Гурвалжин бол зөвхөн хоорондоо холбогдсон гурван сегментээс бүрдэх хавтгай дээр хаагдсан хамгийн энгийн дүрс юм. Геометрийн асуудалд ихэвчлэн энэ зургийн талбайг тодорхойлох шаардлагатай байдаг. Үүний тулд та юу мэдэх хэрэгтэй вэ? Нийтлэлд бид гурвалжны талбайг гурван талдаа хэрхэн олох вэ гэсэн асуултанд хариулах болно.
Ерөнхий томьёо
Гурвалжны талбайг сонгосон тал руу нь буулгасан аль нэг талын уртын үржвэр буюу өндөрийн хагасын h -ийн үржвэрээр тооцдог гэдгийг оюутан бүр мэддэг. Харгалзах томъёог доор харуулав: S=ah/2.
Хэрэв хамгийн багадаа хоёр тал болон тэдгээрийн хоорондох өнцгийн утгыг мэдэж байвал энэ илэрхийллийг ашиглаж болно. Энэ тохиолдолд h өндөр нь синус гэх мэт тригонометрийн функцуудыг ашиглан тооцоолоход хялбар байдаг. Гэхдээ гурвалжны гурван талын талбайг хэрхэн олохыг хүн бүр мэддэггүй.
Хероны томьёо
Энэ томъёо нь яаж гэсэн асуултын хариулт юмГурван тал гурвалжны талбайг олно. Үүнийг бичихийн өмнө дурын дүрсийн хэрчмүүдийн уртыг a, b, c гэж тэмдэглэе. Хероны томъёог дараах байдлаар бичнэ: S=√(p(p-a)(p-b)(p-c)).
Энд p нь зургийн хагас периметр, өөрөөр хэлбэл: p=(a+b+c)/2.
Хэдийгээр илэрхий төвөгтэй боловч S бүсийн дээрх илэрхийллийг санахад хялбар. Үүнийг хийхийн тулд эхлээд гурвалжны хагас периметрийг тооцоолж, дараа нь түүнээс зургийн хажуугийн нэг уртаар хасч, олж авсан бүх ялгаа болон хагас периметрийг өөрөө үржүүлнэ. Эцэст нь бүтээгдэхүүний квадрат язгуурыг авна уу.
Энэ томъёог манай эриний эхэн үед амьдарч байсан Александрийн Хероны нэрээр нэрлэсэн. Орчин үеийн түүх нь энэ гүн ухаантан энэ илэрхийлэлийг зохих тооцоог хийхдээ анх ашигласан гэж үздэг. Энэхүү томьёо нь МЭ 60 онд үүссэн түүний Метрика-д нийтлэгдсэн. Героноос хоёр зуун жилийн өмнө амьдарч байсан Архимедийн зарим бүтээлд Грекийн гүн ухаантан уг томъёог аль хэдийн мэддэг байсан шинж тэмдэг агуулагдаж байгааг анхаарна уу. Үүнээс гадна эртний Хятадууд гурвалжны талбайг хэрхэн олохыг мэддэг байсан бөгөөд гурван талыг мэддэг байсан.
Хероны томьёо байгаа эсэхийг мэдэхгүйгээр асуудлыг шийдэж болно гэдгийг анхаарах нь чухал. Үүнийг хийхийн тулд гурвалжинд хэд хэдэн өндрийг зурж, өмнөх догол мөрийн ерөнхий томъёог ашиглан зохих тэгшитгэлийн системийг эмхэтгэ.
Хероны илэрхийлэл нь дурын олон өнцөгтийг хувасны дараа тэдгээрийг тооцоолоход ашиглаж болно.гурвалжин болон үүссэн диагональуудын уртыг тооцоолох.
Асуудлыг шийдвэрлэх жишээ
Гурвалжны талбайг гурван талдаа хэрхэн олохыг мэдсэн тул дараах бодлогыг шийдэж мэдлэгээ бататгацгаая. Зургийн талууд 5 см, 4 см, 3 см байх ёстой. Талбайг ол.
Гурвалжны гурван тал нь мэдэгдэж байгаа тул та Хэроны томъёог ашиглаж болно. Бид хагас периметр болон шаардлагатай зөрүүг тооцоолно:
- p=(a+b+c)/2=6 см;
- p-a=1см;
- p-b=2см;
- p-c=3 см.
Тэгээд бид талбайг авна: S=√(p(p-a)(p-b)(p-c))=√(6123)=6 см2.
Бодлогын нөхцөлд өгөгдсөн гурвалжин нь зөв өнцөгтэй тул Пифагорын теорем ашигласан эсэхийг шалгахад хялбар. Ийм гурвалжны талбай нь хөлний үржвэрийн хагас тул бид дараахийг авна: S=43/2=6 см2.
Үйлдвэрлэлийн утга нь Хэроны томьёоныхтой ижил бөгөөд энэ нь сүүлчийнх нь үнэн болохыг баталж байна.
