Сургуулийн хүүхдүүдийн хамгийн их бэрхшээлтэй тулгардаг математикийн нэг салбар бол тригонометр юм. Энэ мэдлэгийг чөлөөтэй эзэмшихийн тулд танд орон зайн сэтгэлгээ, томьёо ашиглан синус, косинус, тангенс, котангенс олох, илэрхийллийг хялбарчлах, тооцоололд pi тоог ашиглах чадвартай байх хэрэгтэй. Нэмж дурдахад та теоремуудыг батлахдаа тригонометрийг ашиглах чадвартай байх шаардлагатай бөгөөд энэ нь математикийн хөгжсөн санах ой эсвэл нарийн төвөгтэй логик гинжийг гаргах чадварыг шаарддаг.
Тригонометрийн үүсэл
Энэ шинжлэх ухааны удиртгал нь өнцгийн синус, косинус, тангенсийн тодорхойлолтоос эхлэх ёстой, гэхдээ эхлээд тригонометр юу хийдэгийг ойлгох хэрэгтэй.
Түүхээс харахад математикийн шинжлэх ухааны энэ хэсгийн судалгааны гол объект нь тэгш өнцөгт гурвалжин байсаар ирсэн. 90 градусын өнцөг байгаа нь хоёрыг зөвшөөрдөг янз бүрийн үйлдлүүдийг хийх боломжтой болгодогталууд ба нэг булан эсвэл хоёр булан ба нэг тал нь тухайн зургийн бүх параметрийн утгыг тодорхойлох болно. Өмнө нь хүмүүс энэ хэв маягийг анзаарч, барилга байгууламж барих, навигаци, одон орон судлал, тэр байтугай урлагт идэвхтэй ашиглаж эхэлсэн.
Эхлэл
Анх хүмүүс зөвхөн тэгш өнцөгт гурвалжны жишээн дээр өнцөг ба талуудын хамаарлыг ярьдаг байсан. Дараа нь тусгай томьёо нээсэн бөгөөд энэ нь математикийн энэ хэсгийг өдөр тутмын амьдралд ашиглах хил хязгаарыг өргөжүүлэх боломжийг олгосон.
Өнөөдөр сургуулийн тригонометрийн хичээл нь тэгш өнцөгт гурвалжнаас эхэлдэг бөгөөд үүний дараа сурагчид олж авсан мэдлэгээ физик, хийсвэр тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд ашигладаг бөгөөд үүнийг ахлах ангиас эхэлдэг.
Бөөрөнхий тригонометр
Хожим нь шинжлэх ухаан хөгжлийн дараагийн түвшинд хүрэх үед бөмбөрцөг геометрт синус, косинус, тангенс, котангенс бүхий томьёог ашиглаж эхэлсэн бөгөөд үүнд бусад дүрэм үйлчилдэг ба гурвалжин дахь өнцгийн нийлбэр үргэлж илүү байдаг. 180 градусаас дээш. Энэ хэсгийг сургуульд судлаагүй боловч дэлхийн гадаргуу болон бусад гаригийн гадаргуу нь гүдгэр тул түүний оршин тогтнох талаар мэдэх шаардлагатай бөгөөд энэ нь гадаргуугийн аливаа тэмдэглэгээ нь "нуман хэлбэртэй" болно гэсэн үг юм. " гурван хэмжээст орон зайд.
Бөмбөрцөг болон утас ав. Утсыг бөмбөрцөг дээрх дурын хоёр цэгт холбоно уу. Анхаараарай - энэ нь нуман хэлбэртэй болсон. Энэ нь иймэрхүү маягтуудтай харьцдаггеодези, одон орон судлал болон бусад онолын болон хэрэглээний салбарт ашигладаг бөмбөрцөг геометр.
Зөв гурвалжин
Тригонометрийг ашиглах аргуудын талаар бага зэрэг сурсаны дараа синус, косинус, тангенс гэж юу болох, тэдгээрийн тусламжтайгаар ямар тооцоолол хийж болох, ямар томьёо ашиглахыг илүү сайн ойлгохын тулд үндсэн тригонометр рүү буцъя.
Юуны өмнө тэгш өнцөгт гурвалжинтай холбоотой ойлголтуудыг ойлгох хэрэгтэй. Нэгдүгээрт, гипотенуз нь 90 градусын өнцгийн эсрэг тал юм. Тэр хамгийн урт нь. Пифагорын теоремын дагуу түүний тоон утга нь нөгөө хоёр талын квадратуудын нийлбэрийн язгууртай тэнцүү гэдгийг бид санаж байна.
Жишээ нь хоёр тал нь 3 ба 4 сантиметр бол гипотенузын урт 5 сантиметр болно. Дашрамд хэлэхэд эртний египетчүүд энэ тухай дөрвөн мянга хагас жилийн өмнө мэддэг байсан.
Тэгш өнцөг үүсгэсэн үлдсэн хоёр талыг хөл гэнэ. Нэмж дурдахад, тэгш өнцөгт координатын систем дэх гурвалжин дахь өнцгийн нийлбэр нь 180 градус гэдгийг санах хэрэгтэй.
Тодорхойлолт
Эцэст нь геометрийн суурийн талаар сайн ойлголттой болвол бид өнцгийн синус, косинус, тангенсийн тодорхойлолт руу шилжиж болно.
Өнцгийн синус нь эсрэг талын хөлийг (өөрөөр хэлбэл хүссэн өнцгийн эсрэг тал) гипотенузтай харьцуулсан харьцаа юм. Өнцгийн косинус нь зэргэлдээх хөлийг гипотенузтай харьцуулсан харьцаа юм.
Синус ч, косинус ч нэгээс их байж болохгүй гэдгийг санаарай! Яагаад?Учир нь гипотенуз нь тэгш өнцөгт гурвалжны хамгийн урт тал юм. Хөл нь хичнээн урт байсан ч энэ нь гипотенузаас богино байх бөгөөд энэ нь тэдний харьцаа үргэлж нэгээс бага байх болно гэсэн үг юм. Тиймээс, хэрэв та асуудлын хариултанд 1-ээс их утгатай синус эсвэл косинусыг олж авбал тооцоолол эсвэл үндэслэлийн алдааг хайж олох хэрэгтэй. Энэ хариулт илт буруу байна.
Эцэст нь өнцгийн тангенс нь эсрэг талын хажуугийн хажуугийн харьцаа юм. Үүнтэй ижил үр дүн нь синусын косинусыг хуваах болно. Хараач: томъёоны дагуу бид хажуугийн уртыг гипотенузаар хувааж, дараа нь хоёр дахь талын уртаар хувааж, гипотенузаар үржүүлнэ. Тиймээс бид шүргэгчийн тодорхойлолттой ижил харьцааг олж авна.
Котангенс нь булантай зэргэлдээх талыг эсрэг талтай харьцуулсан харьцаа юм. Нэгжийг шүргэгчээр хувааснаар бид ижил үр дүнд хүрнэ.
Тиймээс бид синус, косинус, тангенс, котангенс гэж юу болох тухай тодорхойлолтыг авч үзээд томьёотой харьцаж болно.
Энгийн томьёо
Тригонометрийн хувьд томьёогүйгээр хийх боломжгүй - тэдгээргүйгээр синус, косинус, тангенс, котангенсыг хэрхэн олох вэ? Гэхдээ энэ нь асуудлыг шийдвэрлэхэд яг шаардлагатай зүйл юм.
Тригонометрийг судалж эхлэхэд таны мэдэх ёстой хамгийн эхний томьёо бол өнцгийн синус ба косинусын квадратуудын нийлбэр нэгтэй тэнцүү байна. Энэ томьёо нь Пифагорын теоремын шууд үр дагавар боловч хажуу талыг биш өнцгийн утгыг олох шаардлагатай бол цаг хэмнэнэ.
Олон оюутнууд хоёр дахь томьёог сайн санахгүй байнаСургуулийн асуудлыг шийдвэрлэхэд түгээмэл байдаг: нэгийн нийлбэр ба өнцгийн тангенсийн квадрат нь өнцгийн косинусын квадратад хуваагдсантай тэнцүү байна. Нарийвчилж хараарай: эцэст нь энэ нь эхний томьёотой ижил мэдэгдэл бөгөөд зөвхөн таних тэмдгийн хоёр талыг косинусын квадратаар хуваасан. Математикийн энгийн үйлдэл нь тригонометрийн томьёог огт танихын аргагүй болгодог нь харагдаж байна. Санаж байгаарай: синус, косинус, тангенс, котангенс гэж юу болох, хувиргах дүрэм болон хэд хэдэн үндсэн томъёог мэдэж авснаар та хүссэн үедээ цаасан дээрээс шаардлагатай илүү төвөгтэй томъёог бие даан гаргаж авах боломжтой.
Давхар өнцгийн томьёо ба аргумент нэмэх
Сурах өөр хоёр томьёо нь өнцгийн нийлбэр ба зөрүүний синус ба косинусын утгатай холбоотой. Тэдгээрийг доорх зурагт үзүүлэв. Эхний тохиолдолд синус ба косинусыг хоёр удаа үржүүлж, хоёр дахь тохиолдолд синус ба косинусын хос үржвэрийг нэмнэ гэдгийг анхаарна уу.
Давхар өнцгийн аргументуудтай холбоотой томьёо бас байдаг. Тэдгээр нь өмнөх хувилбаруудаас бүрэн үүсэлтэй - дасгалын хувьд альфа өнцгийг бета өнцөгтэй тэнцүү авч, өөрөө авахыг хичээгээрэй.
Эцэст нь давхар өнцгийн томьёог синус, косинус, тангенс альфагийн зэрэглэлийг багасгахын тулд хөрвүүлж болохыг анхаарна уу.
Теорем
Үндсэн тригонометрийн хоёр гол теорем нь синусын теорем ба косинусын теорем юм. Эдгээр теоремуудын тусламжтайгаар та синус, косинус, тангенс, улмаар зургийн талбай, хэмжээг хэрхэн олохыг хялбархан ойлгож чадна.тал бүр гэх мэт
Синусын теорем нь гурвалжны тал бүрийн уртыг эсрэг талын өнцгийн утгад хуваасны үр дүнд ижил тоо гарна гэж заасан. Түүнчлэн, энэ тоо нь хүрээлэгдсэн тойргийн хоёр радиустай тэнцүү байх болно, өөрөөр хэлбэл өгөгдсөн гурвалжны бүх цэгүүдийг агуулсан тойрог.
Косинусын теорем нь Пифагорын теоремыг ерөнхийлж, түүнийг дурын гурвалжин дээр проекцлодог. Хоёр талын квадратуудын нийлбэрээс тэдгээрийн үржвэрийг хасч, тэдгээрийн зэргэлдээх өнцгийн давхар косинусаар үржүүлбэл үр дүнгийн утга нь гурав дахь талын квадраттай тэнцүү байх болно. Ийнхүү Пифагорын теорем нь косинусын теоремын онцгой тохиолдол болж хувирав.
Анхаарахгүйн улмаас гарсан алдаа
Синус, косинус, тангенс гэж юу байдгийг мэддэг байсан ч ухаангүй байдлаас эсвэл хамгийн энгийн тооцооллын алдаанаас болж алдаа гаргахад амархан байдаг. Ийм алдаа гаргахгүйн тулд хамгийн алдартайг нь харцгаая.
Юуны өмнө эцсийн үр дүнг гаргахын өмнө энгийн бутархайг аравтын бутархай руу бүү хөрвүүлээрэй - нөхцөлд өөрөөр заагаагүй бол хариултыг энгийн бутархай болгон үлдээж болно. Ийм өөрчлөлтийг алдаа гэж нэрлэж болохгүй, гэхдээ даалгаврын үе шат бүрт шинэ үндэс гарч ирж магадгүй бөгөөд үүнийг зохиогчийн санаа бодлын дагуу багасгах хэрэгтэй гэдгийг санах нь зүйтэй. Энэ тохиолдолд та шаардлагагүй математик үйлдлүүдэд цаг алдах болно. Энэ нь ялангуяа гурав, хоёрын үндэс гэх мэт утгуудын хувьд үнэн юм, учир нь тэдгээр нь алхам тутамд тохиолддог. Бөөрөнхийлөлтөд мөн адил хамаарна."Муухай" тоо.
Дараа нь косинусын теорем нь ямар ч гурвалжинд хамаарах боловч Пифагорын теорем биш гэдгийг анхаарна уу! Хэрэв та талуудын үржвэрийг тэдгээрийн хоорондох өнцгийн косинусаар үржүүлсэн үржвэрийг хоёр дахин хасахаа мартсан бол та зөвхөн буруу үр дүнг авахаас гадна тухайн сэдвийг бүрэн буруу ойлгосон гэдгээ харуулах болно. Энэ нь болгоомжгүй алдаанаас ч дор юм.
Гуравдугаарт, синус, косинус, тангенс, котангенсийн 30 ба 60 градусын өнцгийн утгыг андуурч болохгүй. Эдгээр утгыг санаарай, учир нь 30 градусын синус нь 60-ын косинустай тэнцүү ба эсрэгээр. Тэдгээрийг холих нь амархан бөгөөд та алдаатай үр дүнд хүрэх нь дамжиггүй.
Програм
Олон оюутнууд тригонометрийн хэрэглээний утгыг ойлгодоггүй тул судалж эхлэх гэж яарахгүй байна. Инженер, одон орон судлаачийн хувьд синус, косинус, тангенс гэж юу вэ? Эдгээр нь алс холын одод хүртэлх зайг тооцоолох, солир унахыг урьдчилан таамаглах, өөр гариг руу судалгааны датчик илгээх зэрэг ойлголтууд юм. Тэдгээргүйгээр барилга байгууламж барих, машин зохион бүтээх, гадаргуу дээрх ачаалал эсвэл объектын замналыг тооцоолох боломжгүй юм. Мөн эдгээр нь зөвхөн хамгийн тод жишээ юм! Эцсийн эцэст тригонометрийг аль нэг хэлбэрээр хөгжим, анагаах ухаан хүртэл хаа сайгүй ашигладаг.
дүгнэлтэнд
Тэгэхээр та синус, косинус, тангенс гэж юу байдгийг мэднэ. Та тэдгээрийг тооцоололд ашиглаж, сургуулийн асуудлыг амжилттай шийдвэрлэх боломжтой.
Бүхэл санаа ньтригонометрийг гурвалжны мэдэгдэж буй параметрүүдийн дагуу үл мэдэгдэхийг тооцоолох шаардлагатай болж бууруулсан. Гурван талын урт, гурван өнцгийн хэмжээ гэсэн нийт зургаан параметр байна. Даалгавруудын бүх ялгаа нь өөр өөр оролтын өгөгдөл өгөгдсөнд оршино.
Хөлний мэдэгдэж буй урт эсвэл гипотенуз дээр үндэслэн синус, косинус, тангенсыг хэрхэн олохыг та одоо мэдэж байна. Эдгээр нэр томьёо нь харьцаанаас өөр зүйлийг илэрхийлэхгүй бөгөөд харьцаа нь бутархай байх тул тригонометрийн бодлогын гол зорилго нь энгийн тэгшитгэл эсвэл тэгшитгэлийн системийн язгуурыг олох явдал юм. Энд сургуулийн ердийн математик танд туслах болно.
