Математик статистик нь тодорхойгүй нөхцөл байдлын үед үндэслэлтэй шийдвэр гаргах боломжийг олгодог арга зүй юм. Мэдээлэл цуглуулах, системчлэх, туршилт, туршилтын эцсийн үр дүнг масс санамсаргүй байдлаар боловсруулах, аливаа зүй тогтлыг илрүүлэх аргуудыг судлах нь математикийн энэ салбарын хийдэг зүйл юм. Математик статистикийн үндсэн ойлголтуудыг авч үзье.
Магадлалын онолын ялгаа
Математик статистикийн аргууд нь магадлалын онолтой нягт огтлолцдог. Математикийн хоёр салбар хоёулаа олон тооны санамсаргүй үзэгдлийг судлах чиглэлээр ажилладаг. Хоёр салбар нь хязгаарын теоремоор холбогддог. Гэсэн хэдий ч эдгээр шинжлэх ухааны хооронд асар их ялгаа бий. Хэрэв магадлалын онол нь бодит ертөнц дэх үйл явцын шинж чанарыг математик загварт тулгуурлан тодорхойлдог бол математик статистик нь эсрэгээр хийдэг - энэ нь загварын шинж чанарыг дараах байдлаар тогтоодог.ажиглагдсан мэдээлэлд үндэслэсэн.
Алхам
Математик статистикийн хэрэглээг зөвхөн санамсаргүй үйл явдал эсвэл үйл явцтай холбоотой, эс тэгвээс тэдгээрийг ажигласнаар олж авсан өгөгдөлтэй холбоотой байж болно. Мөн энэ нь хэд хэдэн үе шатанд тохиолддог. Нэгдүгээрт, туршилт, туршилтын өгөгдөл нь тодорхой боловсруулалтанд ордог. Тэдгээрийг тодорхой, хялбар дүн шинжилгээ хийх зорилгоор захиалсан болно. Дараа нь ажиглагдсан санамсаргүй үйл явцын шаардлагатай параметрүүдийн яг эсвэл ойролцоо тооцооллыг хийнэ. Тэдгээр нь: байж болно.
- үйл явдлын магадлалын үнэлгээ (түүний магадлал нь анх тодорхойгүй);
- тодорхойгүй тархалтын функцийн зан төлөвийг судлах;
- хүлээлтийн тооцоо;
- зөрчлийн тооцоо
- гм.
Гурав дахь шат бол шинжилгээний өмнө тавьсан таамаглалыг шалгах, өөрөөр хэлбэл туршилтын үр дүн онолын тооцоотой хэрхэн нийцэж байгаа вэ гэсэн асуултын хариуг авах явдал юм. Үнэн хэрэгтээ энэ бол математик статистикийн үндсэн үе шат юм. Жишээ нь ажиглагдсан санамсаргүй үйл явцын зан төлөв хэвийн тархалт дотор байгаа эсэхийг авч үзэх болно.
Хүн ам
Математик статистикийн үндсэн ойлголтуудад ерөнхий болон түүвэр популяци орно. Энэ сахилга бат нь зарим өмчтэй холбоотой тодорхой объектуудын багцыг судлахтай холбоотой юм. Үүний нэг жишээ бол таксины жолоочийн ажил юм. Эдгээр санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийг авч үзье:
- ачаалал эсвэл үйлчлүүлэгчдийн тоо: өдөрт, үдийн хоолны өмнө, үдийн хоолны дараа, …;
- аялалын дундаж хугацаа;
- Ирж буй өргөдлийн тоо эсвэл тэдгээрийг хотын дүүрэгт хавсаргасан гэх мэт.
Мөн ижил төстэй санамсаргүй үйл явцын багцыг судлах боломжтой гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй бөгөөд энэ нь мөн ажиглагдаж болох санамсаргүй хэмжигдэхүүн байх болно.
Тиймээс математик статистикийн аргуудад тухайн объект дээр ижил нөхцөлд хийгдсэн судалж буй объектын бүхэл бүтэн багц буюу янз бүрийн ажиглалтын үр дүнг ерөнхий популяци гэж нэрлэдэг. Өөрөөр хэлбэл, математикийн хувьд илүү хатуугаар хэлбэл, энэ нь анхан шатны үйл явдлын орон зайд тодорхойлогддог санамсаргүй хэмжигдэхүүн бөгөөд түүн дотор дэд олонлогуудын анги тодорхойлогдсон, элементүүдийн магадлал нь мэдэгдэж байна.
Түүвэр популяци
Объект бүрийг судлахын тулд тасралтгүй судалгаа хийх нь ямар нэг шалтгааны улмаас (зардал, цаг хугацаа) боломжгүй эсвэл боломжгүй тохиолдол байдаг. Жишээлбэл, битүүмжилсэн чанамал бүрийг онгойлгож чанарыг нь шалгах нь эргэлзээтэй шийдвэр бөгөөд агаарын молекул бүрийн замыг куб метрээр тооцоолохыг оролдох нь боломжгүй юм. Ийм тохиолдолд сонгомол ажиглалтын аргыг ашигладаг: нийт хүн амын дундаас тодорхой тооны объектыг (ихэвчлэн санамсаргүй байдлаар) сонгож, тэдгээрийн шинжилгээнд хамруулдаг.
Эдгээр ойлголтууд эхэндээ төвөгтэй мэт санагдаж магадгүй. Тиймээс сэдвийг бүрэн ойлгохын тулд В. Э. Гмурманы "Магадлалын онол ба математикийн статистик" сурах бичгийг судлах хэрэгтэй. Тиймээс түүврийн багц буюу түүвэр нь ерөнхий олонлогоос санамсаргүй байдлаар сонгогдсон объектуудын цуврал юм. Математикийн нарийн утгаараа энэ нь бие даасан, жигд тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн дараалал бөгөөд тус бүрийн хувьд тархалт нь ерөнхий санамсаргүй хэмжигдэхүүнд заасантай давхцдаг.
Үндсэн ойлголт
Математик статистикийн бусад хэд хэдэн үндсэн ойлголтуудыг товчхон авч үзье. Нийтлэг буюу түүврийн объектын тоог эзэлхүүн гэж нэрлэдэг. Туршилтын явцад олж авсан түүврийн утгыг дээжийн хэрэгжилт гэж нэрлэдэг. Түүвэрт үндэслэсэн нийт популяцийн тооцоолол найдвартай байхын тулд төлөөлөх эсвэл төлөөлөх түүвэр гэж нэрлэгддэг байх нь чухал юм. Энэ нь түүвэр нь хүн амыг бүрэн төлөөлөх ёстой гэсэн үг юм. Хүн амын бүх элементүүд түүвэрт байх магадлал тэнцүү байх тохиолдолд л үүнийг хийх боломжтой.
Дээжүүд нь буцаах болон буцаахгүй байхыг ялгадаг. Эхний тохиолдолд түүврийн агуулгад давтагдсан элементийг ерөнхий багц руу буцаана, хоёр дахь тохиолдолд энэ нь тийм биш юм. Ихэвчлэн практикт орлуулахгүйгээр дээжийг ашигладаг. Нийт хүн амын тоо нь түүврийн хэмжээнээс үргэлж их хэмжээгээр давж гардаг гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Оршихдээж авах үйл явцын олон сонголт:
- энгийн - зүйлсийг нэг нэгээр нь санамсаргүй байдлаар сонгоно;
- бичигдсэн - нийт хүн амыг төрөлд хувааж, тус бүрээс сонголт хийдэг; Жишээ нь оршин суугчдын дунд явуулсан судалгаа: эрэгтэй, эмэгтэй тус тусад нь;
- механик - жишээлбэл, 10 дахь элемент бүрийг сонгох;
- цуваа - сонголтыг элементийн цуваагаар хийдэг.
Статистикийн тархалт
Гмурманы хэлснээр магадлалын онол, математик статистик нь шинжлэх ухааны ертөнцөд, ялангуяа түүний практикт маш чухал салбар юм. Түүврийн статистик тархалтыг авч үзье.
Математикийн хичээлээр шалгуулсан сурагчидтай гэж бодъё. Үүний үр дүнд бид 5, 3, 1, 4, 3, 4, 2, 5, 4, 4, 5 гэсэн багц тооцоололтой боллоо - энэ бол бидний статистикийн үндсэн материал юм.
Юуны өмнө бид үүнийг эрэмбэлэх эсвэл эрэмбэлэх үйлдлийг хийх хэрэгтэй: 1, 2, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5 - тэгээд вариацын цуваа авах хэрэгтэй. Үнэлгээ тус бүрийн давталтын тоог үнэлгээний давтамж, түүврийн хэмжээтэй харьцуулсан харьцааг харьцангуй давтамж гэж нэрлэдэг. Түүврийн статистик тархалтын хүснэгт эсвэл зүгээр л статистикийн цуваа гаргая:
| ai | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| pi | 1 | 1 | 2 | 4 | 3 |
эсвэл
| ai | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| pi | 1/11 | 1/11 | 2/11 | 4/11 | 3/11 |
Санамсаргүй хэмжигдэхүүнтэй болцгооё. Бид хэд хэдэн туршилт хийж, энэ хувьсагч ямар утгатай болохыг харцгаая. Тэр a1 - m1 удаа авсан гэж бодъё; a2 - m2 удаа гэх мэт. Энэ түүврийн хэмжээ m1 + … + mk=m байна. i нь 1-ээс k хооронд хэлбэлздэг ai нь статистик цуврал юм.
Интервалын хуваарилалт
В. Э. Гмурманы "Магадлалын онол ба математик статистик" номонд интервалын статистикийн цувралыг мөн толилуулж байна. Судалгаанд хамрагдаж буй шинж чанарын утга нь тодорхой интервалд тасралтгүй, утгын тоо их байх үед үүнийг эмхэтгэх боломжтой. Хэсэг оюутнуудыг, эс тэгвээс тэдний өндрийг авч үзье: 163, 180, 185, 172, 161, 171, 189, 157, 165, 174, 180, 181, 175, 182, 167, 159, 1117, 179, 160, 180, 166, 178, 156, 180, 189, 173, 174, 175 - нийт 30 оюутан. Мэдээжийн хэрэг, хүний өндөр нь тасралтгүй үнэ цэнэ юм. Бид интервалын алхамыг тодорхойлох хэрэгтэй. Үүний тулд Sturges томьёог ашигладаг.
| h= | макс - мин | = | 190 - 156 | = | 33 | = | 5, 59 |
| 1+лог2m | 1+лог230 | 5, 9 |
Тиймээс 6-ын утгыг интервалын хэмжээ болгон авч болно. Мөн 1+log2m нь томьёо гэдгийг хэлэх хэрэгтэй.интервалын тоог тодорхойлох (мэдээжийн хэрэг, дугуйрсан). Тиймээс томъёоны дагуу 6 интервалыг олж авсан бөгөөд тус бүр нь 6 хэмжээтэй байна. Эхний интервалын эхний утга нь томъёогоор тодорхойлогддог тоо байх болно: min - h / 2=156 - 6/2=153. Интервал болон өсөлт нь тодорхой интервал дотор буурсан сурагчдын тоог агуулсан хүснэгтийг гаргацгаая.
| H | [153; 159) | [159; 165) | [165; 171) | [171; 177) | [177; 183) | [183; 189) |
| P | 2 | 5 | 3 | 9 | 8 | 3 |
| P | 0, 06 | 0, 17 | 0, 1 | 0, 3 | 0, 27 | 0, 1 |
Мэдээж энэ бүгд биш, учир нь математик статистикт илүү олон томьёо байдаг. Бид зөвхөн зарим үндсэн ойлголтуудыг авч үзсэн.
Хуваарилалтын хуваарь
Математик статистикийн үндсэн ойлголтуудад мөн тархалтын график дүрслэл багтсан бөгөөд энэ нь ойлгомжтой байдлаараа ялгагдана. Олон өнцөгт ба гистограм гэсэн хоёр төрлийн график байдаг. Эхнийх нь салангид статистик цувралд ашиглагддаг. Мөн тасралтгүй түгээлтийн хувьд хоёр дахь нь.
