Интеграл гэсэн ойлголт үүссэн нь деривативын эсрэг дериватив функцийг олохоос гадна ажлын хэмжээ, нийлмэл дүрсүүдийн талбай, туулсан зай, шугаман бус томъёогоор тодорхойлсон муруйгаар тодорхойлсон параметрүүд.
Хичээлээс
болон физик нь ажил нь хүч ба зайны үржвэртэй тэнцүү гэдгийг мэддэг. Хэрэв бүх хөдөлгөөн тогтмол хурдтай явагддаг эсвэл ижил хүчийг хэрэглэснээр зайг даван туулах юм бол бүх зүйл тодорхой болно, та зүгээр л үржүүлэх хэрэгтэй. Тогтмолын интеграл гэж юу вэ? Энэ нь y=kx+c хэлбэрийн шугаман функц юм.
Гэхдээ ажлын явцад хүч нь ямар нэгэн байдлаар байгалийн хамааралтайгаар өөрчлөгдөж болно. Хурд тогтмол биш бол туулсан зайг тооцоолоход ижил нөхцөл байдал үүсдэг.
Тэгэхээр интеграл юунд зориулагдсан нь ойлгомжтой. Аргументийн хязгааргүй бага өсөлтөөр функцын утгуудын үржвэрийн нийлбэр гэж түүний тодорхойлолт нь функцын шугамаар дээрээс хязгаарлагдсан дүрсийн талбай гэсэн энэ ойлголтын үндсэн утгыг бүрэн дүрсэлдэг. ирмэгийг тодорхойлолтын хилээр.
Jean Gaston Darboux, Францын математикч, XIX зууны хоёрдугаар хагастзуун интеграл гэж юу болохыг маш тодорхой тайлбарласан. Тэрээр ерөнхийдөө бага ахлах ангийн сурагчид ч энэ асуудлыг ойлгоход хэцүү биш гэдгийг маш тодорхой хэлсэн.
Аливаа нийлмэл хэлбэрийн функц байдаг гэж бодъё. Аргументийн утгуудыг дүрсэлсэн у тэнхлэг нь жижиг интервалд хуваагддаг, хамгийн тохиромжтой нь тэдгээр нь хязгааргүй жижиг боловч хязгааргүй байдлын тухай ойлголт нь хийсвэр байдаг тул зөвхөн жижиг хэсгүүдийг төсөөлөхөд хангалттай. үүнээс ихэвчлэн Грек үсгээр Δ (дельта) тэмдэглэдэг.
Функц нь жижиг тоосго болгон "зүссэн" болсон.
Аргументын утга бүр нь y тэнхлэг дээрх функцийн утгуудыг зурсан цэгтэй тохирч байна. Гэхдээ сонгосон хэсэг нь хоёр хүрээтэй тул функцийн хоёр утга их, бага байх болно.
Илүү их утгуудын үржвэрийн нийлбэрийг Δ өсөлтөөр том Darboux нийлбэр гэж нэрлэдэг бөгөөд S гэж тэмдэглэнэ. Үүний дагуу хязгаарлагдмал талбайн жижиг утгыг Δ-ээр үржүүлнэ. жижиг Darboux нийлбэр с бүрдүүлэх. Хэсэг нь өөрөө тэгш өнцөгт трапецтай төстэй, учир нь функцийн шугамын муруйлтыг хязгааргүй жижиг өсөлттэй үл тоомсорлож болно. Ийм геометрийн дүрсийн талбайг олох хамгийн хялбар арга бол функцийн том, бага утгын үржвэрийг Δ-өсөлтөөр нэмж, хоёрт хуваах, өөрөөр хэлбэл арифметик дундаж гэж тодорхойлох явдал юм.
Энэ бол Darboux интеграл юм:
s=Σf(x) Δ нь бага хэмжээ;
S=Σf(x+Δ)Δ нь том нийлбэр.
Тэгвэл интеграл гэж юу вэ? Функцийн шугам болон тодорхойлолтын хилээр хязгаарлагдсан талбай нь:
байх болно.
∫f(x)dx={(S+s)/2} +c
Өөрөөр хэлбэл том, жижиг Darboux нийлбэрүүдийн арифметик дундаж.c нь ялгах явцад тэг болж тохируулагдсан тогтмол утга юм.
Энэ ойлголтын геометрийн илэрхийлэлд үндэслэн интегралын физик утга тодорхой болно. Хурдны функцээр тодорхойлогдсон, абсцисса тэнхлэгийн дагуух хугацааны интервалаар хязгаарлагдсан зургийн талбай нь туулсан замын урт байх болно.
L=∫f(x)dx t1-ээс t2 хүртэлх интервал дээр, Хаана
f(x) – хурдны функц, өөрөөр хэлбэл цаг хугацааны явцад өөрчлөгдөх томъёо;
L – замын урт;
t1 – эхлэх цаг;
t2 – аяллын дуусах цаг.
Яг ижил зарчмын дагуу ажлын хэмжээг тодорхойлох бөгөөд зөвхөн абсцисс дагуух зайг зурж, тодорхой цэг бүрт үзүүлэх хүчний хэмжээг ординатын дагуу зурна.
