Фурье хувиргалт нь зарим бодит хувьсагчийн функцийг харьцуулах хувиргалт юм. Энэ үйлдлийг бид янз бүрийн дуу чимээг мэдрэх бүрт хийдэг. Чих нь дээд математикийн холбогдох хэсгийг судалсны дараа л бидний ухамсар хийх чадвартай автомат "тооцоолол" хийдэг. Хүний сонсголын эрхтэн нь өөрчлөлтийг бий болгодог бөгөөд үүний үр дүнд дуу чимээ (хатуу, шингэн эсвэл хийн орчинд долгион хэлбэрээр тархдаг уян харимхай орчин дахь нөхцөлт хэсгүүдийн хэлбэлзлийн хөдөлгөөн) дараалсан утгын спектр хэлбэрээр хангагдана. янз бүрийн өндөртэй тоннуудын дууны түвшин. Үүний дараа тархи энэ мэдээллийг хүн болгонд танил дуу болгон хувиргадаг.
Математик Фурьегийн хувиргалт
Дууны долгион болон бусад хэлбэлзлийн процессыг хувиргах (гэрлийн цацраг, далайн түрлэгээс оддын болон нарны идэвхжлийн мөчлөг хүртэл) мөн математикийн аргуудыг ашиглан хийж болно. Тиймээс, эдгээр техникийг ашиглан чичиргээт процессыг синусоид бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн багц, өөрөөр хэлбэл долгионы муруй хэлбэрээр дүрслэх замаар функцийг задлах боломжтой. Далайн давалгаа шиг намаас өндөр рүү, дараа нь буцаад нам руу яв. Фурье хувиргалт - функц нь тодорхой давтамжтай харгалзах синусоид бүрийн фаз эсвэл далайцыг тодорхойлдог хувиргалт юм. Фаз нь муруйны эхлэх цэг бөгөөд далайц нь түүний өндөр юм.
Фурье хувиргалт (жишээг зурагт үзүүлэв) нь шинжлэх ухааны янз бүрийн салбарт хэрэглэгддэг маш хүчирхэг хэрэгсэл юм. Зарим тохиолдолд энэ нь гэрэл, дулааны эсвэл цахилгаан энергийн нөлөөн дор явагддаг динамик үйл явцыг дүрсэлсэн нэлээд төвөгтэй тэгшитгэлийг шийдвэрлэх хэрэгсэл болгон ашигладаг. Бусад тохиолдолд энэ нь нарийн төвөгтэй хэлбэлзлийн дохионы ердийн бүрэлдэхүүн хэсгүүдийг тодорхойлох боломжийг олгодог бөгөөд үүний ачаар та хими, анагаах ухаан, одон орон судлалын янз бүрийн туршилтын ажиглалтуудыг зөв тайлбарлаж чадна.
Түүхэн мэдээлэл
Энэ аргыг анх хэрэглэсэн хүн бол Францын математикч Жан Батист Фурье юм. Дараа нь түүний нэрээр нэрлэгдсэн энэхүү өөрчлөлтийг анх дулаан дамжуулах механизмыг тайлбарлахад ашигласан. Фурье насанд хүрсэн бүх насаа дулааны шинж чанарыг судлахад зарцуулсан. Тэрээр алгебрийн тэгшитгэлийн язгуурыг тодорхойлох математикийн онолд асар их хувь нэмэр оруулсан. Фурье бол Политехникийн сургуулийн шинжилгээний профессор, Египет судлалын хүрээлэнгийн нарийн бичгийн дарга байсан бөгөөд эзэн хааны алба хашиж байсан бөгөөд Турин руу чиглэсэн зам барихад (түүний удирдлаган дор 80 мянга гаруй хавтгай дөрвөлжин километр талбайг хамарсан хумхаа өвчнийг) ялгаруулж байв.намаг). Гэсэн хэдий ч энэ бүх эрчимтэй үйл ажиллагаа нь эрдэмтэн математикийн шинжилгээ хийхэд саад болоогүй юм. 1802 онд тэрээр хатуу биет дэх дулааны тархалтыг тодорхойлсон тэгшитгэлийг гаргажээ. Эрдэмтэн 1807 онд энэхүү тэгшитгэлийг шийдэх аргыг нээсэн бөгөөд үүнийг "Фурье хувиргалт" гэж нэрлэсэн.
Дулаан дамжилтын шинжилгээ
Эрдэмтэн дулаан дамжуулах механизмыг тодорхойлох математикийн аргыг ашигласан. Тооцоолоход бэрхшээл гарахгүй тохиромжтой жишээ бол галын нэг хэсэгт дүрсэн төмрийн цагирагаар дулааны энергийг тараах явдал юм. Туршилт хийхийн тулд Фурье энэ цагирагны нэг хэсгийг халуунаар халааж, нарийн элсэнд булжээ. Үүний дараа тэр эсрэг талд нь температурын хэмжилт хийсэн. Эхэндээ дулааны хуваарилалт жигд бус байдаг: цагирагийн нэг хэсэг нь хүйтэн, нөгөө нь халуун байдаг; эдгээр бүсүүдийн хооронд температурын огцом градиент ажиглагдаж болно. Гэсэн хэдий ч металын бүх гадаргуу дээр дулаан тархах явцад энэ нь илүү жигд болдог. Тиймээс удалгүй энэ үйл явц нь синусоид хэлбэртэй болно. Эхлээд график нь косинус эсвэл синус функцийн өөрчлөлтийн хуулиудын дагуу жигд өсч, мөн жигд буурч байна. Долгион аажмаар буурч, үүний үр дүнд цагирагны бүх гадаргуу дээр температур ижил болно.
Энэ аргын зохиогч анхны жигд бус тархалтыг хэд хэдэн энгийн синусоид болгон задалж болно гэж санал болгосон. Тэд тус бүр өөрийн гэсэн үе шат (анхны байрлал), өөрийн гэсэн температуртай байх болнодээд тал нь. Түүнчлэн, ийм бүрэлдэхүүн хэсэг бүр хамгийн багадаа хамгийн ихдээ өөрчлөгддөг бөгөөд цагирагны эргэн тойронд бүхэл тоогоор хэдэн удаа бүрэн эргэлт хийдэг. Нэг үетэй бүрэлдэхүүн хэсгийг үндсэн гармоник, хоёр ба түүнээс дээш үетэй утгыг хоёр дахь гэх мэтээр нэрлэдэг. Тиймээс температурын максимум, фаз эсвэл байрлалыг тодорхойлдог математик функцийг түгээлтийн функцийн Фурье хувиргалт гэж нэрлэдэг. Эрдэмтэн математикийн хувьд тайлбарлахад хэцүү нэг бүрэлдэхүүн хэсгийг ашиглахад хялбар хэрэгсэл болох косинус ба синусын цуваа болгон багасгаж, анхны тархалтыг гаргаж өгсөн.
Шинжилгээний мөн чанар
Энэ шинжилгээг цагираг хэлбэртэй хатуу биетээр дамжуулан дулааны тархалтыг өөрчлөхөд ашиглахдаа математикч синусоид бүрэлдэхүүн хэсгийн хугацааг нэмэгдүүлэх нь түүний хурдан задралд хүргэдэг гэж үзсэн. Энэ нь үндсэн болон хоёр дахь гармоникуудад тодорхой харагдаж байна. Сүүлд нь температур нь нэг дамжлагад хоёр удаа, эхнийх нь зөвхөн нэг удаа хамгийн их ба хамгийн бага утгад хүрдэг. Хоёрдахь гармоник дахь дулааны халах зай нь үндсэн үеийнхээс хоёр дахин их байх болно. Нэмж дурдахад хоёр дахь градиент нь эхнийхээс хоёр дахин эгц байх болно. Тиймээс илүү эрчимтэй дулааны урсгал нь хоёр дахин богино зайд дамждаг тул энэ гармоник нь үндсэнээс дөрөв дахин хурдан задардаг. Ирээдүйд энэ үйл явц илүү хурдан явагдах болно. Математикч энэ арга нь цаг хугацааны хувьд анхны температурын тархалтын процессыг тооцоолох боломжийг олгодог гэж үздэг.
Үе үеийн хүмүүст зориулсан сорилт
Фурье хувиргах алгоритм нь тухайн үеийн математикийн онолын үндсийг сорьсон юм. 19-р зууны эхээр Лагранж, Лаплас, Пуассон, Лежендре, Биот зэрэг алдартай эрдэмтэд түүний анхны температурын тархалт үндсэн гармоник ба өндөр давтамжийн хэлбэрээр бүрэлдэхүүн хэсгүүдэд задардаг гэсэн мэдэгдлийг хүлээн зөвшөөрөөгүй. Гэсэн хэдий ч Шинжлэх ухааны академи математикчийн олж авсан үр дүнг үл тоомсорлож чадаагүй бөгөөд түүнд дулаан дамжилтын хуулиудын онол, түүнчлэн физикийн туршилттай харьцуулсан шагналыг гардуулав. Фурьегийн хандлагад гол эсэргүүцэл нь тасархай функцийг тасралтгүй хэд хэдэн синусоид функцүүдийн нийлбэрээр төлөөлдөг явдал байв. Эцсийн эцэст тэд урагдсан шулуун, муруй шугамыг дүрсэлдэг. Эрдэмтний үеийнхэн тасалдалтай функцийг квадрат, шугаман, синусоид эсвэл экспоненциал гэх мэт тасралтгүй функцүүдийн хослолоор дүрсэлсэн ижил төстэй нөхцөл байдалтай хэзээ ч тулгарч байгаагүй. Хэрэв математикч хэлсэн үгэндээ зөв байсан бол тригонометрийн функцийн хязгааргүй цувралын нийлбэрийг яг алхам алхмаар бууруулах хэрэгтэй. Тухайн үед ийм мэдэгдэл хийх нь утгагүй санагдаж байсан. Гэсэн хэдий ч эргэлзээтэй байсан ч зарим судлаачид (жишээлбэл, Клод Навьер, Софи Жермен) судалгааны цар хүрээг өргөжүүлж, дулааны энергийн тархалтын шинжилгээнээс давсан байна. Энэ хооронд математикчид хэд хэдэн синусоид функцүүдийн нийлбэрийг тасалдалтай нэгийг яг дүрслэх боломжтой юу гэсэн асуулттай тэмцсээр байв.
200 жилийн настайтүүх
Энэ онол нь хоёр зууны турш хөгжиж ирсэн бөгөөд өнөөдөр эцэст нь бий болсон. Түүний тусламжтайгаар орон зайн эсвэл цаг хугацааны функцууд нь өөрийн давтамж, үе шат, далайцтай байдаг синусоид бүрэлдэхүүн хэсгүүдэд хуваагддаг. Энэхүү хувиргалтыг хоёр өөр математикийн аргаар олж авдаг. Тэдгээрийн эхнийх нь анхны функц тасралтгүй байх үед, хоёр дахь нь тусдаа бие даасан өөрчлөлтүүдийн багцаар илэрхийлэгдэх үед ашиглагддаг. Хэрэв илэрхийлэл нь салангид интервалаар тодорхойлогддог утгуудаас олдвол түүнийг салангид давтамжтай хэд хэдэн синусоид илэрхийлэлд хувааж болно - хамгийн бага, дараа нь үндсэн давтамжаас хоёр, гурав дахин их гэх мэт. Ийм нийлбэрийг Фурьегийн цуваа гэж нэрлэдэг. Хэрэв анхны илэрхийлэлд бодит тоо тус бүрийн утгыг өгсөн бол түүнийг бүх боломжит давтамжийн хэд хэдэн синусоид болгон задалж болно. Үүнийг ихэвчлэн Фурье интеграл гэж нэрлэдэг бөгөөд шийдэл нь функцийн интеграл хувиргалтыг илэрхийлдэг. Хөрвүүлэлтийг хэрхэн олж авахаас үл хамааран давтамж бүрт хоёр тоог зааж өгөх ёстой: далайц ба давтамж. Эдгээр утгыг нэг цогц тоогоор илэрхийлнэ. Нарийн төвөгтэй хувьсагчдын илэрхийлэлийн онол нь Фурьегийн хувиргалттай хамт янз бүрийн цахилгаан хэлхээг зохион бүтээх, механик чичиргээний шинжилгээ, долгионы тархалтын механизмыг судлах гэх мэт тооцоолол хийх боломжтой болсон.
Өнөөдрийн Фурье хувиргалт
Өнөөдөр энэ үйл явцыг судлах нь голчлон үр дүнтэй болох хүртэл буурч байнафункцээс хувирсан хэлбэр рүү шилжих болон эсрэгээр шилжих аргууд. Энэ шийдлийг Фурьегийн шууд ба урвуу хувиргалт гэж нэрлэдэг. Энэ нь юу гэсэн үг вэ? Интегралыг тодорхойлж, Фурьегийн шууд хувиргалтыг бий болгохын тулд математик эсвэл аналитик аргуудыг ашиглаж болно. Практикт ашиглахад тодорхой бэрхшээлүүд гарч ирдэг ч ихэнх интегралуудыг аль хэдийн олж, математикийн лавлах номонд оруулсан болно. Туршилтын өгөгдөл дээр суурилсан илэрхийлэл эсвэл интеграл нь хүснэгтэд байхгүй, аналитик хэлбэрээр үзүүлэхэд хэцүү функцуудыг тооцоолоход тоон аргыг ашиглаж болно.
Компьютер гарч ирэхээс өмнө ийм хувиргалтыг тооцоолох нь маш уйтгартай байсан тул долгионы функцийг дүрсэлсэн цэгүүдийн тооноос хамаардаг олон тооны арифметик үйлдлүүдийг гараар гүйцэтгэх шаардлагатай болдог. Тооцооллыг хөнгөвчлөхийн тулд өнөөдөр шинэ аналитик аргыг хэрэгжүүлэх боломжийг олгосон тусгай хөтөлбөрүүд байдаг. Тиймээс 1965 онд Жеймс Кули, Жон Тюки нар "Fast Furier Transform" нэртэй программ хангамжийг бүтээжээ. Энэ нь муруйн шинжилгээнд үржүүлгийн тоог багасгах замаар тооцоололд цаг хэмнэх боломжийг олгодог. Хурдан Фурье хувиргах арга нь муруйг олон тооны жигд түүврийн утгуудад хуваахад суурилдаг. Үүний дагуу үржүүлгийн тоо хоёр дахин багасч, онооны тоо ижил буурна.
Фурье хувиргалтыг ашиглах нь
ЭнэЭнэ процессыг шинжлэх ухааны янз бүрийн салбарт ашигладаг: тооны онол, физик, дохио боловсруулах, комбинаторик, магадлалын онол, криптограф, статистик, далай судлал, оптик, акустик, геометр болон бусад. Түүний хэрэглээний баялаг боломжууд нь "Фурье хувиргах шинж чанарууд" гэж нэрлэгддэг хэд хэдэн ашигтай шинж чанарууд дээр суурилдаг. Тэдгээрийг анхаарч үзээрэй.
1. Функцийн хувиргалт нь шугаман оператор бөгөөд зохих нормчлолтой бол нэгдмэл байна. Энэ шинж чанарыг Парсевалын теорем буюу ерөнхийдөө Планчерел теорем эсвэл Понтрягины дуализм гэж нэрлэдэг.
2. Өөрчлөлт нь буцаах боломжтой. Түүнээс гадна урвуу үр дүн нь шууд шийдэлтэй бараг ижил хэлбэртэй байна.
3. Синусоидын суурийн илэрхийлэл нь өөр өөр функцууд юм. Энэ нь ийм дүрслэл нь тогтмол коэффициенттэй шугаман тэгшитгэлийг энгийн алгебрийн тэгшитгэл болгон өөрчилдөг гэсэн үг.
4. Энэ процесс нь "хувиралт" теоремын дагуу нарийн төвөгтэй үйлдлийг энгийн үржвэр болгон хувиргадаг.
5. Дискрет Фурье хувиргалтыг "хурдан" аргыг ашиглан компьютер дээр хурдан тооцоолж болно.
Фурье хувиргалын сортууд
1. Ихэнхдээ энэ нэр томъёог тодорхой өнцгийн давтамж, далайц бүхий цогц экспоненциал илэрхийллийн нийлбэр хэлбэрээр квадрат интегралдах илэрхийлэлийг өгдөг тасралтгүй хувиргалтыг илэрхийлэхэд ашигладаг. Энэ зүйл нь хэд хэдэн өөр өөр хэлбэртэй байдаг бөгөөд энэ нь боломжтойтогтмол коэффициентээр ялгаатай. Тасралтгүй арга нь математикийн лавлах номноос олж болох хувиргах хүснэгтийг агуулдаг. Ерөнхий тохиолдол нь өгөгдсөн процессыг шаардлагатай бодит хүчин чадалд хүргэж болох бутархай хувиргалт юм.
2. Үргэлжилсэн горим нь хязгаарлагдмал талбайд орших янз бүрийн үечилсэн функц эсвэл илэрхийлэлд зориулагдсан Фурье цувралын анхны техникийг нэгтгэн дүгнэж, тэдгээрийг синусоидуудын цуваа хэлбэрээр илэрхийлнэ.
3. Дискрет Фурье хувиргалт. Энэ аргыг компьютерийн технологид шинжлэх ухааны тооцоолол, тоон дохио боловсруулахад ашигладаг. Энэ төрлийн тооцоог хийхийн тулд тасралтгүй Фурье интегралын оронд салангид олонлогийн бие даасан цэг, үечилсэн эсвэл хязгаарлагдмал талбайг тодорхойлох функцтэй байх шаардлагатай. Энэ тохиолдолд дохионы хувиргалтыг синусоидуудын нийлбэрээр илэрхийлнэ. Үүний зэрэгцээ "хурдан" аргыг ашигласнаар аливаа практик асуудалд салангид шийдлүүдийг ашиглах боломжтой болно.
4. Цонхтой Фурье хувиргалт нь сонгодог аргын ерөнхий хэлбэр юм. Стандарт шийдлээс ялгаатай нь өгөгдсөн хувьсагчийн оршин тогтнох бүх хүрээг хамарсан дохионы спектрийг ашиглах үед анхны хувьсагч (хугацаа) хадгалагдсан тохиолдолд зөвхөн орон нутгийн давтамжийн тархалт онцгой сонирхолтой байдаг..
5. Хоёр хэмжээст Фурье хувиргалт. Энэ аргыг хоёр хэмжээст өгөгдлийн массивтай ажиллахад ашигладаг. Энэ тохиолдолд эхлээд хувиргалтыг нэг чиглэлд, дараа нь дотор нь хийнэбусад.
Дүгнэлт
Өнөөдөр Фурьегийн арга шинжлэх ухааны янз бүрийн салбарт бат бөх нэвтэрсэн. Жишээлбэл, 1962 онд ДНХ-ийн давхар мушгиа хэлбэрийг Фурьегийн шинжилгээг рентген туяаны дифракцтай хослуулан нээсэн. Сүүлийнх нь ДНХ-ийн утаснуудын талстууд дээр төвлөрч, үр дүнд нь цацрагийн дифракцаар олж авсан дүрсийг хальсан дээр тэмдэглэв. Энэ зураг нь өгөгдсөн болор бүтцэд Фурье хувиргалтыг ашиглах үед далайцын утгын талаархи мэдээллийг өгсөн. ДНХ-ийн дифракцийн зургийг ижил төстэй химийн бүтцийн шинжилгээнээс олж авсан зурагтай харьцуулах замаар фазын өгөгдлийг олж авсан. Үүний үр дүнд биологичид болор бүтэц буюу анхны функцийг сэргээсэн.
Фурье хувиргалт нь сансар огторгуй, хагас дамжуулагч ба плазмын физик, богино долгионы акустик, далай судлал, радар, газар хөдлөлт судлал, эмнэлгийн судалгаанд асар их үүрэг гүйцэтгэдэг.
