь массын функцийн утгатай тэнцүү байна.
Харгалзаж буй нягтын утгууд нь тодорхойлолттой: X нь FX тархалт нь деривативтай санамсаргүй хэмжигдэхүүн юм. Z xFX (x)=fX (t) dt-1-ийг хангасан FX-ийг магадлалын нягтын функц гэнэ. X-ийг тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүн гэж нэрлэдэг. Тооцооллын үндсэн теоремд нягтын функц нь тархалтын дериватив юм. Та тодорхой интегралыг тооцоолох замаар магадлалыг тооцоолж болно.
Өгөгдлийг олон ажиглалтаас цуглуулдаг тул туршилтын горимыг загварчлахын тулд нэг удаад нэгээс олон санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг авч үзэх шаардлагатай. Тиймээс X1 ба X2 хоёр хувьсагчийн хувьд эдгээр утгуудын багц ба тэдгээрийн хамтарсан тархалт нь үйл явдлыг харах гэсэн үг юм. Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн хувьд хамтарсан магадлалын массын функцууд тодорхойлогддог. Үргэлжилсэн хүмүүсийн хувьд fX1, X2 гэж үзнэ, хаанахамтарсан магадлалын нягтрал хангагдсан.
Бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүн
Хоёр санамсаргүй хэмжигдэхүүнтэй холбоотой хоёр үйл явдал ижил байвал X1 ба X2 нь бие даасан байна. Өөрөөр хэлбэл, {X1 2 B1} ба {X2 2 B2} хоёр үйл явдал зэрэг тохиолдох магадлал y нь дээрх хувьсагчдын үржвэртэй тэнцүү буюу тус бүр нь тус тусад нь тохиолддог. Бие даасан дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн хувьд хязгаарлах ионы эзэлхүүний үржвэр болох хамтарсан магадлалын массын функц байдаг. Бие даасан тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн хувьд хамтарсан магадлалын нягтын функц нь ахиу нягтын утгуудын үржвэр юм. Эцэст нь бид x1, x2, n бие даасан ажиглалтыг авч үзье. Үл мэдэгдэх нягтрал эсвэл массын функцээс үүссэн,,, xn f. Жишээ нь, автобус хүлээх хугацааг тодорхойлсон экспоненциал санамсаргүй хэмжигдэхүүний функцүүдийн үл мэдэгдэх параметр.
Санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг дуурайх
Энэ онолын салбарын гол зорилго нь статистикийн шинжлэх ухааны үндэслэлтэй зарчмууд дээр үндэслэн дүгнэлт гаргах процедурыг боловсруулахад шаардлагатай хэрэгслээр хангах явдал юм. Тиймээс програм хангамжийг ашиглах нэг чухал тохиолдол бол бодит мэдээллийг дуурайлган псевдо өгөгдөл үүсгэх чадвар юм. Энэ нь шинжилгээний аргуудыг бодит мэдээллийн санд ашиглахаас өмнө турших, сайжруулах боломжтой болгодог. Энэ нь өгөгдлийн шинж чанарыг судлахын тулд шаардлагатайзагварчлал. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний түгээмэл хэрэглэгддэг гэр бүлийн хувьд R нь тэдгээрийг үүсгэх командуудыг өгдөг. Бусад нөхцөл байдлын хувьд нийтлэг тархалттай бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн дарааллыг загварчлах аргууд хэрэгтэй болно.
Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн ба Командын загвар. Түүврийн командыг энгийн бөгөөд давхраатай санамсаргүй түүврийг бий болгоход ашигладаг. Үүний үр дүнд, хэрэв x дараалал нь оролт байвал түүвэр(x, 40) нь x-ээс 40 бичлэгийг сонгож, 40 хэмжээтэй бүх сонголтуудын магадлал ижил байх болно. Энэ нь өгөгдмөл R командыг солихгүйгээр татаж авахад ашигладаг. Мөн дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг загварчлахад ашиглаж болно. Үүнийг хийхийн тулд x вектор ба массын функц f-д төлөвийн орон зайг өгөх хэрэгтэй. Орлуулах дуудлага=ҮНЭН нь солих үед түүвэрлэлт явагдана гэдгийг харуулж байна. Дараа нь f нийтлэг массын функцтэй n бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүний түүврийг өгөхийн тулд түүврийг (x, n, солих=ҮНЭН, prob=f) ашиглана.
1 нь хамгийн бага утга, 4 нь бүхнээс хамгийн том гэдгийг тодорхойлсон. Хэрэв prob=f командыг орхигдуулсан бол түүврийг x вектор дахь утгуудаас жигд түүвэрлэх болно. Та өгөгдлүүдийг үүсгэсэн массын функцтэй харьцуулсан симуляцийг==давхар тэнцүү гэсэн тэмдгийг харж шалгаж болно. Мөн x-ийн боломжит бүх утгыг авсан ажиглалтыг дахин тооцоолох. Та ширээ хийж болно. Үүнийг 1000 хүртэл давтаж, симуляцийг харгалзах массын функцтэй харьцуулна уу.
Магадлалын хувиргалтын зураг
Эхлээдu1, u2, санамсаргүй хэмжигдэхүүний нэгэн төрлийн тархалтын функцийг дуурайх.,,, un [0, 1] интервал дээр. Тоонуудын 10 орчим хувь нь [0, 3, 0, 4] дотор байх ёстой. Энэ нь FX тархалтын функцийг харуулсан санамсаргүй хэмжигдэхүүнд [0, 28, 0, 38] интервал дээрх симуляцийн 10% -тай тохирч байна. Үүнтэй адил санамсаргүй тоонуудын 10 орчим хувь нь [0, 7, 0, 8] интервалд байх ёстой. Энэ нь FX тархалтын функцтэй санамсаргүй хэмжигдэхүүний [0, 96, 1, 51] интервал дээрх 10% симуляцитай тохирч байна. X тэнхлэг дээрх эдгээр утгыг FX-ээс урвуу утгыг авах замаар олж авч болно. Хэрэв X нь үргэлжилсэн санамсаргүй хэмжигдэхүүн бөгөөд fX нягтрал нь өөрийн домайн хаа сайгүй эерэг байвал тархалтын функц нь хатуу нэмэгдэж байна. Энэ тохиолдолд FX нь квантил функц гэгддэг урвуу FX-1 функцтэй байна. FX (x) u зөвхөн x FX-1 (u) үед. Магадлалын хувиргалт нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний U=FX (X) шинжилгээнээс үүсэлтэй.
FX нь 0-ээс 1-ийн мужтай. Энэ нь 0-ээс доош эсвэл 1-ээс дээш байж болохгүй. u-ийн утгуудын хувьд 0-1-ийн хооронд. Хэрэв U-г дуурайж болох юм бол FX тархалттай санамсаргүй хэмжигдэхүүн байх шаардлагатай. квантын функцээр дуурайлган хийдэг. Деривативыг авч үзвэл u нягтрал 1-ийн дотор хэлбэлздэг. U санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь боломжит утгуудын интервалд тогтмол нягттай байдаг тул [0, 1] интервал дээр жигд гэж нэрлэдэг. R-д runif командын тусламжтайгаар загварчилсан. Баримтлалыг магадлалын хувиргалт гэж нэрлэдэг. Энэ нь хэрхэн ажилладагийг сумны самбарын жишээнээс харж болно. X 0-ээс 1-ийн хооронд, функцтархалт u=FX (x)=x2, иймээс квантил функц x=FX-1 (u). Сумны самбарын төвөөс хол зайд бие даасан ажиглалтыг загварчлах боломжтой бөгөөд ингэснээр U1, U2,.,, Ун. Тархалтын функц ба эмпирик функц нь сумны самбарын тархалтын 100 загварчлал дээр суурилдаг. Экспоненциал санамсаргүй хэмжигдэхүүний хувьд u=FX (x)=1 - exp (- x), тэгэхээр x=- 1 ln (1 - u) байна. Заримдаа логик нь ижил төстэй мэдэгдлүүдээс бүрддэг. Энэ тохиолдолд та аргументийн хоёр хэсгийг хооронд нь холбох хэрэгтэй. Уулзвар таних тэмдэг нь зарим утгын оронд бүх 2 {S i i} S-д ижил байна. Ci нэгдэл нь S төлөвийн орон зайтай тэнцүү бөгөөд хос бүр бие биенээ үгүйсгэдэг. Bi - нь гурван аксиомд хуваагддаг тул. Шалгалт бүр нь харгалзах P магадлал дээр суурилдаг. Аливаа дэд олонлогийн хувьд. Хариулт нь интервалын төгсгөлийн цэгүүд орсон эсэхээс хамаарахгүй эсэхийг шалгахын тулд таних тэмдэг ашиглаж байна.
Экспоненциал функц ба түүний хувьсагч
Бүх үйл явдлын үр дүн бүрийн хувьд эцсийн эцэст магадлалын тасралтгүй байдлын хоёр дахь шинж чанарыг ашигладаг бөгөөд үүнийг аксиоматик гэж үздэг. Энд байгаа санамсаргүй хэмжигдэхүүний функцийн тархалтын хууль нь тус бүр өөрийн гэсэн шийдэл, хариулттай болохыг харуулж байна.
