Геометрийн хувьд цэгийн дараа шулуун шугам нь магадгүй хамгийн энгийн элемент юм. Энэ нь хавтгай болон гурван хэмжээст орон зайд аливаа нарийн төвөгтэй дүрсийг бүтээхэд хэрэглэгддэг. Энэ нийтлэлд бид шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэлийг авч үзэж, түүнийг ашиглан хэд хэдэн асуудлыг шийдэх болно. Эхэлцгээе!
Геометрийн шулуун шугам
Тэгш өнцөгт, гурвалжин, призм, шоо гэх мэт дүрсүүд огтлолцсон шулуун шугамаар үүсдэг гэдгийг хүн бүр мэддэг. Геометрийн шулуун шугам нь тодорхой цэгийг ижил эсвэл эсрэг чиглэлтэй вектор руу шилжүүлэх замаар олж авч болох нэг хэмжээст объект юм. Энэ тодорхойлолтыг илүү сайн ойлгохын тулд огторгуйд P цэг байна гэж төсөөлөөд үз дээ. Энэ зайд дурын вектор u¯ ав. Дараах математик үйлдлүүдийн үр дүнд шугамын дурын Q цэгийг авч болно:
Q=P + λu¯.
Энд λ нь эерэг эсвэл сөрөг байж болох дурын тоо юм. Хэрэв тэгш байдалдээр координатаар бичвэл бид дараах шулуун шугамын тэгшитгэлийг авна:
(x, y, z)=(x0, y0, z0) + λ(a, b, c).
Энэ тэгшитгэлийг вектор хэлбэрийн шулуун шугамын тэгшитгэл гэж нэрлэдэг. Мөн u¯ векторыг хөтөч гэдэг.
Хавтгай дээрх шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэл
Оюутан бүр үүнийг ямар ч хүндрэлгүйгээр бичиж болно. Гэхдээ ихэнхдээ тэгшитгэлийг ингэж бичдэг:
y=kx + b.
Энд k ба b нь дурын тоо юм. b тоог чөлөөт гишүүн гэж нэрлэдэг. k параметр нь шулуун шугамын х тэнхлэгтэй огтлолцсон өнцгийн тангенстай тэнцүү байна.
Дээрх тэгшитгэлийг y хувьсагчтай хамааруулан илэрхийлэв. Хэрэв бид үүнийг илүү ерөнхий хэлбэрээр үзүүлбэл дараах тэмдэглэгээг авна:
Ax + By + C=0.
Хавтгай дээрх шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэлийг бичих энэ хэлбэр нь өмнөх хэлбэрт амархан хувирдаг болохыг харуулахад хялбар. Үүнийг хийхийн тулд зүүн, баруун хэсгийг B хүчин зүйлд хувааж, y-г илэрхийлнэ.
Дээрх зурагт хоёр цэгийг дайрч буй шулуун шугамыг харуулж байна.
3D орон зай дахь мөр
Хичээлээ үргэлжлүүлье. Шулуун шугамын тэгшитгэлийг хавтгайд хэрхэн ерөнхий хэлбэрээр өгөх вэ гэсэн асуултыг бид авч үзсэн. Хэрэв бид өгүүллийн өмнөх догол мөрөнд өгөгдсөн тэмдэглэгээг орон зайн тохиолдолд хэрэглэвэл бид юу авах вэ? Бүх зүйл энгийн - шулуун шугам байхаа больсон, харин онгоц. Үнэн хэрэгтээ, дараах илэрхийлэл нь z тэнхлэгтэй параллель байгаа хавтгайг дүрсэлсэн болно:
Ax + By + C=0.
Хэрэв C=0 бол ийм онгоц өнгөрнөz тэнхлэгээр дамжин. Энэ бол чухал онцлог.
Тэгвэл огторгуй дахь шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэл ямар байх вэ? Үүнийг хэрхэн асуухыг ойлгохын тулд та ямар нэг зүйлийг санах хэрэгтэй. Хоёр онгоц тодорхой шулуун шугамын дагуу огтлолцдог. Энэ юу гэсэн үг вэ? Зөвхөн ерөнхий тэгшитгэл нь хавтгайд зориулсан хоёр тэгшитгэлийн системийг шийдсэний үр дүн юм. Энэ системийг бичье:
- A1x + B1y + C1z + D 1=0;
- A2x + B2y + C2z + D 2=0.
Энэ систем нь огторгуй дахь шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэл юм. Онгоцнууд хоорондоо параллель байх ёсгүй, өөрөөр хэлбэл тэдгээрийн хэвийн векторууд нь бие биенээсээ тодорхой өнцгөөр налуу байх ёстой гэдгийг анхаарна уу. Эс тэгвэл системд шийдэл байхгүй болно.
Дээр бид шулуун шугамын тэгшитгэлийн вектор хэлбэрийг өгсөн. Энэ системийг шийдвэрлэхэд ашиглахад тохиромжтой. Үүнийг хийхийн тулд эхлээд эдгээр хавтгайн нормуудын вектор үржвэрийг олох хэрэгтэй. Энэ үйлдлийн үр дүн нь шулуун шугамын чиглэлийн вектор байх болно. Дараа нь шугамд хамаарах аливаа цэгийг тооцоолох хэрэгтэй. Үүнийг хийхийн тулд та тодорхой утгатай тэнцүү хувьсагчийн аль нэгийг нь тохируулах хэрэгтэй, үлдсэн хоёр хувьсагчийг багасгасан системийг шийдэх замаар олж болно.
Вектор тэгшитгэлийг хэрхэн ерөнхий тэгшитгэл рүү хөрвүүлэх вэ? Нарийн мэдрэмж
Энэ нь хоёр цэгийн мэдэгдэж буй координатыг ашиглан шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэлийг бичих шаардлагатай бол гарч болох бодит асуудал юм. Энэ асуудлыг хэрхэн шийдэж байгааг жишээгээр харуулъя. Хоёр цэгийн координатыг мэдэгдье:
- P=(x1, y1);
- Q=(x2, y2).
Вектор хэлбэрийн тэгшитгэлийг зохиоход маш хялбар. Чиглэлийн вектор координатууд нь:
PQ=(x2-x1, y2-y 1).
Р цэгийн координатаас Q координатыг хасвал ялгаа байхгүй, вектор чиглэлээ зөвхөн эсрэгээр нь өөрчлөх болно гэдгийг анхаарна уу. Одоо та дурын цэгийг аваад вектор тэгшитгэлийг бичих хэрэгтэй:
(x, y)=(x1, y1) + λ(x2 -x1, y2-y1).
Шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэлийг бичихийн тулд λ параметрийг хоёр тохиолдолд илэрхийлнэ. Тэгээд үр дүнг харьцуул. Бидэнд:
x=x1 + λ(x2-x1)=> λ=(x-x1)/(x2-x1);
y=y1 + λ(y2-y1)=> λ=(y-y1)/(y2-y1)=>
(x-x1)/(x2-x1)=(y-y 1)/(y2-y1).
Мэдэгдэж буй хоёр цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын ерөнхий илэрхийллийг гаргахын тулд хаалт нээж, тэгшитгэлийн бүх гишүүнийг тэгшитгэлийн нэг тал руу шилжүүлэхэд л үлддэг.
Гурван хэмжээст бодлогын хувьд шийдлийн алгоритм хадгалагдах ба зөвхөн түүний үр дүн нь хавтгайд зориулсан хоёр тэгшитгэлийн систем байх болно.
Даалгавар
Ерөнхий тэгшитгэл хийх шаардлагатайx тэнхлэгийг (-3, 0) огтлолцох ба у тэнхлэгтэй параллель шулуун шугам.
Тэгшитгэлийг вектор хэлбэрээр бичиж асуудлыг шийдэж эхэлцгээе. Шугам нь у тэнхлэгтэй параллель байх тул түүний чиглүүлэх вектор нь дараах байдалтай байна:
u¯=(0, 1).
Дараа нь хүссэн мөр дараах байдлаар бичигдэнэ:
(x, y)=(-3, 0) + λ(0, 1).
Одоо энэ илэрхийллийг ерөнхий хэлбэрт хөрвүүлье, үүний тулд бид λ: параметрийг илэрхийлнэ.
- x=-3;
- y=λ.
Тиймээс y хувьсагчийн дурын утга нь мөрөнд хамаарах боловч зөвхөн х хувьсагчийн ганц утга түүнд тохирно. Тиймээс ерөнхий тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй болно:
x + 3=0.
Сансар дахь шулуун шугамын асуудал
Хоёр огтлолцох хавтгай дараах тэгшитгэлээр өгөгдсөн нь мэдэгдэж байна:
- 2x + y - z=0;
- x - 2y + 3=0.
Эдгээр хавтгай огтлолцох шулуун шугамын вектор тэгшитгэлийг олох шаардлагатай. Эхэлцгээе.
Хэлснээр гурван хэмжээст орон зай дахь шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэлийг гурван үл мэдэгдэх хоёр систем хэлбэрээр аль хэдийн өгчихсөн. Юуны өмнө бид онгоцууд огтлолцох чиглэлийн векторыг тодорхойлно. Нормалуудын вектор координатыг хавтгайд үржүүлснээр бид дараахийг авна:
u¯=[(2, 1, -1)(1, -2, 0)]=(-2, -1, -5).
Векторыг сөрөг тоогоор үржүүлэх нь чиглэлийг нь өөрчилдөг тул бид ингэж бичиж болно:
u¯=-1(-2, -1, -5)=(2, 1, 5).
Хэндшулуун шугамын вектор илэрхийллийг олохын тулд чиглэлийн вектороос гадна энэ шулуун шугамын зарим цэгийг мэдэх шаардлагатай. Бодлогын нөхцөл дэх координат нь тэгшитгэлийн системийг хангах ёстой тул хай, тэгвэл бид тэдгээрийг олох болно. Жишээ нь, x=0 гэж тавьбал бид:болно.
y=z;
y=3/2=1, 5.
Тиймээс хүссэн шулуун шугамд хамаарах цэг нь координаттай байна:
P=(0, 1, 5, 1, 5).
Дараа нь бид энэ асуудлын хариултыг авах болно, хүссэн шугамын вектор тэгшитгэл нь иймэрхүү харагдах болно:
(x, y, z)=(0, 1, 5, 1, 5) + λ(2, 1, 5).
Шийдлийн зөв эсэхийг хялбархан шалгаж болно. Үүнийг хийхийн тулд та λ параметрийн дурын утгыг сонгож, шулуун шугамын цэгийн олсон координатыг хавтгайнуудын тэгшитгэлийн аль алинд нь орлуулах шаардлагатай бөгөөд та хоёр тохиолдолд ижил төстэй байдлыг авах болно.
