Эдгээр геометрийн хэлбэрүүд биднийг хаа сайгүй хүрээлж байдаг. Гүдгэр олон өнцөгт нь зөгийн сархинаг, хиймэл (хүний гараар хийсэн) гэх мэт байгалийн байж болно. Эдгээр дүрсийг янз бүрийн төрлийн өнгөлгөө үйлдвэрлэх, уран зураг, архитектур, чимэглэл гэх мэт ажилд ашигладаг. Гүдгэр олон өнцөгтүүд нь бүх цэгүүд нь энэ геометрийн дүрсийн зэргэлдээх хос оройг дайран өнгөрөх шулуун шугамын нэг талд байх шинж чанартай байдаг. Бусад тодорхойлолтууд бас бий. Олон өнцөгт нь аль нэг талыг агуулсан шулуун шугамын хувьд нэг хагас хавтгайд байрлаж байвал гүдгэр гэж нэрлэдэг.
Гүдгэр олон өнцөгт
Анхан шатны геометрийн хичээлд зөвхөн энгийн олон өнцөгтүүдийг л авч үздэг. Ийм бүх шинж чанарыг ойлгохын тулдгеометрийн хэлбэрүүд, тэдгээрийн мөн чанарыг ойлгох шаардлагатай. Эхлэхийн тулд төгсгөлүүд нь давхцаж байгаа аливаа мөрийг хаалттай гэж нэрлэдэг гэдгийг ойлгох хэрэгтэй. Түүнээс гадна үүнээс үүссэн дүрс нь янз бүрийн тохиргоотой байж болно. Олон өнцөгт нь хөрш зэргэлдээх холбоосууд нь нэг шулуун дээр байрладаггүй энгийн битүү тасархай шугам юм. Түүний холбоосууд ба оройнууд нь тус геометрийн дүрсийн талууд ба оройнууд юм. Энгийн олон шугамд огтлолцол байх ёсгүй.
Олон өнцөгтийн оройнууд нь түүний аль нэг талын төгсгөлийг төлөөлдөг бол тэдгээрийг залгаа гэж нэрлэдэг. n-р тооны орой, улмаар n-р тооны талуудтай геометрийн дүрсийг n-gon гэж нэрлэдэг. Эвдэрсэн шугамыг өөрөө энэ геометрийн дүрсийн хил буюу контур гэж нэрлэдэг. Олон өнцөгт хавтгай эсвэл хавтгай олон өнцөгтийг түүгээр хязгаарлагдсан аливаа хавтгайн төгсгөлийн хэсэг гэж нэрлэдэг. Энэхүү геометрийн дүрсийн зэргэлдээ талуудыг нэг оройноос гарч буй тасархай шугамын сегмент гэж нэрлэдэг. Хэрэв тэдгээр нь олон өнцөгтийн өөр өөр оройноос ирсэн бол тэдгээр нь зэргэлдээ байхгүй болно.
Гүдгэр олон өнцөгтийн бусад тодорхойлолт
Анхан шатны геометрийн хувьд аль олон өнцөгтийг гүдгэр гэж нэрлэдэгийг харуулсан хэд хэдэн ижил төстэй тодорхойлолтууд байдаг. Эдгээр бүх мэдэгдэл адилхан үнэн юм. Олон өнцөгтийг гүдгэр гэж үзнэ:
• доторх дурын хоёр цэгийг холбосон сегмент бүр бүхэлдээ түүний дотор оршдог;
• дотортүүний бүх диагональ худал;
• ямар ч дотоод өнцөг 180°-аас хэтрэхгүй.
Олон өнцөгт нь хавтгайг үргэлж 2 хэсэгт хуваадаг. Тэдгээрийн нэг нь хязгаарлагдмал (үүнийг тойрог дотор хийж болно), нөгөө нь хязгааргүй. Эхнийх нь дотоод бүс гэж нэрлэгддэг, хоёр дахь нь энэ геометрийн дүрсийн гаднах бүс юм. Энэ олон өнцөгт нь хэд хэдэн хагас хавтгайн огтлолцол (өөрөөр хэлбэл нийтлэг бүрэлдэхүүн хэсэг) юм. Түүнчлэн, олон өнцөгт хамаарах цэгүүдтэй төгсгөлтэй сегмент бүр үүнд бүрэн харьяалагдана.
Гүдгэр олон өнцөгтийн төрлүүд
Гүдгэр олон өнцөгтийн тодорхойлолт нь тэдгээрийн олон төрөл байдаг гэсэн үг биш юм. Мөн тус бүр нь тодорхой шалгууртай байдаг. Тиймээс дотоод өнцөг нь 180 ° гүдгэр олон өнцөгтийг сул гүдгэр гэж нэрлэдэг. Гурван оройтой гүдгэр геометрийн дүрсийг гурвалжин, дөрөв - дөрвөлжин, тав - таван өнцөгт гэх мэт гэж нэрлэдэг. Гүдгэр n өнцөгт бүр нь дараах үндсэн шаардлагыг хангадаг: n нь 3-тай тэнцүү буюу түүнээс их байх ёстой. гурвалжингууд нь гүдгэр. Бүх оройнууд нь нэг тойрог дээр байрладаг ийм төрлийн геометрийн дүрсийг тойрог дотор бичээстэй гэж нэрлэдэг. Гүдгэр олон өнцөгт тойргийн ойролцоо байгаа бүх талууд хүрч байвал түүнийг хүрээлэгдсэн гэж нэрлэдэг. Хоёр олон өнцөгтийг давхарлан давхарлаж байж л тэнцүү гэнэ. Хавтгай олон өнцөгтийг олон өнцөгт хавтгай гэж нэрлэдэг.(онгоцны хэсэг), энэ геометрийн дүрсээр хязгаарлагдана.
Энгийн гүдгэр олон өнцөгт
Энгийн олон өнцөгт нь ижил өнцөг ба талуудтай геометрийн дүрс юм. Тэдний дотор 0 цэг байдаг бөгөөд энэ нь түүний орой бүрээс ижил зайд байрладаг. Үүнийг энэ геометрийн дүрсийн төв гэж нэрлэдэг. Энэхүү геометрийн дүрсийн оройгуудтай төвийг холбосон хэрчмүүдийг апотем гэж нэрлэдэг ба 0 цэгийг талуудтай холбосон хэсгүүдийг радиус гэж нэрлэдэг.
Энгийн дөрвөлжин бол дөрвөлжин юм. Тэгш талт гурвалжинг тэгш талт гурвалжин гэнэ. Ийм тоонуудын хувьд дараах дүрэм байдаг: гүдгэр олон өнцөгтийн өнцөг бүр нь 180°(n-2)/ n, энд n нь энэ гүдгэр геометрийн дүрсийн оройнуудын тоо юм.
Аливаа энгийн олон өнцөгтийн талбайг дараах томъёогоор тодорхойлно:
S=ph, энд p нь өгөгдсөн олон өнцөгтийн бүх талуудын нийлбэрийн тал хувь, h нь үгийн урт юм.
Гүдгэр олон өнцөгтийн шинж чанарууд
Гүдгэр олон өнцөгт нь тодорхой шинж чанартай байдаг. Тиймээс, ийм геометрийн дүрсийн дурын 2 цэгийг холбосон сегмент нь заавал байх ёстой. Нотолгоо:
P нь өгөгдсөн гүдгэр олон өнцөгт гэж үзье. Бид дурын 2 цэгийг авдаг, жишээлбэл, P-д хамаарах A, B. Гүдгэр олон өнцөгтийн одоо байгаа тодорхойлолтын дагуу эдгээр цэгүүд нь P-ийн аль ч талыг агуулсан шугамын нэг талд байрлана. Иймээс AB нь мөн ийм шинж чанартай бөгөөд P-д агуулагддаг. Гүдгэр олон өнцөгт нь аль нэг оройноос нь татсан бүх диагональуудаар хэд хэдэн гурвалжинд хуваагдаж болно.
Гүдгэр геометрийн дүрсүүдийн өнцөг
Гүдгэр олон өнцөгтийн өнцөг нь түүний хажуу талуудаас үүссэн булангуудыг хэлнэ. Дотоод булангууд нь өгөгдсөн геометрийн дүрсийн дотоод бүсэд байрладаг. Нэг оройд нийлж байгаа талуудаас үүссэн өнцгийг гүдгэр олон өнцөгтийн өнцөг гэнэ. Өгөгдсөн геометрийн дүрсийн дотоод өнцөгтэй зэргэлдээх өнцгийг гадаад гэж нэрлэдэг. Дотор байрлах гүдгэр олон өнцөгт өнцөг бүр нь:
180° - x, энд x нь гадна талын өнцгийн утга юм. Энэхүү энгийн томьёо нь ийм төрлийн геометрийн хэлбэрт тохирно.
Ерөнхийдөө гадна булангийн хувьд дараах дүрэм байдаг: гүдгэр олон өнцөгтийн өнцөг бүр нь 180° ба дотоод өнцгийн утгын зөрүүтэй тэнцүү байна. Энэ нь -180 ° -аас 180 ° хооронд хэлбэлзэж болно. Тиймээс дотоод өнцөг нь 120° байх үед гаднах өнцөг нь 60° болно.
Гүдгэр олон өнцөгтүүдийн өнцгийн нийлбэр
Гүдгэр олон өнцөгтийн дотоод өнцгийн нийлбэрийг дараах томъёогоор тодорхойлно:
180°(n-2), энд n нь n өнцөгтийн оройнуудын тоо юм.
Гүдгэр олон өнцөгтийн өнцгийн нийлбэрийг тооцоолоход маш амархан. Ийм геометрийн дүрсийг авч үзье. Гүдгэр олон өнцөгт доторх өнцгийн нийлбэрийг тодорхойлохын тулд шаардлагатайтүүний нэг оройг бусад оройтой холбоно. Энэ үйлдлийн үр дүнд (n-2) гурвалжин үүснэ. Аливаа гурвалжны өнцгийн нийлбэр үргэлж 180° байдгийг бид мэднэ. Аливаа олон өнцөгт дэх тэдгээрийн тоо (n-2) тул ийм дүрсийн дотоод өнцгийн нийлбэр нь 180° x (n-2) байна.
Өгөгдсөн гүдгэр геометрийн дүрсийн хувьд гүдгэр олон өнцөгт, тухайлбал дотоод болон зэргэлдээ гадаад хоёр өнцгийн нийлбэр үргэлж 180°-тай тэнцүү байна. Үүний үндсэн дээр та түүний бүх өнцгийн нийлбэрийг тодорхойлж болно:
180 x n.
Дотоод өнцгийн нийлбэр нь 180°(n-2). Үүний үндсэн дээр энэ зургийн бүх гадаад булангийн нийлбэрийг дараах томъёогоор тодорхойлно:
180°n-180°-(n-2)=360°.
Аливаа гүдгэр олон өнцөгтийн гадна талын өнцгийн нийлбэр нь үргэлж 360° байх болно (талуудын тооноос үл хамааран).
Гүдгэр олон өнцөгтийн гадна өнцгийг ерөнхийдөө 180° ба дотоод өнцгийн утгын зөрүүгээр илэрхийлнэ.
Гүдгэр олон өнцөгтийн бусад шинж чанарууд
Эдгээр геометрийн дүрсүүдийн үндсэн шинж чанаруудаас гадна тэдгээрийг удирдах үед үүсдэг бусад шинж чанарууд байдаг. Тиймээс аль ч олон өнцөгтийг хэд хэдэн гүдгэр n-гонд хувааж болно. Үүнийг хийхийн тулд түүний тал бүрийг үргэлжлүүлж, эдгээр шулуун шугамын дагуу геометрийн дүрсийг таслах шаардлагатай. Мөн аль ч олон өнцөгтийг хэсэг бүрийн орой нь түүний бүх оройтой давхцаж байхаар хэд хэдэн гүдгэр хэсгүүдэд хуваах боломжтой. Ийм геометрийн дүрсээс гурвалжинг бүгдийг нь зурах замаар маш энгийн байдлаар хийж болнонэг оройноос авсан диагональууд. Тиймээс аливаа олон өнцөгтийг эцэст нь тодорхой тооны гурвалжинд хувааж болох бөгөөд энэ нь ийм геометрийн дүрстэй холбоотой янз бүрийн асуудлыг шийдвэрлэхэд маш хэрэгтэй болно.
Гүдгэр олон өнцөгтийн периметр
Олон өнцөгтийн талууд гэж нэрлэгддэг тасархай шугамын сегментүүдийг ихэвчлэн ab, bc, cd, de, ea гэсэн үсгээр тэмдэглэдэг. Эдгээр нь a, b, c, d, e оройтой геометрийн дүрсийн талууд юм. Энэхүү гүдгэр олон өнцөгтийн бүх талын уртын нийлбэрийг түүний периметр гэнэ.
Олон өнцөгт тойрог
Гүдгэр олон өнцөгтийг бичээс болон хязгаарлаж болно. Энэхүү геометрийн дүрсийн бүх талыг шүргэж буй тойргийг дотор нь бичээстэй гэж нэрлэдэг. Ийм олон өнцөгтийг хязгаарлагдмал гэж нэрлэдэг. Олон өнцөгт дотор дүрслэгдсэн тойргийн төв нь өгөгдсөн геометрийн дүрс доторх бүх өнцгийн биссектрисын огтлолцлын цэг юм. Ийм олон өнцөгтийн талбай нь:
S=pr, энд r нь бичээстэй тойргийн радиус, p нь өгөгдсөн олон өнцөгтийн хагас периметр юм.
Олон өнцөгтийн оройг агуулсан тойргийг тойрсон тойрог гэнэ. Түүнээс гадна энэхүү гүдгэр геометрийн дүрсийг бичээс гэж нэрлэдэг. Ийм олон өнцөгтийг тойрон хүрээлэгдсэн тойргийн төв нь бүх талын перпендикуляр биссектрис гэгдэх огтлолцлын цэг юм.
Гүдгэр геометрийн хэлбэрийн диагональ
Гүдгэр олон өнцөгтийн диагональууд нь сегментүүд юмзэргэлдээх бус оройг холбоно. Тэд тус бүр нь энэхүү геометрийн дүрс дотор оршдог. Ийм n өнцөгтийн диагональуудын тоог дараах томъёогоор тодорхойлно:
N=n (n – 3)/ 2.
Гүдгэр олон өнцөгтийн диагональуудын тоо нь анхан шатны геометрт чухал үүрэг гүйцэтгэдэг. Гүдгэр олон өнцөгт бүрийг хувааж болох гурвалжны тоог (K) дараах томъёогоор тооцоолно:
K=n – 2.
Гүдгэр олон өнцөгтийн диагональуудын тоо нь оройнуудын тооноос үргэлж хамаарна.
Гүдгэр олон өнцөгтийн задрал
Зарим тохиолдолд геометрийн бодлого бодохын тулд гүдгэр олон өнцөгтийг огтлолцдоггүй диагональ бүхий хэд хэдэн гурвалжинд хуваах шаардлагатай байдаг. Энэ асуудлыг тодорхой томъёо гаргаснаар шийдэж болно.
Бодлогын тодорхойлолт: Гүдгэр n өнцөгтийг зөвхөн энэ геометрийн дүрсийн оройгоор огтлолцох диагональуудаар хэд хэдэн гурвалжинд зөв хуваахыг нэрлэе.
Шийдвэр: Р1, Р2, Р3 …, Pn нь энэ n өнцөгтийн оройнууд гэж бодъё. Xn тоо нь түүний хуваалтын тоо юм. Pi Pn геометрийн дүрсийн олж авсан диагональыг анхааралтай авч үзье. Ердийн хуваалтуудын аль нэгэнд P1 Pn нь 1<i<n хэмжээтэй P1 Pi Pn гурвалжинд хамаардаг. Үүнээс үүдэн i=2, 3, 4 …, n-1 гэж үзвэл бид эдгээр хуваалтуудын (n-2) бүлгүүдийг олж авах бөгөөд үүнд бүх боломжит тохиолдлууд багтана.
I=2-ыг үргэлж Р2 Pn диагональ агуулсан ердийн хуваалтуудын нэг бүлэг болгоё. Түүнд орох хуваалтын тоо нь хуваалтын тоотой ижил байна(n-1)-gon P2 P3 P4… Pn. Өөрөөр хэлбэл, Xn-1-тэй тэнцэнэ.
Хэрэв i=3 бол бусад бүлэг хуваалтууд нь Р3 Р1 ба Р3 Pn диагональуудыг агуулсан байх болно. Энэ тохиолдолд энэ бүлэгт багтсан ердийн хуваалтын тоо нь (n-2)-gon P3 P4 … Pn хуваалтын тоотой давхцах болно. Өөрөөр хэлбэл, энэ нь Xn-2-тэй тэнцэнэ.
I=4 байя, тэгвэл гурвалжнуудын дунд ердийн хуваалт нь P1 P4 Pn гурвалжныг агуулж байх бөгөөд үүнтэй P1 P2 P3 P4, (n-3)-gon P4 P5 … Pn дөрвөлжин залгах болно.. Ийм дөрвөн өнцөгтийн ердийн хуваалтын тоо X4, (n-3)-gon-ийн хуваалтын тоо Xn-3 байна. Дээр дурдсан зүйлс дээр үндэслэн энэ бүлэгт багтсан зөв хуваалтын нийт тоо Xn-3 X4 байна гэж хэлж болно. i=4, 5, 6, 7…-тай бусад бүлгүүдэд Xn-4 X5, Xn-5 X6, Xn-6 X7 … ердийн хуваалтууд орно.
i=n-2 байг, тэгвэл энэ бүлгийн зөв хуваагдлын тоо нь i=2 (өөрөөр хэлбэл Xn-1-тэй тэнцүү) бүлэгт хуваагдсан тоотой ижил байх болно.
X1=X2=0, X3=1, X4=2… тул гүдгэр олон өнцөгтийн бүх хуваалтын тоо нь:
Xn=Xn-1 + Xn-2 + Xn-3 X4 + Xn-4 X5 + … + X 5 Xn-4 + X4 Xn-3 + Xn-2 + Xn-1.
Жишээ нь:
X5=X4 + X3 + X4=5
X6=X5 + X4 + X4 + X5=14
X7=X6 + X5 + X4X4 + X5 + X6=42
X8=X7 + X6 + X5X4 + X4X5 + X6 + X7=132
Дотоод нэг диагональтай огтлолцсон зөв хуваалтын тоо
Тусгай тохиолдлуудыг шалгахдаа ирж болногүдгэр n-гонын диагональуудын тоо нь энэ зургийн бүх хуваалтын үржвэртэй (n-3) тэнцүү байна гэсэн таамаглал.
Энэ таамаглалын баталгаа: P1n=Xn(n-3), тэгвэл дурын n-гоныг (n-2)-гурвалжинд хувааж болно гэж төсөөлөөд үз дээ. Түүнээс гадна (n-3)-дөрвөлжин нь тэдгээрээс бүрдэж болно. Үүний зэрэгцээ дөрвөн өнцөгт бүр диагональтай болно. Энэ гүдгэр геометрийн дүрст хоёр диагональ зурж болох тул нэмэлт (n-3) диагональыг дурын (n-3)-дөрвөлжин зурж болно гэсэн үг юм. Үүний үндсэн дээр бид аливаа ердийн хуваалтад энэ асуудлын нөхцөлийг хангасан (n-3)-диагональуудыг зурах боломжтой гэж дүгнэж болно.
Гүдгэр олон өнцөгтийн талбай
Ихэнхдээ энгийн геометрийн янз бүрийн асуудлыг шийдвэрлэхдээ гүдгэр олон өнцөгтийн талбайг тодорхойлох шаардлагатай болдог. (Xi. Yi), i=1, 2, 3… n нь өөрөө огтлолцоогүй олон өнцөгтийн бүх хөрш оройнуудын координатын дараалал гэж бодъё. Энэ тохиолдолд түүний талбайг дараах томъёогоор тооцоолно:
S=½ (∑ (Xi + Xi + 1) (Yi + Yi + 1)), хаана (X1, Y1)=(Xn +1, Yn + 1).
