Секунд, шүргэгч - энэ бүгдийг геометрийн хичээл дээр хэдэн зуун удаа сонсож болно. Гэвч сургуулиа төгсөх нь дуусч, он жилүүд өнгөрч, энэ бүх мэдлэг мартагддаг. Юуг санах ёстой вэ?
Эссенс
"Тойрогтой шүргэгч" гэдэг нэр томъёо хүн бүрт танил байх. Гэхдээ хүн бүр түүний тодорхойлолтыг хурдан гаргаж чадна гэдэг юу л бол. Үүний зэрэгцээ шүргэгч гэдэг нь түүнийг зөвхөн нэг цэгээр огтолж буй тойрогтой нэг хавтгайд байрлах ийм шулуун шугам юм. Тэдгээр нь маш олон янз байж болох ч бүгд ижил шинж чанартай байдаг бөгөөд үүнийг доор авч үзэх болно. Таны таамаглаж байгаагаар холбоо барих цэг нь тойрог ба шугамын огтлолцох газар юм. Аль ч тохиолдолд энэ нь нэг, гэхдээ илүү олон байвал энэ нь секант болно.
Нээлт ба судалгааны түүх
Тангенсийн тухай ойлголт эрт дээр үед гарч ирсэн. Эдгээр шулуун шугамыг эхлээд тойрог, дараа нь зууван, парабол, гиперболыг захирагч, луужингийн тусламжтайгаар барих нь геометрийн хөгжлийн эхний үе шатанд ч хийгдсэн. Мэдээжийн хэрэг, түүх нээлтийн нэрийг хадгалаагүй боловчТэр үед ч хүмүүс тойрогт шүргэгчийн шинж чанарыг сайн мэддэг байсан нь илт байна.
Орчин үед энэ үзэгдлийн сонирхол дахин хурцдаж, шинэ муруйг нээсэнтэй хослуулан энэ үзэл баримтлалыг судлах шинэ үе шат эхэлсэн. Тиймээс Галилео циклоидын тухай ойлголтыг нэвтрүүлсэн бөгөөд Ферма, Декарт нар түүнд шүргэгчийг бий болгосон. Тойргийн тухайд гэвэл энэ нутагт эртний хүмүүсийн нууц үлдсэнгүй бололтой.
Properties
Уулзвар цэг рүү татсан радиус нь шулуунтай перпендикуляр байна. Энэ
үндсэн, гэхдээ тойрогт шүргэгч байх цорын ганц шинж чанар биш. Өөр нэг чухал онцлог нь аль хэдийн хоёр шулуун шугамыг агуулдаг. Тиймээс тойргийн гадна байрлах нэг цэгээр дамжуулан хоёр шүргэгчийг зурж, тэдгээрийн сегментүүд тэнцүү байх болно. Энэ сэдвээр өөр нэг теорем байдаг, гэхдээ энэ нь зарим асуудлыг шийдвэрлэхэд маш тохиромжтой боловч сургуулийн стандарт хичээлийн хүрээнд ховор тохиолддог. Ийм сонсогдож байна. Тойргийн гадна байрлах нэг цэгээс түүнд шүргэгч ба секант татагдана. AB, AC, AD сегментүүд үүсдэг. А нь шугамын огтлолцол, B нь холбоо барих цэг, C ба D нь огтлолцол юм. Энэ тохиолдолд дараах тэгшитгэл хүчинтэй байх болно: тойрогтой шүргэгчийн урт, квадрат нь AC ба AD хэрчмүүдийн үржвэртэй тэнцүү байна.
Дээрхээс чухал үр дагавар гарч байна. Тойргийн цэг бүрийн хувьд та шүргэгч үүсгэж болно, гэхдээ зөвхөн нэг. Үүний баталгаа нь маш энгийн: онолын хувьд радиусаас перпендикулярыг түүн дээр буулгахад бид үүссэн болохыг олж мэдэв.гурвалжин байж болохгүй. Энэ нь шүргэгч нь цорын ганц гэсэн үг.
Барилга
Геометрийн бусад асуудлуудын дунд дүрэм ёсоор
биш тусгай ангилал байдаг.
сурагч, оюутнуудын хайртай. Энэ ангиллын даалгавруудыг шийдвэрлэхийн тулд танд зөвхөн луужин, захирагч хэрэгтэй. Эдгээр нь барилгын ажил юм. Тангенс үүсгэх аргууд бас бий.
Тиймээс тойрог болон түүний хилийн гадна орших цэгийг өгөв. Мөн тэдгээрийн дундуур шүргэгч зурах шаардлагатай. Үүнийг хэрхэн хийх вэ? Юуны өмнө та O тойргийн төв ба өгөгдсөн цэгийн хоорондох сегментийг зурах хэрэгтэй. Дараа нь луужин ашиглан талыг нь хуваа. Үүнийг хийхийн тулд та радиусыг тохируулах хэрэгтэй - анхны тойргийн төв ба өгөгдсөн цэгийн хоорондох зайны хагасаас арай илүү. Үүний дараа та хоёр огтлолцсон нумыг барих хэрэгтэй. Түүнээс гадна луужингийн радиусыг өөрчлөх шаардлагагүй бөгөөд тойргийн хэсэг бүрийн төв нь анхны цэг ба O цэг байх болно. Нумануудын уулзваруудыг холбох ёстой бөгөөд энэ нь сегментийг хагасаар хуваана. Луужин дээр энэ зайтай тэнцүү радиус тогтоо. Дараа нь төвийг огтлолцох цэг дээр байрлуулж, өөр тойрог зур. Анхны цэг ба О хоёулаа үүн дээр хэвтэнэ. Энэ тохиолдолд бодлогод өгөгдсөн тойрогтой дахин хоёр огтлолцол бий болно. Эдгээр нь анх өгөгдсөн цэгийн мэдрэгчтэй цэгүүд болно.
Сонирхолтой
Тойрогтой шүргэгчийг бий болгосон нь
төрөхөд хүргэсэн.
дифференциал тооцоо. Энэ сэдвээр хийсэн анхны ажилГерманы алдарт математикч Лейбницийн хэвлүүлсэн. Тэрээр бутархай ба иррациональ утгуудаас үл хамааран максимум, минимум, шүргэгчийг олох боломжийг олгосон. Одоо үүнийг өөр олон тооцоололд ашиглаж байна.
Түүнээс гадна тойрогт шүргэгч нь шүргэгчийн геометрийн утгатай холбоотой. Эндээс л түүний нэр гарч ирсэн. Латин хэлнээс орчуулбал tangens нь "шүргэх" гэсэн утгатай. Тиймээс энэ ойлголт нь зөвхөн геометр, дифференциал тооцоололтой холбоотой төдийгүй тригонометртэй холбоотой юм.
Хоёр тойрог
Тангенс үргэлж нэг хэлбэрт нөлөөлдөггүй. Хэрэв нэг тойрог руу маш олон тооны шулуун шугам зурж болох юм бол яагаад эсрэгээр нь зурж болохгүй гэж? Чадах. Гэхдээ энэ тохиолдолд даалгавар нь маш төвөгтэй, учир нь хоёр тойргийн шүргэгч нь ямар ч цэгээр дамждаггүй бөгөөд эдгээр бүх тоонуудын харьцангуй байрлал нь маш
байж болно.
өөр.
Төрөл ба сортууд
Хоёр тойрог, нэг буюу хэд хэдэн шугамын тухай ярихад эдгээр нь шүргэгч гэдгийг мэддэг байсан ч эдгээр бүх тоонууд хоорондоо хэрхэн уялдаж байгаа нь шууд тодорхой болдоггүй. Үүний үндсэн дээр хэд хэдэн сорт байдаг. Тиймээс тойрог нь нэг эсвэл хоёр нийтлэг цэгтэй байж болно, эсвэл огт байхгүй. Эхний тохиолдолд тэдгээр нь огтлолцох бөгөөд хоёр дахь тохиолдолд тэд хүрэх болно. Мөн энд хоёр сорт байдаг. Хэрэв нэг тойрог нь хоёр дахь хэсэгт суулгагдсан бол мэдрэгчийг дотоод, хэрэв үгүй бол гадаад гэж нэрлэдэг. харилцан ойлголцохЗургийн байршлыг зөвхөн зураг дээр үндэслэн хийхээс гадна тэдгээрийн радиусын нийлбэр, төвүүдийн хоорондох зайны талаархи мэдээлэлтэй байх боломжтой. Хэрэв эдгээр хоёр хэмжигдэхүүн тэнцүү бол тойрог нь шүргэнэ. Эхнийх нь том бол огтлолцох ба жижиг бол нийтлэг цэг байхгүй болно.
Шулуун шугамтай адил. Нийтлэг цэггүй дурын хоёр тойргийн хувьд та
дөрвөн шүргэгч байгуул. Тэдгээрийн хоёр нь тоонуудын хооронд огтлолцох бөгөөд тэдгээрийг дотоод гэж нэрлэдэг. Өөр хэд нь гадных.
Хэрэв бид нэг нийтлэг цэгтэй тойргийн тухай ярьж байгаа бол даалгавар маш хялбаршуулсан болно. Баримт нь энэ тохиолдолд харилцан тохиролцсоны хувьд тэд зөвхөн нэг шүргэгчтэй байх болно. Мөн энэ нь тэдний уулзварын цэгээр дамжин өнгөрөх болно. Тиймээс барилгын ажил нь хүндрэл учруулахгүй.
Хэрэв дүрсүүд огтлолцох хоёр цэгтэй бол тэдгээрт зориулж нэг ба хоёр дахь тойрогтой шүргэгч шулуун шугамыг барьж болно, гэхдээ зөвхөн гадна талынх нь. Энэ асуудлын шийдэл нь доор хэлэлцэхтэй төстэй.
Асуудлыг шийдвэрлэх
Энэ асуудлыг шийдэж болох ч гэсэн хоёр тойргийн дотоод болон гадаад шүргэгчийг байгуулахад тийм ч хялбар биш юм. Үнэн хэрэгтээ үүнд туслах дүрс ашигладаг тул энэ аргыг өөрөө бодоорой
маш асуудалтай. Тиймээс өөр өөр радиустай, төв O1 ба O2 бүхий хоёр тойрог өгөгдсөн. Тэдний хувьд та хоёр хос шүргэгч үүсгэх хэрэгтэй.
Юуны өмнө том талбайн төвд ойрхонтуслах тойрог барих шаардлагатай. Энэ тохиолдолд хоёр анхны дүрсийн радиусын ялгааг луужин дээр тогтоох ёстой. Туслах тойрог руу шүргэгч нь жижиг тойргийн төвөөс баригдсан. Үүний дараа O1 ба O2-аас эдгээр шугамууд руу перпендикуляруудыг анхны дүрстэй огтлолцох хүртэл зурна. Шүргэгчийн үндсэн шинж чанараас харахад хоёр тойрог дээрх хүссэн цэгүүд олддог. Асуудлыг шийдсэн, ядаж эхний хэсгийг нь.
Дотоод шүргэгчийг бий болгохын тулд та бодитойгоор шийдэх хэрэгтэй болно
ижил төстэй даалгавар. Дахин хэлэхэд туслах дүрс хэрэгтэй, гэхдээ энэ удаад түүний радиус нь анхныхуудын нийлбэртэй тэнцүү байх болно. Түүнд өгөгдсөн тойргийн аль нэгний төвөөс шүргэгчийг байгуулна. Шийдлийн цаашдын чиглэлийг өмнөх жишээнээс ойлгож болно.
Тойрог, бүр хоёр ба түүнээс дээш шүргэх нь тийм ч хэцүү ажил биш. Мэдээжийн хэрэг, математикчид ийм асуудлыг гараар шийдэхээ больсон бөгөөд тооцооллыг тусгай программд даатгадаг. Гэхдээ одоо үүнийг өөрөө хийх шаардлагагүй гэж битгий бодоорой, учир нь компьютерт зориулсан даалгаврыг зөв боловсруулахын тулд та маш их зүйлийг хийж, ойлгох хэрэгтэй. Харамсалтай нь мэдлэгийн хяналтын тестийн хэлбэрт эцсийн шилжсэний дараа барилгын ажил нь оюутнуудад улам бүр хүндрэл учруулах болно гэсэн болгоомжлол бий.
Илүү олон тойргийн нийтлэг шүргэгчийг олохын тулд тэд нэг хавтгайд хэвтэж байсан ч гэсэн үргэлж боломжгүй байдаг. Гэхдээ зарим тохиолдолд та ийм шулуун шугам олж болно.
Амьдралын жишээ
Хоёр тойргийн нийтлэг шүргэгч нь практикт байнга тохиолддог боловч энэ нь үргэлж мэдэгдэхүйц байдаггүй. Туузан дамжуулагч, блок систем, дамар дамжуулах бүс, оёдлын машин дахь утас чангалах, тэр ч байтугай зүгээр л дугуйн гинж - энэ бүхэн амьдралын жишээ юм. Тиймээс геометрийн асуудлууд зөвхөн онолын хувьд л үлддэг гэж битгий бодоорой: инженерчлэл, физик, барилга болон бусад олон салбарт практик хэрэглээг олдог.
