Пифагор тоо нь дэлхийн үндсэн элементүүдийн хамт оршино гэж нотолсон. Платон тоо нь үзэгдэл ба нэр томъёог холбож, танин мэдэх, хэмжих, дүгнэлт гаргахад тусалдаг гэж үздэг. Арифметик нь "арифмос" гэдэг үгнээс гаралтай - тоо, математикийн эхлэлийн эхлэл. Энэ нь энгийн алимнаас хийсвэр орон зай хүртэл ямар ч объектыг дүрсэлж болно.
Хөгжлийн хүчин зүйл болох хэрэгцээ
Нийгэм бүрэлдэх эхний үе шатанд хүмүүсийн хэрэгцээ нь зөвхөн нэг шуудай тариа, хоёр шуудай тариа гэх мэт тоолох хэрэгцээгээр хязгаарлагддаг байв. Үүнд натурал тоо хангалттай байсан бөгөөд тэдгээрийн багц нь: бүхэл тоонуудын хязгааргүй эерэг дараалал N.
Хожим нь математик нь шинжлэх ухаан болж хөгжихийн хэрээр бүхэл Z тоонуудын тусдаа талбар шаардлагатай болсон - үүнд сөрөг утгууд ба тэг орно. Түүний өрхийн түвшинд харагдах байдал нь анхан шатны нягтлан бодох бүртгэлд ямар нэгэн байдлаар засах шаардлагатай байсантай холбоотой юм.өр, алдагдал. Шинжлэх ухааны түвшинд сөрөг тоонууд нь хамгийн энгийн шугаман тэгшитгэлийг шийдвэрлэх боломжтой болгосон. Бусад зүйлсийн дотор жишиг цэг гарч ирснээс хойш өчүүхэн координатын системийн дүр төрх одоо боломжтой болсон.
Дараагийн алхам нь бутархай тоог нэвтрүүлэх хэрэгцээ байсан, учир нь шинжлэх ухаан зогсохгүй байсан тул улам олон нээлтүүд нь өсөлтийн шинэ түлхэц болох онолын үндэслэлийг шаарддаг. Рационал тооны талбар ингэж гарч ирэв Q.
Эцэст нь бүх шинэ дүгнэлт нь үндэслэл шаарддаг тул оновчтой байдал нь хүсэлтийг хангахаа больсон. Бодит R тоонуудын талбар гарч ирэв, Евклидийн тодорхой хэмжигдэхүүнүүдийн үндэслэлгүй байдлын улмаас харьцуулшгүй байдлын талаархи бүтээлүүд гарч ирэв. Өөрөөр хэлбэл, эртний Грекийн математикчид энэ тоог зөвхөн тогтмол төдийгүй хийсвэр хэмжигдэхүүн болгон байрлуулсан бөгөөд энэ нь зүйрлэшгүй хэмжигдэхүүнүүдийн харьцаагаар тодорхойлогддог. Бодит тоо гарч ирснээр "пи", "е" "гэрлийг харсан" гэх мэт хэмжигдэхүүнүүд түүнгүйгээр орчин үеийн математик явагдах боломжгүй болсон.
Сүүлийн шинэлэг зүйл бол нийлмэл тоо C. Энэ нь хэд хэдэн асуултад хариулж, өмнө нь танилцуулсан постулатуудыг няцаасан. Алгебрийн хурдацтай хөгжлийн улмаас үр дүн нь урьдчилан таамаглах боломжтой байсан - бодит тоотой байсан тул олон асуудлыг шийдэх боломжгүй байв. Жишээлбэл, нийлмэл тоонуудын ачаар мөр ба эмх замбараагүй байдлын онол гарч ирж, гидродинамикийн тэгшитгэлүүд өргөжсөн.
Олонлогийн онол. Кантор
Хязгааргүй байдлын тухай ойлголтнотлох, үгүйсгэх боломжгүй тул маргаан үүсгэв. Математикийн хувьд хатуу батлагдсан постулатуудаар ажилладаг байсан бол энэ нь ялангуяа теологийн тал нь шинжлэх ухаанд чухал ач холбогдолтой хэвээр байгаа тул энэ нь хамгийн тодорхой харагдаж байв.
Гэсэн хэдий ч математикч Георг Канторын ажлын ачаар цаг хугацаа өнгөрөхөд бүх зүйл байрандаа орсон. Тэрээр хязгааргүй олон тооны хязгааргүй олонлог байдгийг баталж, R талбар нь N талбараас их, хэдийгээр хоёулаа төгсгөлгүй байсан ч гэсэн. 19-р зууны дунд үед түүний санаануудыг утгагүй зүйл, сонгодог, хөдлөшгүй хуулиудын эсрэг гэмт хэрэг гэж чангаар дуудаж байсан ч цаг хугацаа бүх зүйлийг өөрийн байранд нь тавьсан.
Талбарын үндсэн шинж чанарууд R
Бодит тоо нь тэдгээрт багтсан дэд олонлогуудтай ижил шинж чанартай төдийгүй элементүүдийн масштабын улмаас бусад тоонууд нэмэгддэг:
- Тэг байгаа бөгөөд R талбарт харьяалагдана. R-ийн дурын c-д c + 0=c.
- Тэг байгаа бөгөөд R талбарт харьяалагдана. R-ийн дурын c-д c x 0=0.
- d ≠ 0-ийн хувьд c: d хамаарал байгаа бөгөөд R-аас ямар ч c, d-д хүчинтэй.
- R талбар эрэмбэлэгдсэн, өөрөөр хэлбэл c ≦ d, d ≦ c бол R-аас ямар ч c, d-ийн хувьд c=d байна.
- R талбар дахь нэмэгдэл нь солигддог, өөрөөр хэлбэл ямар ч c, d R-ийн хувьд c + d=d + c.
- R талбар дахь үржүүлэг нь солигддог, өөрөөр хэлбэл R-аас ямар ч c, d-д c x d=d x c.
- R талбар дахь нэмэгдэл нь ассоциатив, өөрөөр хэлбэл (c + d) + f=c + (d + f) R-ээс ямар ч c, d, f-д зориулагдсан болно.
- R талбар дахь үржүүлэх нь ассоциатив, өөрөөр хэлбэл (c x d) x f=c x (d x f) R-ийн дурын c, d, f-ийн хувьд.
- R талбар дахь тоо бүрийн хувьд эсрэг тал байдаг бөгөөд c + (-c)=0, энд c, -c нь R-ээс байна.
- R талбарын тоо бүрийн хувьд урвуу утгатай бөгөөд c x c-1 =1, энд c, c-1 R.-аас
- Нэгж нь байгаа бөгөөд R-д харьяалагддаг тул R-ийн дурын c-д c x 1=c байна.
- Хуваарилалтын хууль хүчинтэй тул c x (d + f)=c x d + c x f, дурын c, d, f хувьд R.
- R талбарт тэг нь нэгтэй тэнцүү биш байна.
- R талбар нь шилжилттэй байна: хэрэв c ≦ d, d ≦ f бол R-аас дурын c, d, f-ийн хувьд c ≦ f байна.
- R талбарт дараалал ба нэмэх нь хоорондоо холбоотой: хэрэв c ≦ d бол R-аас дурын c, d, f-д c + f ≦ d + f байна.
- R талбарт дараалал ба үржүүлэх нь хамааралтай: хэрэв 0 ≦ c, 0 ≦ d бол 0 ≦ c x d нь R-ээс ямар ч c, d болно.
- Сөрөг ба эерэг бодит тоо хоёулаа тасралтгүй, өөрөөр хэлбэл R-ээс ямар ч c, d-ийн хувьд R-ээс c ≦ f ≦ d байх f байна.
R талбар дахь модуль
Бодит тоонд модуль орно.
|f| гэж тэмдэглэнэ R. |f|-ээс ямар ч f-ийн хувьд=f бол 0 ≦ f ба |f|=-f бол 0 > f. Хэрэв бид модулийг геометрийн хэмжигдэхүүн гэж үзвэл энэ нь туулсан зай болно - та тэгээс хасах эсвэл нэмэх рүү урагшлах нь хамаагүй.
Цогцолбор ба бодит тоо. Юу нь ижил төстэй, юугаараа ялгаатай вэ?
Товчхондоо комплекс ба бодит тоо нь нэг юм, үүнээс бусад ньквадрат нь -1 гэсэн төсөөллийн нэгж i. R ба C талбарын элементүүдийг дараах томъёогоор илэрхийлж болно:
c=d + f x i, энд d, f нь R талбарт хамаарах ба i нь төсөөллийн нэгж юм
Энэ тохиолдолд R-аас c-г авахын тулд f-г зүгээр л тэгтэй тэнцүүлэхэд, өөрөөр хэлбэл тухайн тооны бодит хэсэг л үлдэнэ. Комплекс тооны талбар нь бодит тооны талбартай ижил шинж чанартай байдаг тул f=0 бол f x i=0 байна.
Практикийн ялгааны тухайд, тухайлбал, R талбарт дискриминант сөрөг байвал квадрат тэгшитгэл шийдэгдэхгүй, харин C талбар нь төсөөллийн нэгж i-г оруулснаар ийм хязгаарлалт тавьдаггүй.
Үр дүн
Математикийн үндэслэсэн аксиом, постулатын "тоосго" нь өөрчлөгддөггүй. Мэдээлэл нэмэгдэж, шинэ онолууд нэвтэрч байгаатай холбогдуулан тэдгээрийн зарим дээр дараах "тоосго" тавигдаж байгаа бөгөөд энэ нь ирээдүйд дараагийн алхамын үндэс болох боломжтой юм. Жишээлбэл, натурал тоонууд нь бодит R талбарын дэд олонлог байсан ч хамаарлаа алддаггүй. Хүн төрөлхтний ертөнцийн талаарх мэдлэг эхэлдэг бүх энгийн арифметик эдгээр дээр суурилдаг.
Практик талаас нь авч үзвэл бодит тоо шулуун шугам шиг харагддаг. Үүн дээр та чиглэлээ сонгож, гарал үүсэл, алхамыг зааж өгч болно. Шулуун шугам нь хязгааргүй тооны цэгээс бүрдэх бөгөөд тэдгээр нь оновчтой эсэхээс үл хамааран тус бүр нь нэг бодит тоотой тохирч байна. Тодорхойлолтоос харахад бид ерөнхийдөө математик, ерөнхийдөө математик анализ хоёулаа баригдсан ойлголтын тухай ярьж байгаа нь тодорхой байна.ялангуяа.
