Шулуун призмийн гадаргуугийн талбай: томъёо ба асуудлын жишээ

2024 Зохиолч: Angel Austin | [email protected]. Хамгийн сүүлд өөрчлөгдсөн: 2024-01-02 17:52

Эзэлхүүн ба гадаргуугийн талбай нь гурван хэмжээст орон зайд хязгаарлагдмал хэмжээс бүхий аливаа биеийн хоёр чухал шинж чанар юм. Энэ нийтлэлд бид олон талт призмүүдийн алдартай ангиллыг авч үзэх болно. Ялангуяа шулуун призмийн гадаргуугийн талбайг хэрхэн олох тухай асуулт гарч ирнэ.

Призм гэж юу вэ?

Призм гэдэг нь хэд хэдэн параллелограммууд болон зэрэгцээ хавтгайд байрладаг хоёр ижил олон өнцөгтүүдээр хүрээлэгдсэн аливаа олон өнцөгтийг призм юм. Эдгээр олон өнцөгтийг зургийн суурь гэж үздэг бөгөөд түүний параллелограммууд нь талууд юм. Суурийн хажуугийн (булангийн) тоо нь зургийн нэрийг тодорхойлно. Жишээлбэл, доорх зурагт таван өнцөгт призмийг харуулж байна.

Суурийн хоорондох зайг зургийн өндөр гэнэ. Хэрэв өндөр нь хажуугийн ирмэгийн урттай тэнцүү бол ийм призм шулуун болно. Шулуун призмийн хоёрдахь хангалттай шинж чанар нь түүний бүх талууд тэгш өнцөгт эсвэл дөрвөлжин хэлбэртэй байдаг. Хэрэв, гэхдээХэрэв нэг тал нь ерөнхий параллелограмм бол зураг нь налуу болно. Дөрвөн өнцөгт дүрсүүдийн жишээн дээр шулуун ба ташуу призмүүд хэрхэн ялгаатай болохыг доороос харж болно.

Шууд призмийн гадаргуугийн талбай

Хэрэв геометрийн дүрс нь n өнцөгт суурьтай бол n+2 нүүрээс бүрдэх ба n нь тэгш өнцөгт байна. Суурийн талуудын уртыг a_i гэж тэмдэглээд i=1, 2, …, n байх ба зургийн өндрийг тэмдэглэе, энэ нь урттай тэнцүү байна. хажуугийн ирмэг, h зэрэг. Бүх нүүрний гадаргуугийн талбайг (S) тодорхойлохын тулд суурь тус бүрийн S_{o талбай болон талуудын бүх талбайг (тэгш өнцөгт) нэмнэ. Тиймээс S-ийн томъёог ерөнхий хэлбэрээр дараах байдлаар бичиж болно:}

S=2S_o+ S_b

Энд S_{b нь хажуугийн гадаргуугийн талбай юм.}

Шулуу призмийн суурь нь туйлын ямар ч хавтгай олон өнцөгт байж болох тул S_{o -г тооцоолох ганц томьёо өгөх боломжгүй бөгөөд энэ утгыг ерөнхийд нь тодорхойлох тохиолдолд геометрийн шинжилгээ хийх шаардлагатай. Жишээлбэл, хэрэв суурь нь a талтай ердийн n-gon бол түүний талбайг дараах томъёогоор тооцоолно:}

S_o=n/4ctg(pi/n)a²

S_{b-ийн утгын хувьд түүнийг тооцоолох илэрхийлэлийг өгч болно. Шулуун призмийн хажуугийн гадаргуугийн талбай нь:}

S_b=h∑_i=1(a_i)

Энэ нь үнэ цэнэS_{b нь зургийн өндөр ба суурийн периметрийн үржвэрээр тооцогдоно.}

Асуудлыг шийдвэрлэх жишээ

Эзэмшсэн мэдлэгээ ашиглан дараах геометрийн бодлогыг шийдье. Суурь нь 5 см ба 7 см-ийн тэгш өнцөг бүхий тэгш өнцөгт гурвалжин бөгөөд зургийн өндөр нь 10 см. Тэгш өнцөгт призмийн гадаргуугийн талбайг олох шаардлагатай.

Эхлээд гурвалжны гипотенузыг тооцоод үзье. Энэ нь тэнцүү байх болно:

c=√(5²+ 7^{2)=8.6 см}

Одоо дахиад нэг бэлтгэл математикийн үйлдлийг хийцгээе - суурийн периметрийг тооцоол. Энэ нь: байх болно

P=5 + 7 + 8.6=20.6см

Зургийн хажуугийн гадаргуугийн талбайг P утга ба өндөр h=10 см, өөрөөр хэлбэл S_b=206 см-ийн үржвэрээр тооцно. ^2.

Бүтэн гадаргуугийн талбайг олохын тулд олсон утга дээр хоёр үндсэн талбайг нэмэх шаардлагатай. Тэгш өнцөгт гурвалжны талбай нь хөлний үржвэрийн хагасаар тодорхойлогддог тул бид дараахь зүйлийг авна:

2S_o=257/2=35см²

Тэгвэл бид шулуун гурвалжин призмийн гадаргуугийн талбай нь 35 + 206=241 см2 гэдгийг олж авна.