Сургуулийн хатуу геометрийн хичээлд орон зайн гурван тэнхлэгийн дагуу тэгээс өөр хэмжээстэй хамгийн энгийн дүрсүүдийн нэг бол дөрвөлжин призм юм. Энэ нь ямар дүрс, ямар элементүүдээс бүрдэх, мөн түүний гадаргуугийн талбай, эзэлхүүнийг хэрхэн тооцоолох талаар нийтлэлээс авч үзье.
Призмын тухай ойлголт
Геометрийн хувьд призм нь эдгээр суурийн талыг холбосон хоёр ижил суурь ба хажуугийн гадаргуугаас үүссэн орон зайн дүрс юм. Зарим вектороор параллель хөрвүүлэх үйлдлийг ашиглан хоёр суурь хоёулаа бие биедээ хувирдаг болохыг анхаарна уу. Призмийг ингэж хуваарилснаар түүний бүх талууд үргэлж параллелограмм байдаг.
Суурийн талуудын тоо гурваас эхлэн дурын байж болно. Энэ тоо хязгааргүй байх үед призм нь жигдхэн цилиндр болж хувирдаг, учир нь түүний суурь нь тойрог болж, хажуугийн параллелограммууд хоорондоо холбогдож цилиндр гадаргуу үүсгэдэг.
Ямар ч олон өнцөгттэй адил призм нь дараах шинж чанартай байдагталууд (зурагтай холбогдсон хавтгай), ирмэгүүд (ямар ч хоёр тал огтлолцдог сегментүүд) ба оройнууд (гурван талын уулзвар цэгүүд, призмийн хувьд тэдгээрийн хоёр нь хажуу, гурав дахь нь суурь). Зургийн нэрлэсэн гурван элементийн хэмжигдэхүүнүүд нь дараах илэрхийллээр хоорондоо холбогдоно:
P=C + B - 2
Энд P, C, B нь тус тус ирмэг, тал болон оройн тоо юм. Энэ илэрхийлэл нь Эйлерийн теоремын математик тэмдэглэгээ юм.
Дээрх зурагт хоёр призм харагдаж байна. Тэдгээрийн аль нэгнийх нь суурь (A) дээр ердийн зургаан өнцөгт байрладаг бөгөөд хажуу талууд нь суурийн перпендикуляр байдаг. Зураг В нь өөр призмийг харуулж байна. Түүний талууд нь сууринд перпендикуляр байхаа больсон бөгөөд суурь нь энгийн таван өнцөгт юм.
Дөрвөн өнцөгт призм гэж юу вэ?
Дээрх тайлбараас тодорхой байгаагаар призмийн төрлийг үндсэндээ суурийг бүрдүүлдэг олон өнцөгтийн төрлөөр тодорхойлдог (хоёр суурь нь адилхан тул тэдгээрийн аль нэгнийх нь тухай ярьж болно). Хэрэв энэ олон өнцөгт параллелограмм бол бид дөрвөлжин призм авна. Тиймээс энэ төрлийн призмийн бүх талууд нь параллелограммууд юм. Дөрвөн өнцөгт призм нь өөрийн гэсэн нэртэй байдаг - параллелепипед.
Параллелепипедийн талуудын тоо зургаан бөгөөд тал бүр нь түүнтэй ижил параллельтай байна. Хайрцагны суурь нь хоёр тал тул үлдсэн дөрөв нь хажуу байна.
Параллелепипедийн оройн тоо найман бөгөөд призмийн орой нь зөвхөн суурийн олон өнцөгтүүдийн оройн дээр (4x2=8) үүсдэг гэдгийг санахад хялбархан харж болно. Эйлерийн теоремыг ашигласнаар бид ирмэгийн тоог авна:
P=C + B - 2=6 + 8 - 2=12
12 хавиргаас зөвхөн 4 хавирга нь хажуугаараа бие даан үүсдэг. Үлдсэн 8 нь зургийн суурийн хавтгайд байрладаг.
Өгүүлэлд бид зөвхөн дөрвөлжин призмийн тухай ярих болно.
Параллелепипедийн төрөл
Анхны төрлийн ангилал нь параллелограммын үндсэн шинж чанарууд юм. Энэ нь иймэрхүү харагдаж магадгүй:
- өнцөг нь 90o-тэй тэнцүү биш энгийн;
- тэгш өнцөгт;
- квадрат нь ердийн дөрвөлжин юм.
Хоёр дахь төрлийн ангилал нь хажуугийн суурийг хөндлөн гарах өнцөг юм. Энд хоёр өөр тохиолдол гарч болно:
- энэ өнцөг шулуун биш, тэгвэл призмийг ташуу эсвэл ташуу гэж нэрлэдэг;
- өнцөг нь 90o бол ийм призм тэгш өнцөгт эсвэл зүгээр л шулуун байна.
Гурав дахь төрлийн ангилал нь призмийн өндөртэй холбоотой. Призм нь тэгш өнцөгт, суурь нь дөрвөлжин эсвэл тэгш өнцөгт бол түүнийг куб гэж нэрлэдэг. Хэрэв суурь дээр дөрвөлжин, призм нь тэгш өнцөгт, өндөр нь дөрвөлжингийн хажуугийн урттай тэнцүү бол бид сайн мэддэг шоо дүрсийг авна.
Призмын гадаргуу ба талбай
Призмийн хоёр суурин дээр байрлах бүх цэгүүдийн олонлог(параллелограмм) ба түүний талууд (дөрвөн параллелограмм) нь зургийн гадаргууг үүсгэдэг. Энэ гадаргуугийн талбайг суурийн талбай болон хажуугийн гадаргуугийн энэ утгыг тооцоолох замаар тооцоолж болно. Дараа нь тэдний нийлбэр нь хүссэн утгыг өгөх болно. Математикийн хувьд үүнийг дараах байдлаар бичнэ:
S=2So+ Sb
Энд So ба Sb нь суурийн болон хажуугийн гадаргуугийн талбай юм. So-н өмнөх 2 тоо нь хоёр суурьтай тул гарч ирнэ.
Бичсэн томьёо нь зөвхөн дөрвөлжин призмийн талбайд биш аливаа призмд хүчинтэй гэдгийг анхаарна уу.
Параллелограммын талбайг Sp томъёогоор тооцоолдог гэдгийг санах нь зүйтэй:
Sp=ah
Энд a ба h тэмдэг нь түүний аль нэг талын урт ба энэ тал руу татсан өндрийг тус тус илэрхийлнэ.
Дөрвөлжин суурьтай тэгш өнцөгт призмийн талбай
Энгийн дөрвөлжин призмийн суурь нь дөрвөлжин байна. Тодорхой байхын тулд бид түүний талыг a үсгээр тэмдэглэдэг. Ердийн дөрвөлжин призмийн талбайг тооцоолохын тулд та түүний өндрийг мэдэх хэрэгтэй. Энэ хэмжигдэхүүний тодорхойлолтын дагуу энэ нь нэг сууринаас нөгөөд унасан перпендикулярын урттай тэнцүү, өөрөөр хэлбэл тэдгээрийн хоорондох зайтай тэнцүү байна. Үүнийг h үсгээр тэмдэглэе. Бүх хажуугийн нүүрүүд нь авч үзэж буй призмийн төрлийн суурьтай перпендикуляр байдаг тул ердийн дөрвөлжин призмийн өндөр нь хажуугийн ирмэгийн урттай тэнцүү байна.
БПризмийн гадаргуугийн ерөнхий томъёо нь хоёр гишүүн юм. Энэ тохиолдолд суурийн талбайг тооцоолоход хялбар байдаг, энэ нь тэнцүү байна:
So=a2
Хажуугийн гадаргуугийн талбайг тооцоолохын тулд бид дараах байдлаар маргаж байна: энэ гадаргуу нь 4 ижил тэгш өнцөгтөөс бүрдэнэ. Түүнээс гадна тус бүрийн талууд нь a ба h-тэй тэнцүү байна. Энэ нь Sb-н талбай нь:
-тай тэнцүү байна гэсэн үг юм.
Sb=4ah
4a үржвэр нь дөрвөлжин суурийн периметр гэдгийг анхаарна уу. Хэрэв бид энэ илэрхийллийг дурын суурийн тохиолдолд ерөнхийд нь үзвэл тэгш өнцөгт призмийн хувьд хажуугийн гадаргууг дараах байдлаар тооцоолж болно:
Sb=Poh
Энд Po нь суурийн периметр юм.
Энгийн дөрвөлжин призмийн талбайг тооцоолох асуудал руу буцаж очоод бид эцсийн томъёог бичиж болно:
S=2So+ Sb=2a2+ 4 ah=2a(a+2h)
Ташуу параллелепипедийн талбай
Үүнийг тооцоолох нь тэгш өнцөгтийг бодвол арай хэцүү. Энэ тохиолдолд дөрвөлжин призмийн суурийн талбайг параллелограммтай ижил томъёогоор тооцоолно. Өөрчлөлтүүд нь хажуугийн гадаргуугийн талбайг тодорхойлоход хамаарна.
Үүнийг хийхийн тулд дээрх догол мөрөнд өгөгдсөн томьёог периметрийн дагуу ашиглана уу. Одоо л арай өөр үржүүлэгчтэй болно. Ташуу призмийн хувьд Sb-ийн ерөнхий томьёо:
Sb=Psrc
Энд c нь зургийн хажуугийн ирмэгийн урт юм. Psr утга нь тэгш өнцөгт зүсмэлийн периметр юм. Энэ орчин нь дараах байдлаар бүтээгдсэн: бүх хажуугийн нүүрийг хавтгайтай огтолж, тэдгээрт перпендикуляр байх шаардлагатай. Үүссэн тэгш өнцөгт нь хүссэн зүсэлт болно.
Дээрх зурагт ташуу хайрцгийн жишээг харуулж байна. Түүний хөндлөн зүссэн хэсэг нь хажуу талуудтай тэгш өнцөг үүсгэдэг. Хэсгийн периметр нь Psr байна. Энэ нь хажуугийн параллелограммын дөрвөн өндрөөр үүсдэг. Энэхүү дөрвөлжин призмийн хувьд хажуугийн гадаргуугийн талбайг дээрх томъёогоор тооцоолно.
Кубоидын диагоналын урт
Параллелепипедийн диагональ нь нийтлэг талгүй хоёр оройг холбосон хэрчим юм. Аливаа дөрвөлжин призмд ердөө дөрвөн диагональ байдаг. Суурьдаа тэгш өнцөгттэй куб хэлбэрийн хувьд бүх диагональуудын урт нь хоорондоо тэнцүү байна.
Доорх зурагт харгалзах зургийг харуулж байна. Улаан сегмент нь түүний диагональ юм.
Хэрэв та Пифагорын теоремыг санаж байвал уртыг нь тооцоолох нь маш энгийн. Оюутан бүр хүссэн томъёогоо авах боломжтой. Энэ нь дараах хэлбэртэй байна:
D=√(A2+ B2 + C2)
Энд D нь диагоналийн урт юм. Үлдсэн тэмдэгтүүд нь хайрцагны хажуугийн урт юм.
Олон хүмүүс параллелепипедийн диагональыг талуудын диагональтай андуурдаг. Доорх нь өнгөт зураг байнасегментүүд нь зургийн талуудын диагональуудыг илэрхийлнэ.
Тэдгээрийн уртыг мөн Пифагорын теоремоор тодорхойлдог бөгөөд харгалзах талын уртын квадратуудын нийлбэрийн квадрат язгууртай тэнцүү байна.
Призмын хэмжээ
Геометрийн зарим асуудлыг шийдэхийн тулд ердийн дөрвөлжин призм эсвэл бусад төрлийн призмийн талбайгаас гадна тэдгээрийн эзлэхүүнийг мэдэх хэрэгтэй. Ямар ч призмийн энэ утгыг дараах томъёогоор тооцоолно:
V=Soh
Хэрэв призм тэгш өнцөгт бол түүний суурийн талбайг тооцоод хажуугийн ирмэгийн уртаар үржүүлж зургийн эзэлхүүнийг авахад хангалттай.
Хэрэв призм ердийн дөрвөлжин призм бол түүний эзлэхүүн нь:
болно.
V=a2ц.
Хэрэв хажуугийн ирмэгийн урт h нь суурийн хажуутай тэнцүү бол энэ томьёог кубын эзэлхүүний илэрхийлэл болгон хувиргах нь амархан.
Кубоидтой холбоотой асуудал
Судалсан материалыг нэгтгэхийн тулд бид дараах асуудлыг шийднэ: тал нь 3 см, 4 см, 5 см тэгш өнцөгт параллелепипед байна. Түүний гадаргуугийн талбай, диагональ урт, эзэлхүүнийг тооцоолох шаардлагатай.
Тодорхой байхын тулд бид зургийн суурь нь 3см ба 4см талтай тэгш өнцөгт байна гэж үзнэ. Тэгвэл түүний талбай 12см2, цэг 14 см. Призмийн гадаргуугийн томьёог ашиглан бид:
авна.
S=2So+ Sb=212 + 514=24 + 70=94см2
Дургийн диагональ болон эзлэхүүнийг тодорхойлохын тулд дээрх илэрхийллийг шууд ашиглаж болно:
D=√(32+42+52)=7 071 см;
V=345=60см3.
Ташуу параллелепипедтэй холбоотой асуудал
Доорх зурагт ташуу призмийг харуулж байна. Түүний талууд тэнцүү: a=10 см, b=8 см, c=12 см. Та энэ зургийн гадаргуугийн талбайг олох хэрэгтэй.
Эхлээд суурийн талбайг тодорхойлъё. Зурагт хурц өнцөг нь 50o байгааг харуулж байна. Дараа нь түүний талбай нь:
So=ha=нүгэл(50o)ba
Хажуугийн гадаргуугийн талбайг тодорхойлохын тулд сүүдэрлэсэн тэгш өнцөгтийн периметрийг олох хэрэгтэй. Энэ тэгш өнцөгтийн талууд нь asin(45o) ба bsin(60o). Тэгвэл энэ тэгш өнцөгтийн периметр нь:
Psr=2(asin(45o)+bsin(60o))
Энэ хайрцагны нийт гадаргуу нь:
S=2So+ Sb=2(sin(50o)ba + acsin(45o) + bcsin(60o))
Бид асуудлын нөхцөлийн өгөгдлийг зургийн талуудын уртаар орлуулж, дараах хариултыг авна:
S=458, 5496 см3
Ташуу дүрсүүдийн талбайг тодорхойлохдоо тригонометрийн функцийг ашигладаг болохыг энэ асуудлын шийдлээс харж болно.
