Призмын тухай ойлголт. Төрөл бүрийн призмүүдийн эзэлхүүний томъёо: тогтмол, шулуун, ташуу. Асуудлын шийдэл

2024 Зохиолч: Angel Austin | [email protected]. Хамгийн сүүлд өөрчлөгдсөн: 2023-12-17 05:36

Эзлэхүүн нь огторгуйн бүх гурван хэмжээст тэгээс өөр хэмжээстэй аливаа дүрсийн шинж чанар юм. Энэ нийтлэлд бид стереометрийн (орон зайн дүрсүүдийн геометрийн) үүднээс призмийг авч үзэж, янз бүрийн төрлийн призмийн эзэлхүүнийг хэрхэн олохыг харуулах болно.

Призм гэж юу вэ?

Стереометрид энэ асуултын яг хариулт байна. Түүний доторх призмийг хоёр ижил олон өнцөгт нүүр ба хэд хэдэн параллелограммаас үүссэн дүрс гэж ойлгодог. Доорх зурагт дөрвөн өөр призмийг харуулж байна.

Тэдгээрийг тус бүрийг дараах байдлаар олж авч болно: та олон өнцөгт (гурвалжин, дөрвөлжин гэх мэт) болон тодорхой урттай сегментийг авах хэрэгтэй. Дараа нь олон өнцөгтийн орой бүрийг параллель сегментүүдийг ашиглан өөр хавтгайд шилжүүлэх хэрэгтэй. Анхны хавтгайтай параллель байх шинэ хавтгайд анх сонгосонтой төстэй шинэ олон өнцөгтийг авах болно.

Призм нь өөр өөр төрлийн байж болно. Тиймээс тэд шулуун, ташуу, зөв байж болно. Хэрэв призмийн хажуугийн ирмэг (сегмент,суурийн оройг холбох) зургийн суурийн перпендикуляр, дараа нь сүүлийнх нь шулуун шугам юм. Үүний дагуу, хэрэв энэ нөхцөл хангагдаагүй бол бид налуу призмийн тухай ярьж байна. Энгийн дүрс нь тэгш өнцөгт ба тэгш талт суурьтай зөв призм юм.

Өгүүллийн дараа бид эдгээр төрлийн призм бүрийн эзэлхүүнийг хэрхэн тооцоолохыг харуулах болно.

Ердийн призмийн эзэлхүүн

Хамгийн энгийн тохиолдлоос эхэлцгээе. Бид n өнцөгт суурьтай ердийн призмийн эзэлхүүний томъёог өгдөг. Харгалзан үзэж буй ангийн дурын зургийн V эзлэхүүний томьёо нь дараах байдалтай байна:

V=S_oцаг.

Өөрөөр хэлбэл эзэлхүүнийг тодорхойлохын тулд S_o суурийн аль нэгнийх нь талбайг тооцоод уг зургийн h өндрөөр үржүүлэхэд хангалттай.

Энгийн призмийн хувьд суурийн хажуугийн уртыг а үсгээр, хажуугийн ирмэгийн урттай тэнцүү өндрийг h үсгээр тэмдэглэе. Хэрэв n-gon-ийн суурь зөв бол түүний талбайг тооцоолох хамгийн хялбар арга бол дараах бүх нийтийн томъёог ашиглах явдал юм:

S=n/4a²ctg(pi/n).

Талуудын тоо n ба нэг талын уртын утгыг a тэнцүү болгож орлуулснаар n өнцөгт суурийн талбайг тооцоолж болно. Энд котангенсийн функцийг радианаар илэрхийлсэн pi/n өнцгийн хувьд тооцсон болохыг анхаарна уу.

S-д бичигдсэн тэгш байдлыг өгснөөр бид ердийн призмийн эзэлхүүний эцсийн томъёог олж авна:

V=n/4a²hctg(pi/n).

Тодорхой тохиолдол бүрийн хувьд та V-д харгалзах томьёог бичиж болно, гэхдээ бүгдийг ньбичмэл ерөнхий илэрхийллээс өвөрмөц дагаж мөрддөг. Жишээлбэл, ерөнхий тохиолдолд тэгш өнцөгт параллелепипед болох ердийн дөрвөлжин призмийн хувьд бид дараахь зүйлийг авна:

V₄=4/4a²hctg(pi/4)=a² цаг.

Хэрэв бид энэ илэрхийлэлд h=a гэж авбал шооны эзэлхүүний томьёо гарна.

Шууд призмийн эзэлхүүн

Шулуун тоонуудын хувьд ердийн призмүүдийн хувьд дээр дурдсан эзэлхүүнийг тооцоолох ерөнхий томъёо байхгүй гэдгийг бид шууд тэмдэглэж байна. Асуудалтай утгыг олохдоо эх хэллэгийг ашиглана:

V=S_oцаг.

Энд h нь өмнөх тохиолдлын адил хажуугийн ирмэгийн урт юм. Үндсэн талбайн хувьд S_o, энэ нь янз бүрийн утгыг авч болно. Эзлэхүүний шулуун призмийг тооцоолох ажлыг түүний суурийн талбайг олох хүртэл багасгасан.

S_o-ийн утгын тооцоог суурийн өөрийнх нь шинж чанарт үндэслэн хийх ёстой. Жишээлбэл, хэрэв энэ нь гурвалжин бол талбайг дараах байдлаар тооцоолж болно:

S_o3=1/2ah_a.

Энд h_a нь гурвалжингийн үг, өөрөөр хэлбэл түүний өндрийг суурь хүртэл буулгасан байна.

Хэрэв суурь нь дөрвөлжин бол трапец, параллелограмм, тэгш өнцөгт эсвэл бүрэн дурын төрөл байж болно. Эдгээр бүх тохиолдлуудад та талбайг тодорхойлохдоо тохирох планиметрийн томъёог ашиглах хэрэгтэй. Жишээлбэл, трапецын хувьд энэ томьёо:

S_o4=1/2(a₁+ a₂)h _a.

Энд h_a нь трапецын өндөр, a₁ ба a₂ уртууд юм. түүний зэрэгцээ талууд.

Дээд эрэмбийн олон өнцөгтүүдийн талбайг тодорхойлохын тулд тэдгээрийг энгийн хэлбэрт (гурвалжин, дөрвөлжин) хувааж, сүүлчийнх нь талбайн нийлбэрийг тооцоолох хэрэгтэй.

Хялбар призмийн хэмжээ

Энэ бол призмийн эзэлхүүнийг тооцоолох хамгийн хэцүү тохиолдол юм. Ийм тоонуудын ерөнхий томъёо нь мөн хамаарна:

V=S_oцаг.

Гэсэн хэдий ч дурын төрлийн олон өнцөгтийг илэрхийлэх суурийн талбайг олоход төвөгтэй байдал дээр зургийн өндрийг тодорхойлох асуудал нэмэгддэг. Энэ нь налуу призмийн хажуугийн ирмэгийн уртаас үргэлж бага байна.

Энэ өндрийг олох хамгийн хялбар арга бол та зургийн аль нэг өнцгийг (хавтгай эсвэл хоёр талт) мэдэж байвал болно. Хэрэв ийм өнцөг өгөгдсөн бол түүгээр призм дотор тэгш өнцөгт гурвалжинг байгуулах хэрэгтэй бөгөөд энэ нь талуудын аль нэг нь h өндөртэй байх ба тригонометрийн функц болон Пифагорын теоремыг ашиглан h утгыг олно.

Геометрийн эзлэхүүний асуудал

Гурвалжин суурьтай, өндөр нь 14 см, хажуугийн урт нь 5 см энгийн призмийг өгвөл гурвалжин призмийн эзэлхүүн хэд вэ?

Бид зөв дүрсийн тухай ярьж байгаа тул бидний сайн мэдэх томьёог ашиглах эрхтэй. Бидэнд:

V₃=3/4a²hctg(pi/3)=3/45²141/√3=√3/42514=151.55 см³.

Гурвалжин призм нь нэлээд тэгш хэмтэй дүрс бөгөөд янз бүрийн архитектурын бүтцийг ихэвчлэн хийдэг. Энэ шилэн призмийг оптикт ашигладаг.