Призм бол ерөнхий боловсролын сургуулиудын цул геометрийн хичээлээр судалдаг алдартай дүрсүүдийн нэг юм. Энэ ангийн тоонуудын янз бүрийн шинж чанарыг тооцоолохын тулд та ямар төрлийн призм байгааг мэдэх хэрэгтэй. Энэ асуудлыг нарийвчлан авч үзье.
Стереометрийн призм
Юуны өмнө дурдсан тоон ангиллыг тодорхойлъё. Призм нь параллелограммаар холбогдсон хоёр зэрэгцээ олон өнцөгт сууриудаас бүрдэх дурын олон өнцөгт юм.
Та энэ зургийг дараах байдлаар авч болно: хавтгай дээрх дурын олон өнцөгтийг сонгоод дараа нь олон өнцөгтийн анхны хавтгайд хамаарахгүй дурын векторын урт руу шилжүүлнэ. Ийм зэрэгцээ хөдөлгөөний үед олон өнцөгтийн талууд ирээдүйн призмийн хажуугийн нүүрийг дүрслэх бөгөөд олон өнцөгтийн эцсийн байрлал нь зургийн хоёр дахь суурь болно. Тайлбарласан аргаар дурын төрлийн призмийг олж авч болно. Доорх зурагт гурвалжин призмийг харуулж байна.
Призмын төрлүүд юу вэ?
Энэ бол дүрсийн ангиллын тухай юмтухайн анги. Ерөнхий тохиолдолд энэ ангиллыг олон өнцөгт суурь ба зургийн хажуугийн онцлогийг харгалзан үздэг. Ихэвчлэн дараах гурван төрлийн призмийг ялгадаг:
- Шулуун ба ташуу (ташуу).
- Зөв буруу.
- Гүдгэр ба хотгор.
Нэрлэсэн ангиллын аль ч төрлийн призм нь дөрвөлжин, таван өнцөгт, …, n өнцөгт суурьтай байж болно. Гурвалжин призмийн төрлүүдийн хувьд үүнийг зөвхөн дурдсан эхний хоёр цэгийн дагуу ангилж болно. Гурвалжин призм үргэлж гүдгэр байдаг.
Доор бид эдгээр төрлийн ангиллыг нарийвчлан авч үзээд призмийн геометрийн шинж чанарыг (гадаргын талбай, эзэлхүүн) тооцоолоход хэрэгтэй томьёог өгөх болно.
Шууд ба ташуу дүрс
Шууд призмийг ташуу призмээс нэг хараад л ялгах боломжтой. Энд харгалзах тоо байна.
Энд хоёр призмийг харуулав (зүүн талд зургаан өнцөгт, баруун талд таван өнцөгт). Зургаан өнцөгт нь шулуун, таван өнцөгт нь ташуу гэж хүн бүр итгэлтэйгээр хэлэх болно. Эдгээр призмийг ямар геометрийн шинж чанараар ялгадаг вэ? Мэдээжийн хэрэг, хажуугийн нүүрний төрөл.
Шулуун призм нь суурийнхаас үл хамааран бүх нүүр нь тэгш өнцөгт юм. Тэд хоорондоо тэнцүү эсвэл ялгаатай байж болно, цорын ганц чухал зүйл бол тэдгээр нь тэгш өнцөгт бөгөөд суурьтай хоёр талт өнцөг нь 90o байна.
Ташуу дүрсийн тухайд түүний хажуугийн бүх нүүр эсвэл зарим хэсэг нь байна гэж хэлэх хэрэгтэй.суурьтай шууд бус хоёр талт өнцөг үүсгэдэг параллелограммууд.
Бүх төрлийн шулуун призмийн хувьд өндөр нь хажуугийн ирмэгийн урт, ташуу дүрсийн хувьд өндөр нь үргэлж хажуугийн ирмэгээс бага байна. Призмийн өндрийг мэдэх нь түүний гадаргуугийн талбай ба эзэлхүүнийг тооцоолоход чухал юм. Жишээлбэл, эзлэхүүний томъёо нь:
V=Soh
Энд h нь өндөр, So нь нэг суурийн талбай юм.
Призм зөв ба буруу
Аливаа призм шулуун биш эсвэл суурь нь зөв биш бол буруу байна. Шулуун ба налуу призмийн тухай асуудлыг дээр хэлэлцсэн. Энд бид "ердийн олон өнцөгт суурь" гэсэн хэллэг ямар утгатай болохыг авч үзье.
Бүх тал нь тэнцүү (уртыг нь a үсгээр тэмдэглэе) олон өнцөгт нь тэгш өнцөгт нь тэгш өнцөгт хэлбэртэй байна. Энгийн олон өнцөгтийн жишээ бол тэгш талт гурвалжин, дөрвөлжин, зургаан өнцөгт нь 120o гэх мэт. Аливаа ердийн n-gon-ийн талбайг дараах томъёогоор тооцоолно:
S=n/4a2ctg(pi/n)
Доорх нь гурвалжин, дөрвөлжин, …, найман өнцөгт суурьтай ердийн призмүүдийн бүдүүвч дүрслэл юм.
Дээрх V томъёог ашигласнаар бид ердийн дүрст харгалзах илэрхийллийг бичиж болно:
V=n/4a2ctg(pi/n)h
Нийт гадаргуугийн талбайн хувьд ердийн призмийн хувьд энэ нь хоёрын талбайгаар үүсгэгддэг.ижил суурь ба h ба а талуудтай n ижил тэгш өнцөгт. Эдгээр баримтууд нь аливаа ердийн призмийн гадаргуугийн томьёог бичих боломжийг бидэнд олгодог:
S=n/2a2ctg(pi/n) + nah
Энд эхний гишүүн нь хоёр суурийн талбайтай тохирч, хоёр дахь гишүүн нь зөвхөн хажуугийн гадаргуугийн талбайг тодорхойлно.
Бүх төрлийн энгийн призмүүдээс зөвхөн дөрвөлжин призмүүд өөрийн гэсэн нэртэй байдаг. Тиймээс a≠h бүхий ердийн дөрвөлжин призмийг тэгш өнцөгт параллелепипед гэж нэрлэдэг. Хэрэв энэ тоо a=h байвал тэд шоо гэж ярьдаг.
Хотгор дүрс
Одоог хүртэл бид зөвхөн гүдгэр төрлийн призмүүдийг авч үзсэн. Энэ нь авч үзэж буй тоонуудын ангиллыг судлахад гол анхаарлаа хандуулдаг. Гэсэн хэдий ч хотгор призмүүд бас байдаг. Эдгээр нь гүдгэрээс ялгаатай нь суурь нь дөрвөн өнцөгтөөс эхлээд хотгор олон өнцөгт хэлбэртэй байдаг.
Зурагт цаасаар хийсэн хоёр хотгор призмийг жишээ болгон үзүүлэв. Таван хошуут од хэлбэртэй зүүнийг арван өнцөгт призм, зургаан хошуут од хэлбэртэй баруун талыг хоёр өнцөгт хотгор шулуун призм гэнэ.
