Геометрийн аксиомуудын нэгэнд дурын хоёр цэгээр дамжуулан нэг шулуун шугам татах боломжтой гэж заасан байдаг. Энэ аксиом нь заасан нэг хэмжээст геометрийн объектыг өвөрмөц байдлаар дүрсэлсэн өвөрмөц тоон илэрхийлэл байдгийг гэрчилж байна. Хоёр цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийг хэрхэн бичих тухай асуултыг нийтлэлд авч үзье.
Цэг ба шулуун гэж юу вэ?
Сансар огторгуйд болон хавтгайд хос өөр цэгүүдийг дайран өнгөрөх тэгшитгэлийн шулуун шугамыг байгуулах асуудлыг авч үзэхийн өмнө тодорхой геометрийн объектуудыг тодорхойлох хэрэгтэй.
Цэг нь координатын тэнхлэгүүдийн өгөгдсөн систем дэх координатын багцаар өвөрмөц байдлаар тодорхойлогддог. Тэднээс гадна цэгийн хувьд өөр шинж чанарууд байхгүй. Тэр бол тэг хэмжээст объект.
Шулуун шугамын тухай ярихдаа хүн бүр цагаан цаасан дээр дүрслэгдсэн шугамыг төсөөлдөг. Үүний зэрэгцээ геометрийн тодорхой тодорхойлолтыг өгөх боломжтойэнэ объект. Шулуун шугам гэдэг нь тэдгээрийн тус бүрийг бусадтай холбосноор параллель векторуудын багцыг өгөх цэгүүдийн цуглуулга юм.
Энэ тодорхойлолтыг шулуун шугамын вектор тэгшитгэлийг тогтооход ашигладаг бөгөөд үүнийг доор авч үзэх болно.
Аливаа шугамыг дурын урттай сегментээр тэмдэглэж болох тул үүнийг нэг хэмжээст геометрийн объект гэнэ.
Тооны вектор функц
Дамжсан шулууны хоёр цэгээр дамжин өнгөрөх тэгшитгэлийг өөр хэлбэрээр бичиж болно. Гурван хэмжээст болон хоёр хэмжээст орон зайд үндсэн бөгөөд ойлгомжтой тоон илэрхийлэл нь вектор юм.
Зарим чиглэлтэй хэсэг u¯(a; b; c) байна гэж бодъё. 3 хэмжээст орон зайд u¯ вектор ямар ч цэгээс эхэлж болох тул координатууд нь параллель векторуудын хязгааргүй олонлогийг тодорхойлдог. Гэсэн хэдий ч, хэрэв бид тодорхой цэгийг сонговол P(x0; y0; z0) Үүнийг u¯ векторын эхлэл гэж үзвэл энэ векторыг дурын бодит тоо λ-аар үржүүлбэл огторгуй дахь нэг шулуун шугамын бүх цэгийг олж авч болно. Өөрөөр хэлбэл, вектор тэгшитгэлийг дараах байдлаар бичнэ:
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + λ(a; b; c)
Мэдээж, хавтгай дээрх тохиолдлын хувьд тоон функц нь дараах хэлбэртэй байна:
(x; y)=(x0; y0) + λ(a; b)
Энэ төрлийн тэгшитгэлийн давуу тал нь бусадтай харьцуулахад (сегмент, каноник,ерөнхий хэлбэр) нь чиглэлийн векторын координатыг тодорхой агуулсан байдагт оршино. Сүүлийнх нь шугамууд параллель эсвэл перпендикуляр эсэхийг тодорхойлоход ихэвчлэн ашиглагддаг.
Хоёр хэмжээст орон зай дахь шулуун шугамын сегментийн ерөнхий ба каноник функц
Бодлого шийдвэрлэхдээ заримдаа хоёр цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийг тодорхой, тодорхой хэлбэрээр бичих шаардлагатай болдог. Тиймээс энэ геометрийн объектыг хоёр хэмжээст орон зайд тодорхойлох өөр аргуудыг өгөх нь зүйтэй (хялбар байхын тулд бид хэргийг хавтгайд авч үзэх болно).
Ерөнхий тэгшитгэлээс эхэлцгээе. Энэ нь дараах хэлбэртэй байна:
Ax + By + C=0
Дүрмээр бол хавтгай дээр шулуун шугамын тэгшитгэлийг ийм хэлбэрээр бичдэг бөгөөд зөвхөн y-ээр х-ээр тодорхой тодорхойлогддог.
Одоо дээрх илэрхийллийг дараах байдлаар хувирга:
Ax + By=-C=>
x/(-C/A) + y/(-C/B)=1
Хувьсагч бүрийн хуваагч нь шугамын хэсэг эхлэх цэгтэй (0; 0) харгалзах координатын тэнхлэгт хэр удаан тасарч байгааг харуулдаг тул энэ илэрхийллийг сегмент дэх тэгшитгэл гэж нэрлэдэг.
Каноник тэгшитгэлийн жишээг өгөхөд л үлдлээ. Үүнийг хийхийн тулд бид векторын тэгш байдлыг тодорхой бичнэ:
x=x0+ λa;
y=y0+ λb
Эндээс λ параметрийг илэрхийлж, үүссэн тэгшитгэлийг тэгшитгэе:
λ=(x - x0)/a;
λ=(y - y0)/b;
(x -x0)/a=(y - y0)/b
Сүүлийн тэгшитгэлийг каноник эсвэл тэгш хэмийн тэгшитгэл гэж нэрлэдэг.
Тэдгээрийг тус бүрийг вектор болон эсрэгээр хөрвүүлэх боломжтой.
Хоёр цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэл: эмхэтгэлийн техник
Өгүүллийн асуулт руу буцъя. Сансарт хоёр цэг байна гэж бодъё:
M(x1; y1; z1) болон N(x 2; y2; z2)
Цорын ганц шулуун шугамыг дайран өнгөрдөг бөгөөд тэгшитгэлийг вектор хэлбэрээр зохиоход маш хялбар байдаг. Үүнийг хийхийн тулд бид чиглэсэн MN¯ сегментийн координатыг тооцоолно:
MN¯=N - M=(x2-x1; y2- y1; z2-z1)
Энэ вектор нь тэгшитгэлийг олж авах ёстой шулуун шугамын хөтөч болно гэдгийг таахад хэцүү биш юм. Энэ нь M ба N-ээр дамждаг гэдгийг мэдэж байгаа тул тэдгээрийн аль нэгнийх нь координатыг вектор илэрхийлэлд ашиглаж болно. Дараа нь хүссэн тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй болно:
(x; y; z)=M + λMN¯=>
(x; y; z)=(x1; y1; z1) + λ(x2-x1; y2-y1; z2-z1)
Хоёр хэмжээст орон зай дахь тохиолдлын хувьд z хувьсагчийн оролцоогүйгээр ижил тэгш байдлыг олж авна.
Мөрийн вектор тэгшитгэл бичигдсэн даруйд түүнийг асуудлын асуултад шаардагдах өөр хэлбэр рүү хөрвүүлж болно.
Даалгавар:ерөнхий тэгшитгэл бичих
(-1; 4) ба (3; 2) координаттай цэгүүдийг шулуун шугам дайран өнгөрдөг нь мэдэгдэж байна. Тэдгээрийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийг ерөнхий хэлбэрээр, у-г x-ээр илэрхийлэх шаардлагатай.
Асуудлыг шийдэхийн тулд эхлээд тэгшитгэлийг вектор хэлбэрээр бичнэ. Вектор (хөтөч) координатууд нь:
(3; 2) - (-1; 4)=(4; -2)
Тэгвэл шулуун шугамын тэгшитгэлийн вектор хэлбэр нь дараах байдалтай байна:
(x; y)=(-1; 4) + λ(4; -2)
Ерөнхий хэлбэрээр y(x) хэлбэрээр бичих л үлдлээ. Бид энэ тэгшитгэлийг тодорхой дахин бичиж, λ параметрийг илэрхийлж, тэгшитгэлээс хасна:
x=-1 + 4λ=>λ=(x+1)/4;
y=4 - 2λ=> λ=(4-y)/2;
(x+1)/4=(4-y)/2
Үйлдвэрлэсэн каноник тэгшитгэлээс бид у-г илэрхийлж, бодлогын асуултын хариунд хүрнэ:
y=-0.5x + 3.5
Бодлогын мэдэгдэлд заасан цэгүүдийн координатыг орлуулах замаар энэхүү тэгш байдлын үнэн зөвийг шалгаж болно.
Асуудал: сегментийн төвийг дайран өнгөрөх шулуун шугам
Одоо нэг сонирхолтой асуудлыг шийдье. M(2; 1) ба N(5; 0) хоёр цэг өгөгдсөн гэж үзье. Цэгүүдийг холбосон сегментийн дунд цэгээр шулуун шугам өнгөрч, түүнд перпендикуляр байдаг нь мэдэгдэж байна. Сегментийн дундыг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийг вектор хэлбэрээр бич.
Энэ төвийн координатыг тооцоолж, чиглэлийн векторыг тодорхойлох замаар хүссэн тоон илэрхийлэлийг үүсгэж болно.сегмент 90o өнцөг үүсгэдэг.
Сегментийн дунд цэг нь:
S=(M + N)/2=(3, 5; 0, 5)
Одоо MN¯ векторын координатыг тооцоолъё:
MN¯=N - M=(3; -1)
Хүссэн шулууны чиглэлийн вектор нь MN¯-д перпендикуляр байх тул тэдгээрийн скаляр үржвэр нь тэгтэй тэнцүү байна. Энэ нь жолооны векторын үл мэдэгдэх координатыг (a; b) тооцоолох боломжийг танд олгоно:
a3 - b=0=>
b=3a
Одоо вектор тэгшитгэлийг бичнэ үү:
(x; y)=(3, 5; 0, 5) + λ(a; 3a)=>
(x; y)=(3, 5; 0, 5) + β(1; 3)
Энд бид aλ бүтээгдэхүүнийг шинэ β параметрээр сольсон.
Тиймээс бид сегментийн төвийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийг хийсэн.
