Функц ба түүний онцлогийг судлах нь орчин үеийн математикийн гол бүлгүүдийн нэг юм. Аливаа функцийн үндсэн бүрэлдэхүүн хэсэг нь зөвхөн түүний шинж чанарыг төдийгүй энэ функцийн деривативын параметрүүдийг харуулсан график юм. Энэ төвөгтэй сэдвийг харцгаая. Функцийн хамгийн их ба хамгийн бага цэгийг олох хамгийн сайн арга юу вэ?
Функц: Тодорхойлолт
Өөр утгын утгаас ямар нэг байдлаар хамааралтай аливаа хувьсагчийг функц гэж нэрлэж болно. Жишээлбэл, f(x2) функц нь квадрат бөгөөд бүх x багцын утгыг тодорхойлдог. x=9 гэж бодъё, тэгвэл манай функцын утга 92=81-тэй тэнцүү болно.
Функцууд нь логик, вектор, логарифм, тригонометр, тоон болон бусад олон төрөлтэй. Лакруа, Лагранж, Лейбниц, Бернулли зэрэг шилдэг оюун ухаантнууд тэдний судалгаанд хамрагдсан. Тэдний зохиолууд нь функцийг судлах орчин үеийн арга барилд тулгуур болдог. Хамгийн бага оноог олохын өмнө функц болон түүний деривативын утгыг ойлгох нь маш чухал юм.
Дериватив ба түүний үүрэг
Бүх функцууд орсонхувьсах утгаасаа хамаарч байгаа нь ямар ч үед өөрийн утгыг өөрчлөх боломжтой гэсэн үг юм. График дээр үүнийг у тэнхлэгийн дагуу уруудах эсвэл өсөх муруй хэлбэрээр дүрслэх болно (энэ нь графикийн босоо дагуух "y" тоонуудын бүхэл бүтэн багц юм). Тиймээс функцийн максимум ба минимумын цэгийн тодорхойлолт нь эдгээр "хэлбэлзэлтэй" холбоотой юм. Энэ харилцаа юу болохыг тайлбарлая.
Аливаа функцийн деривативыг график дээр зурж үндсэн шинж чанарыг нь судалж, функц хэр хурдан өөрчлөгддөгийг (өөрөөр хэлбэл "x" хувьсагчаас хамаарч утгыг нь өөрчилдөг) тооцоолдог. Функц нэмэгдэх үед түүний деривативын график мөн нэмэгдэх боловч аль ч секундэд функц буурч эхлэх ба дараа нь деривативын график буурах болно. Дериватив нь хасахаас нэмэх рүү шилжих цэгүүдийг хамгийн бага цэг гэж нэрлэдэг. Хамгийн бага оноог хэрхэн олохыг мэдэхийн тулд деривативын тухай ойлголтыг илүү сайн ойлгох хэрэгтэй.
Деривативыг хэрхэн тооцох вэ?
Функцийн деривативыг тодорхойлж, тооцоолох нь дифференциал тооцооноос хэд хэдэн ойлголтыг агуулдаг. Ерөнхийдөө деривативын тодорхойлолтыг дараах байдлаар илэрхийлж болно: энэ нь функцийн өөрчлөлтийн хурдыг харуулсан утга юм.
Математикаар тодорхойлох арга нь олон оюутнуудад төвөгтэй мэт санагддаг ч үнэндээ бүх зүйл илүү хялбар байдаг. Та зүгээр л дагах хэрэгтэйаливаа функцийн деривативыг олох стандарт төлөвлөгөө. Яаж ялгах дүрмийг хэрэглэхгүйгээр, деривативын хүснэгтийг цээжлэхгүйгээр функцийн хамгийн бага цэгийг хэрхэн олохыг доор тайлбарлав.
- Та график ашиглан функцийн деривативыг тооцоолж болно. Үүнийг хийхийн тулд та функцийг өөрөө дүрсэлж, дараа нь нэг цэгийг авах хэрэгтэй (Зураг дээрх А цэг) абсцисса тэнхлэг хүртэл босоо шугамыг зур (x0 цэг), мөн А цэг дээр функцийн графикт шүргэгч зурна. Абсцисса тэнхлэг ба шүргэгч нь өнцөг үүсгэдэг a. Функц хэр хурдан өсөх утгыг тооцоолохын тулд та энэ өнцгийн тангенсыг тооцоолох хэрэгтэй.
- Х тэнхлэгийн шүргэгч ба чиглэлийн хоорондох өнцгийн тангенс нь А цэгтэй жижиг талбайд функцийн дериватив болох нь харагдаж байна. Энэ аргыг деривативыг тодорхойлох геометрийн арга гэж үздэг..
Функцийг судлах арга
Сургуулийн математикийн хичээлийн хөтөлбөрт функцийн хамгийн бага цэгийг хоёр аргаар олох боломжтой. Бид график ашиглан эхний аргыг аль хэдийн шинжилсэн боловч деривативын тоон утгыг хэрхэн тодорхойлох вэ? Үүнийг хийхийн тулд та деривативын шинж чанарыг тодорхойлсон хэд хэдэн томъёог сурч, "x" гэх мэт хувьсагчдыг тоо болгон хувиргахад туслах хэрэгтэй болно. Дараах арга нь бүх нийтийнх тул бараг бүх төрлийн функцэд (геометрийн болон логарифмын аль алинд нь) хэрэглэгдэх боломжтой.
- Функцийг дериватив функцтэй тэнцүүлэх шаардлагатай бөгөөд дараа нь дүрмийн дагуу илэрхийллийг хялбарчлах шаардлагатай.ялгах.
- тэгээр хуваана).
- Үүний дараа та функцийн анхны хэлбэрийг энгийн тэгшитгэл болгон хувиргаж, бүх илэрхийллийг тэгтэй тэнцүүлэх хэрэгтэй. Жишээлбэл, хэрэв функц нь дараах байдалтай байсан бол: f(x)=2x3+38x, ялгах дүрмийн дагуу түүний уламжлал нь f'(x)=3x-тэй тэнцүү байна. 2 +1. Дараа нь бид энэ илэрхийллийг дараах хэлбэрийн тэгшитгэл болгон хувиргана: 3x2+1=0.
- Тэгшитгэлийг шийдэж, "x" цэгүүдийг олсны дараа тэдгээрийг x тэнхлэг дээр зурж, тэмдэглэсэн цэгүүдийн хоорондох эдгээр хэсгүүдийн дериватив эерэг эсвэл сөрөг эсэхийг тодорхойлох хэрэгтэй. Тэмдэглэгээний дараа функц ямар үед буурч эхлэх нь тодорхой болно, өөрөөр хэлбэл энэ нь тэмдгийг хасахаас эсрэгээр өөрчлөх болно. Ийм байдлаар та хамгийн бага болон дээд оноог олох боломжтой.
Ялгаварлах дүрэм
Функц болон түүний деривативыг сурах хамгийн үндсэн хэсэг бол ялгах дүрмийг мэдэх явдал юм. Зөвхөн тэдний тусламжтайгаар төвөгтэй илэрхийлэл, том нарийн төвөгтэй функцийг өөрчлөх боломжтой. Тэдэнтэй танилцацгаая, тэдгээр нь нэлээд олон боловч хүч болон логарифм функцийн аль алиных нь тогтмол шинж чанаруудын улмаас бүгд маш энгийн байдаг.
- Аливаа тогтмолын дериватив нь тэг (f(x)=0). Өөрөөр хэлбэл, f(x)=x5+ x - 160 дериватив дараах хэлбэрийг авна: f' (x)=5x4+1.
- Хоёр гишүүний нийлбэрийн дериватив: (f+w)'=f'w + fw'.
- Логарифм функцийн дериватив: (logad)'=d/ln ad. Энэ томъёо нь бүх төрлийн логарифмд хамаарна.
- Зэрэглэлийн дериватив: (x)'=nxn-1. Жишээлбэл, (9x2)'=92x=18x.
- Синусоид функцийн дериватив: (sin a)'=cos a. Хэрэв a өнцгийн нүгэл 0.5 бол түүний дериватив нь √3/2 болно.
Хамгийн их оноо
Бид хамгийн бага цэгүүдийг хэрхэн олохыг аль хэдийн олж мэдсэн боловч функцийн хамгийн их цэг гэсэн ойлголт байдаг. Хэрэв хамгийн бага нь функц хасахаас нэмэх рүү шилжих цэгүүдийг илэрхийлж байвал хамгийн их цэгүүд нь x тэнхлэг дээрх функцын дериватив нэмэхээс эсрэгээр өөрчлөгдөх цэгүүд болно - хасах.
Та дээр дурдсан аргыг ашиглан хамгийн их оноог олох боломжтой, зөвхөн тэдгээр нь функц буурч эхлэх хэсгүүдийг заадаг, өөрөөр хэлбэл дериватив нь тэгээс бага байх болно гэдгийг анхаарч үзэх хэрэгтэй.
Математикийн хувьд хоёр ойлголтыг ерөнхийд нь нэгтгэн "экстремум цэгүүд" гэсэн хэллэгээр солих нь заншилтай байдаг. Даалгавар нь эдгээр цэгүүдийг тодорхойлохыг хүсэх үед энэ функцийн деривативыг тооцоолж, хамгийн бага ба хамгийн их оноог олох шаардлагатай гэсэн үг.
