Тооцоолол гэдэг нь үүсмэл, дифференциал, тэдгээрийн функцийг судлахад ашиглахыг судалдаг тооцооллын салбар юм.
Гадаад төрхийн түүх
Дифференциал тооцоолол нь дифференциал тооцооны үндсэн заалтуудыг боловсруулж, интеграл ба дифференциалын хоорондын уялдаа холбоог анзаарсан Ньютон, Лейбниц нарын ажлын ачаар 17-р зууны хоёрдугаар хагаст бие даасан шинжлэх ухаан болон гарч ирсэн. Энэ мөчөөс хойш интегралын тооцоололтой зэрэгцэн энэхүү сахилга бат хөгжиж, улмаар математик анализын үндэс болсон. Эдгээр тооцоолол гарч ирсэн нь математикийн ертөнцөд орчин үеийн шинэ үеийг нээж, шинжлэх ухаанд шинэ салбарууд гарч ирэхэд хүргэсэн. Мөн байгалийн шинжлэх ухаан, технологид математикийн шинжлэх ухааныг ашиглах боломжийг өргөжүүлсэн.
Үндсэн ойлголт
Дифференциал тооцоолол нь математикийн үндсэн ойлголтууд дээр суурилдаг. Үүнд: бодит тоо, тасралтгүй байдал, функц, хязгаар. Цаг хугацаа өнгөрөхөд тэд интеграл болон дифференциал тооцооллын ачаар орчин үеийн дүр төрхтэй болсон.
Бүтээх үйл явц
Дифференциал тооцоог хэрэглээний хэлбэрээр бий болгож, улмаар шинжлэх ухааны аргачлалыг Кузагийн Николас бүтээсэн философийн онол гарч ирэхээс өмнө бий болсон. Түүний бүтээлүүд нь эртний шинжлэх ухааны дүгнэлтээс үүдэлтэй хувьслын хөгжил гэж тооцогддог. Философич өөрөө математикч байгаагүй ч математикийн шинжлэх ухааны хөгжилд оруулсан хувь нэмрийг үгүйсгэх аргагүй юм. Кузанский арифметикийг шинжлэх ухааны хамгийн үнэн зөв салбар гэж үзэхээс татгалзсан анхны хүмүүсийн нэг бөгөөд тухайн үеийн математикийг эргэлзээтэй болгожээ.
Эртний математикчид уг нэгжийг бүх нийтийн шалгуур болгон ашигладаг байсан бол гүн ухаантан тодорхой тооны оронд хязгааргүйг шинэ хэмжүүр болгон санал болгосон. Үүнтэй холбогдуулан математикийн шинжлэх ухаанд нарийвчлалын төлөөлөл урвуу байна. Шинжлэх ухааны мэдлэгийг түүний хэлснээр рационал ба оюуны гэж хоёр хуваадаг. Эрдэмтний үзэж байгаагаар хоёр дахь нь илүү нарийвчлалтай, учир нь эхнийх нь зөвхөн ойролцоо үр дүнг өгдөг.
Санаа
Дифференциал тооцооллын гол санаа, ойлголт нь тодорхой цэгүүдийн жижиг хороолол дахь функцтэй холбоотой. Үүнийг хийхийн тулд тогтоосон цэгүүдийн жижиг хөрш дэх зан төлөв нь олон гишүүнт эсвэл шугаман функцийн үйлдэлтэй ойролцоо функцийг судлах математикийн аппаратыг бий болгох шаардлагатай. Энэ нь дериватив ба дифференциалын тодорхойлолтод үндэслэсэн болно.
Дериватив гэсэн ойлголт гарч ирсэн нь байгалийн ухаан, математикийн олон тооны асуудлуудаас үүдэлтэй. Энэ нь ижил төрлийн хязгаарын утгыг олоход хүргэсэн.
Ахлах сургуулиас эхлэн жишээ болгон өгдөг гол асуудлын нэг бол шулуун шугамын дагуу хөдөлж буй цэгийн хурдыг тодорхойлж, энэ муруй руу шүргэгч шугам барих явдал юм. Шугаман функцийн авч үзсэн цэгийн жижиг ойролцоо функцийг ойролцоолох боломжтой тул дифференциал нь үүнтэй холбоотой юм.
Бодит хувьсагчийн функцийн дериватив гэсэн ойлголттой харьцуулбал дифференциалын тодорхойлолт нь ерөнхий шинж чанартай функцэд, тухайлбал нэг Евклидийн орон зайн нөгөө дээрх дүрслэлд л шилждэг.
дериватив
Тодорхой агшин зуурын эхлэлээс эхлэн тоологддог х-г авсан хугацаанд цэгийг Ой тэнхлэгийн чиглэлд хөдөлгө. Ийм хөдөлгөөнийг y=f(x) функцээр тодорхойлж болох бөгөөд энэ нь хөдөлж буй цэгийн координатын х момент бүрт оногддог. Механикийн хувьд энэ функцийг хөдөлгөөний хууль гэж нэрлэдэг. Хөдөлгөөний гол шинж чанар, ялангуяа тэгш бус байдал нь агшин зуурын хурд юм. Механикийн хуулийн дагуу цэг нь Ой тэнхлэгийн дагуу хөдөлж байвал санамсаргүй цаг мөчид x мөчид f (x) координатыг олж авна. Δx нь цагийн өсөлтийг илэрхийлдэг x + Δx агшинд түүний координат f(x + Δx) болно. Δy \u003d f (x + Δx) - f (x) томъёо ингэж үүсдэг бөгөөд үүнийг функцийн өсөлт гэж нэрлэдэг. Энэ нь x-ээс x + Δx хүртэлх цаг хугацааны цэгийн туулсан замыг илэрхийлнэ.
Үүнээс үүдэнтухайн үеийн хурд, деривативыг нэвтрүүлсэн. Дурын функцийн хувьд тогтмол цэг дээрх деривативыг хязгаар гэж нэрлэдэг (байгаа гэж үзвэл). Үүнийг тодорхой тэмдэгтээр тодорхойлж болно:
f’(x), y’, ý, df/dx, dy/dx, Df(x).
Деривативыг тооцоолох үйл явцыг дифференциал гэж нэрлэдэг.
Хэд хэдэн хувьсагчийн функцийн дифференциал тооцоо
Энэ тооцооны аргыг хэд хэдэн хувьсагчтай функцийг шалгахад ашигладаг. x ба y гэсэн хоёр хувьсагч байгаа тохиолдолд А цэг дээрх х-тэй хамаарах хэсэгчилсэн деривативыг энэ функцийн y-тэй x-тэй холбоотой дериватив гэнэ.
Дараах тэмдэгтээр төлөөлж болно:
f’(x)(x, y), u’(x), ∂u/∂x эсвэл ∂f(x, y)’/∂x.
Шаардлагатай ур чадвар
Амжилттай судалж, сарнисан асуудлыг шийдвэрлэх чадвартай байхын тулд интеграцчлал, ялгах ур чадвар шаардлагатай. Дифференциал тэгшитгэлийг ойлгоход хялбар болгохын тулд та дериватив ба тодорхойгүй интегралын сэдвийг сайн ойлгох хэрэгтэй. Мөн далд өгөгдсөн функцийн деривативыг хэрхэн олохыг сурахад гэмгүй. Энэ нь интеграл, дифференциалыг судлах явцад ихэвчлэн ашиглах шаардлагатай болдогтой холбоотой юм.
Дифференциал тэгшитгэлийн төрлүүд
Нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлтэй холбоотой бараг бүх туршилтын материалд 3 төрлийн тэгшитгэл байдаг: нэгэн төрлийн, салангид хувьсагчтай, шугаман нэг төрлийн бус.
Нийт дифференциал, Бернуллигийн тэгшитгэл болон бусад гэсэн ховор төрлийн тэгшитгэлүүд байдаг.
Шийдвэрийн үндэс
Эхлээд та сургуулийн хичээлээс алгебрийн тэгшитгэлийг санаж байх хэрэгтэй. Эдгээр нь хувьсагч, тоонуудыг агуулдаг. Энгийн тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд өгөгдсөн нөхцөлийг хангах тооны багцыг олох хэрэгтэй. Дүрмээр бол ийм тэгшитгэл нь нэг язгууртай бөгөөд зөв эсэхийг шалгахын тулд энэ утгыг үл мэдэгдэхээр орлуулахад л хангалттай.
Дифференциал тэгшитгэл нь үүнтэй төстэй. Ерөнхийдөө ийм эхний эрэмбийн тэгшитгэлд: орно.
- Бие даасан хувьсагч.
- Эхний функцийн дериватив.
- Функц эсвэл хамааралтай хувьсагч.
Зарим тохиолдолд үл мэдэгдэх x эсвэл y-ийн аль нэг нь дутуу байж болох ч энэ нь тийм ч чухал биш, учир нь шийдэл болон дифференциалын хувьд дээд эрэмбийн деривативгүй эхний дериватив байх шаардлагатай. тооцоо зөв байх.
Дифференциал тэгшитгэлийг шийднэ гэдэг нь өгөгдсөн илэрхийлэлтэй тохирох бүх функцийн олонлогийг олохыг хэлнэ. Ийм багц функцийг ихэвчлэн DE-ийн ерөнхий шийдэл гэж нэрлэдэг.
Интеграл тооцоо
Интегралын тооцоолол нь интегралын тухай ойлголт, шинж чанар, түүнийг тооцох аргуудыг судалдаг математик анализын нэг хэсэг юм.
Ихэвчлэн интегралын тооцоо нь муруйн дүрсийн талбайг тооцоолоход тохиолддог. Энэ талбар нь өгөгдсөн зурган дээр бичигдсэн олон өнцөгтийн талбайн тал нь аажмаар нэмэгдэх хандлагатай байгаа хязгаарыг хэлнэ, харин эдгээр талуудыг өмнө нь дурдагдсан дурын хэмжээнээс бага болгож болно.бага утгатай.
Дурын геометрийн дүрсийн талбайг тооцоолох гол санаа бол тэгш өнцөгтийн талбайг тооцоолох, өөрөөр хэлбэл түүний талбай нь урт ба өргөний үржвэртэй тэнцүү гэдгийг батлах явдал юм. Геометрийн тухайд бүх бүтээцийг захирагч, луужин ашиглан хийдэг бөгөөд дараа нь урт ба өргөний харьцаа нь оновчтой утга юм. Тэгш өнцөгт гурвалжны талбайг тооцоолохдоо хажууд нь ижил гурвалжинг тавьбал тэгш өнцөгт үүсэхийг тодорхойлж болно. Параллелограммын хувьд талбайг ижил төстэй боловч арай илүү төвөгтэй аргаар тэгш өнцөгт ба гурвалжингаар тооцоолно. Олон өнцөгтийн хувьд талбайг түүнд багтсан гурвалжингаар тооцдог.
Дурын муруйны хэмнэлтийг тодорхойлоход энэ арга ажиллахгүй. Хэрэв та үүнийг нэг дөрвөлжин болгон хуваавал дүүрээгүй газрууд байх болно. Энэ тохиолдолд дээд ба доод талдаа тэгш өнцөгт бүхий хоёр бүрээсийг ашиглахыг оролддог бөгөөд үүний үр дүнд тэдгээрт функцийн график багтсан байх болно. Эдгээр тэгш өнцөгтүүдэд хуваах арга нь энд чухал хэвээр байна. Түүнчлэн, хэрвээ бид улам жижгэвтэр хуваалтуудыг авбал дээрх болон доорх хэсэг нь тодорхой утгаар нийлэх ёстой.
Тэгш өнцөгт болгон хуваах арга руу буцах хэрэгтэй. Хоёр алдартай арга байдаг.
Риманн Лейбниц, Ньютон нарын бүтээсэн интегралыг дэд графын талбай гэж албан ёсоор тодорхойлсон. Энэ тохиолдолд тодорхой тооны босоо тэгш өнцөгтүүдээс бүрдэх тоонуудыг авч үзсэн бөгөөд хуваах замаар олж авсан.сегмент. Хуваалт багасах тусам ижил төстэй дүрсийн талбайн хэмжээ багасах хязгаар байгаа тохиолдолд энэ хязгаарыг өгөгдсөн интервал дээрх функцийн Риманы интеграл гэж нэрлэдэг.
Хоёрдахь арга нь Лебесгийн интегралыг бүтээх бөгөөд энэ нь тодорхойлсон талбайг интегралын хэсгүүдэд хувааж, дараа нь эдгээр хэсгүүдээс олж авсан утгуудаас интеграл нийлбэрийг гаргахаас бүрддэг., түүний утгын хүрээг интервалд хувааж, дараа нь эдгээр интегралуудын урьдчилсан дүрсүүдийн харгалзах хэмжигдэхүүнээр нэгтгэнэ.
Орчин үеийн ашиг тус
Дифференциал ба интеграл тооцоолол судлалын үндсэн гарын авлагуудын нэг нь Фихтэнголцын бичсэн "Дифференциал ба интеграл тооцооллын курс" юм. Түүний сурах бичиг нь олон хэвлэл, бусад хэл рүү орчуулагдсан математик анализын үндсэн гарын авлага юм. Их сургуулийн оюутнуудад зориулан бүтээгдсэн бөгөөд олон боловсролын байгууллагуудад сургалтын үндсэн хэрэглэгдэхүүн болгон ашиглаж ирсэн. Онолын өгөгдөл, практик ур чадвар өгдөг. Анх 1948 онд хэвлэгдсэн.
Функцийн судалгааны алгоритм
Функцийг дифференциал тооцооллын аргыг ашиглан судлахын тулд та өмнө нь өгсөн алгоритмыг дагаж мөрдөх ёстой:
- Функцийн хамрах хүрээг ол.
- Өгөгдсөн тэгшитгэлийн язгуурыг ол.
- Хэт хязгаарыг тооцоолох. Үүнийг хийхийн тулд дериватив болон тэгтэй тэнцэх цэгүүдийг тооцоол.
- Үүссэн утгыг тэгшитгэлд орлуулна.
Дифференциал тэгшитгэлийн төрөл
нэгдүгээр зэрэглэлийн удирдлага (өөрөөр хэлбэл дифференциалнэг хувьсагчийн тооцоо) ба тэдгээрийн төрлүүд:
- Салгаж болох тэгшитгэл: f(y)dy=g(x)dx.
- Хамгийн энгийн тэгшитгэл буюу нэг хувьсагчийн функцийн дифференциал тооцоо: y'=f(x).
- Шугаман нэг төрлийн бус нэгдүгээр эрэмбийн DE: y'+P(x)y=Q(x).
- Бернулли дифференциал тэгшитгэл: y'+P(x)y=Q(x)ya.
- Нийт дифференциалтай тэгшитгэл: P(x, y)dx+Q(x, y)dy=0.
Хоёр дахь эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл ба тэдгээрийн төрлүүд:
- Тогтмол коэффициентийн утгатай шугаман хоёрдугаар эрэмбийн нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэл: y +py'+qy=0 p, q нь R-д хамаарна.
- Тогтмол коэффициент бүхий шугаман нэг төрлийн бус хоёр дахь эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл: y +py'+qy=f(x).
- Шугаман нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэл: y +p(x)y'+q(x)y=0, нэг төрлийн бус хоёрдугаар эрэмбийн тэгшитгэл: y+p(x)y'+q(x)y=f(x).
Дээд эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл ба тэдгээрийн төрлүүд:
- Дарааллаар нь багасгаж болох дифференциал тэгшитгэл: F(x, y(k), y(k+1),.., y(n)=0.
- Шугаман дээд эрэмбийн нэгэн төрлийн тэгшитгэл: y(n)+f(n-1)y(n- 1)+…+f1y'+f0y=0, ба нэг төрлийн бус: y(n)+f(n-1)y(n-1)+…+f1 y'+f0y=f(x).
Дифференциал тэгшитгэлтэй асуудлыг шийдвэрлэх алхамууд
Алсын удирдлагын тусламжтайгаар зөвхөн математик эсвэл физикийн асуултуудыг шийдээд зогсохгүйбиологи, эдийн засаг, социологи гэх мэт. Олон янзын сэдвүүдийг үл харгалзан ийм асуудлыг шийдвэрлэхдээ нэг логик дарааллыг баримтлах хэрэгтэй:
- Алсын удирдлагын эмхэтгэл. Аливаа алдаа нь бүрэн буруу үр дүнд хүргэх тул хамгийн их нарийвчлал шаарддаг хамгийн хэцүү алхамуудын нэг юм. Үйл явцад нөлөөлж буй бүх хүчин зүйлийг харгалзан үзэж, эхний нөхцөлийг тодорхойлох шаардлагатай. Энэ нь мөн баримт, логик дүгнэлтэд үндэслэсэн байх ёстой.
- Боломжтой тэгшитгэлийн шийдэл. Энэ үйл явц нь зөвхөн математикийн нарийн тооцоолол шаарддаг тул эхний алхамаас хялбар юм.
- Үр дүнгийн шинжилгээ, үнэлгээ. Үр дүнгийн практик болон онолын үнэ цэнийг тогтоохын тулд гарган авсан шийдлийг үнэлнэ.
Анагаах ухаанд дифференциал тэгшитгэл ашиглах жишээ
Анагаах ухааны салбарт алсын удирдлага ашиглах нь тархвар судлалын математик загварыг бий болгоход тохиолддог. Үүний зэрэгцээ эдгээр тэгшитгэлүүд нь анагаах ухаанд ойрхон биологи, химийн шинжлэх ухаанд ч байдаг гэдгийг мартаж болохгүй, учир нь хүний биологийн янз бүрийн популяци, химийн процессыг судлах нь үүнд чухал үүрэг гүйцэтгэдэг.
Дээрх тахал өвчний жишээн дээр бид тусгаарлагдсан нийгэмд халдварын тархалтыг авч үзэж болно. Оршин суугчид нь гурван төрөлд хуваагддаг:
- Халдвартай, тоо x(t), хувь хүн, халдвар тээгч, тус бүр нь халдвартай (инкубацийн хугацаа богино).
- Хоёр дахь төрөлд орноХалдвартай хүмүүстэй харьцах замаар халдвар авах чадвартай мэдрэмтгий хүмүүс.
- Гурав дахь төрөлд дархлаатай эсвэл өвчний улмаас нас барсан z(t) дархлаатай хүмүүс багтана.
Хувь хүний тоо тогтмол, төрөлт, байгалийн үхэл, шилжилт хөдөлгөөнийг тооцдоггүй. Гол нь хоёр таамаглал байх болно.
Тодорхой цаг үеийн тохиолдлын хувь нь x(t)y(t) байна (өвчтэй болон мэдрэмтгий төлөөлөгчдийн хоорондох уулзварын тоотой пропорциональ байна гэсэн онолд үндэслэн эхний үед ойролцоогоор x(t)y(t)-тай пропорциональ байх болно), үүнтэй холбоотойгоор тохиолдлын тоо нэмэгдэж, мэдрэмтгий хүмүүсийн тоо ax(t)y(t) томъёогоор тооцоолсон хурдаар буурдаг. a > 0).
Дархлаа болсон эсвэл нас барсан дархлаатай хүмүүсийн тоо тохиолдлын тоотой пропорциональ хурдацтай нэмэгдэж байна, bx(t) (b > 0).
Үүний үр дүнд та бүх гурван үзүүлэлтийг харгалзан тэгшитгэлийн системийг хийж, түүн дээр үндэслэн дүгнэлт гаргах боломжтой.
Эдийн засгийн жишээ
Дифференциал тооцоог эдийн засгийн шинжилгээнд ихэвчлэн ашигладаг. Эдийн засгийн шинжилгээний гол ажил бол функц хэлбэрээр бичигдсэн эдийн засгийн хэмжигдэхүүнийг судлах явдал юм. Үүнийг татвар нэмэгдүүлсний дараа шууд орлогын өөрчлөлт, татвар ногдуулах, үйлдвэрлэлийн өртөг өөрчлөгдөхөд компанийн орлого өөрчлөгдөх, тэтгэвэрт гарсан ажилчдыг шинэ тоног төхөөрөмжөөр ямар хувь хэмжээгээр сольж болох зэрэг асуудлыг шийдвэрлэхэд ашигладаг. Ийм асуудлыг шийдэхийн тулд зайлшгүй шаардлагатайоролтын хувьсагчдаас холболтын функцийг байгуулж, дараа нь дифференциал тооцоолол ашиглан судална.
Эдийн засгийн салбарт хөдөлмөрийн хамгийн их бүтээмж, хамгийн өндөр орлого, хамгийн бага зардал гэх мэт хамгийн оновчтой үзүүлэлтүүдийг олох шаардлагатай байдаг. Ийм үзүүлэлт бүр нь нэг буюу хэд хэдэн аргументуудын функц юм. Жишээлбэл, үйлдвэрлэлийг хөдөлмөр, хөрөнгийн орцын функц гэж үзэж болно. Үүнтэй холбогдуулан тохирох утгыг олох нь нэг буюу хэд хэдэн хувьсагчаас функцийн хамгийн их эсвэл хамгийн бага утгыг олох хүртэл багасгаж болно.
Ийм төрлийн асуудлууд нь эдийн засгийн талбарт экстремаль асуудлуудын ангиллыг бий болгодог бөгөөд шийдвэрлэхэд дифференциал тооцоолол шаардлагатай байдаг. Эдийн засгийн үзүүлэлтийг өөр үзүүлэлтийн функцээр багасгах эсвэл нэмэгдүүлэх шаардлагатай үед максимум цэг дээр аргументийн өсөлт тэг рүү чиглэж байвал функцийн өсөлтийн аргументуудын харьцаа тэг болно. Үгүй бол ийм харьцаа нь эерэг эсвэл сөрөг утгатай байх үед заасан цэг нь тохиромжгүй, учир нь аргументыг нэмэгдүүлэх эсвэл багасгах замаар та хамааралтай утгыг шаардлагатай чиглэлд өөрчлөх боломжтой. Дифференциал тооцооллын нэр томьёоны хувьд энэ нь функцийн хамгийн их утгад шаардагдах нөхцөл нь түүний деривативын тэг утга байна гэсэн үг юм.
Эдийн засгийн үзүүлэлтүүд олон хүчин зүйлээс бүрддэг тул хэд хэдэн хувьсагчтай функцийн экстремумыг олоход эдийн засгийн шинжлэх ухаанд асуудал байнга гардаг. Иймэрхүү асуултууд сайн байна.дифференциал тооцоолох аргыг ашиглан хэд хэдэн хувьсагчийн функцийн онолд суралцсан. Ийм асуудалд зөвхөн ихэсгэсэн, багасгасан функцүүд төдийгүй хязгаарлалтууд орно. Иймэрхүү асуултууд нь математикийн программчлалтай холбоотой бөгөөд тусгайлан боловсруулсан аргуудын тусламжтайгаар мөн энэ шинжлэх ухааны салбарт тулгуурлан шийдэгддэг.
Эдийн засагт хэрэглэгддэг дифференциал тооцооллын аргуудын нэг чухал хэсэг нь ахиу дүн шинжилгээ юм. Эдийн засгийн салбарт энэ нэр томъёо нь ахиу үзүүлэлтүүдийн дүн шинжилгээнд үндэслэн бүтээн байгуулалт, хэрэглээний хэмжээг өөрчлөх үед хувьсах үзүүлэлт, үр дүнг судлах аргуудын багцыг хэлдэг. Хязгаарлалтын үзүүлэлт нь хэд хэдэн хувьсагчтай дериватив эсвэл хэсэгчилсэн дериватив юм.
Хэд хэдэн хувьсагчийн дифференциал тооцоолол нь математик шинжилгээний салбарын чухал сэдэв юм. Нарийвчилсан судалгаа хийхийн тулд та дээд боловсролын төрөл бүрийн сурах бичгүүдийг ашиглаж болно. Хамгийн алдартай нь Фихтэнголцын бүтээсэн "Дифференциал ба интеграл тооцооллын курс" юм. Нэрнээс нь харахад интегралтай ажиллах ур чадвар нь дифференциал тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд чухал ач холбогдолтой юм. Нэг хувьсагчийн функцийн дифференциал тооцоо явагдахад шийдэл нь илүү хялбар болно. Хэдийгээр энэ нь ижил үндсэн дүрэмд захирагддаг гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Функцийг дифференциал тооцооллын аргаар практикт судлахын тулд ахлах сургуульд өгөгдсөн алгоритмыг дагаж мөрдөхөд хангалттай бөгөөд шинэ алгоритмыг нэвтрүүлэхэд бага зэрэг төвөгтэй байдаг.хувьсагч.
