8-р ангийн алгебрийн хичээл дээр хоёрдугаар зэргийн олон гишүүнтийг судлахад их анхаардаг. Хэрэв энэ материалыг оюутан муу эзэмшсэн бол OGE болон Улсын нэгдсэн шалгалтын шалгалтанд профайлын түвшинд болон үндсэн түвшинд асуудал гарах нь гарцаагүй. Квадрат функцтэй холбоотой заавал байх ёстой ур чадварт график зурах, дүн шинжилгээ хийх, тэгшитгэл шийдвэрлэх зэрэг орно.
Квадрат гурвалсан тоог үржүүлэх нь сургуулийн стандарт бодлогын нэг юм. Энэ нь тэгш бус байдлыг интервалын аргаар шийдвэрлэхэд туслах болно.
Тэгшитгэлийн язгуурыг олох
Олон гишүүнтийг үржүүлэх хамгийн эхний зүйл бол үндсийг нь олох явдал юм.
Үндэс гэдэг нь олон гишүүнт мономиалуудын нийлбэрийг тэг болгож хувиргадаг тоо бөгөөд графикаар хэвтээ тэнхлэгтэй огтлолцсон мэт харагддаг. Тэдгээрийг дискриминант эсвэл Виетийн теорем ашиглан тодорхойлно.
Гурвалсан тэнхлэгийн дискриминант2 + bx + c-ийг дараах томъёогоор тооцоолно: D=b2m- 4ac.
Ялгаварлагч сөрөг биш тохиолдолд,язгуурууд түүгээр илэрхийлэгдэх ба олон гишүүнт коэффициентүүд:
x1 =1/2(-b + √D); x2 =1/2(-b - √D)
Хэрэв ялгах утга нь тэг бол x1бол x2нь ижил байна.
Зарим гурвалсан тоонуудыг шийдэхийн тулд Виетийн теоремыг ашиглах нь тохиромжтой:
x1 + x2 =-b: a; x1 × x2=c: a
Теоремыг хэрэгжүүлэхэд тодорхой хэмжээний математикийн зөн совин шаардлагатай. Хамгийн гол нь хоёр үл мэдэгдэх нийлбэр ба үржвэрийг мэдэж байгаа тул эдгээр тоог аваарай. Хэрэв тэдгээр нь байгаа бол тэдгээр нь өвөрмөц байдлаар олддог (оролцолт хүртэл).
Та язгууруудын нийлбэр ба үржвэрийг ерөнхий утгаар тооцож теоремын үнэн зөвийг шалгаж болно. x1 болон x2 -н томьёог мөн шууд орлуулалтаар шалгана.
Факторын дүрэм
Хэрэв олон гишүүнт үндэстэй бол асуудлыг бодит тоогоор шийдэж болно. Задралыг томъёогоор тодорхойлно:
ax2 + bx + c=a(x - x1)(x - x2)
Жишээ
Бодлого: дөрвөлжин гурвалжны үржвэрийг олох.
a) x2 - 6x + 5
Шийдвэр: гурвалсан гишүүний коэффициентийг бич:
а=1; b=-6; c=5.
Вьета теоремыг ашиглах нь:
x1 + x2 =6;
x1 × x2=5.
Харж болно x1 =1, x2 =5.
Хэрэв теоремын бичсэн тэгш байдлын дагуу,үндсийг нь хурдан олох боломжтой тул ялгаварлагчийн тооцоололд нэн даруй орох хэрэгтэй.
Үндэс олсны дараа тэдгээрийг өргөтгөх томъёонд орлуулах хэрэгтэй:
x2 - 6x + 5=(x - 1)(x - 5)
Энэ маягтанд бүртгэгдсэн үр дүнг эцсийн гэж үзэж болно.
b) 2x2 + x - 1
Шийдэл:
a=2, b=1, c=-1.
Хэрэв тэргүүлэгч коэффициент нь 1-ээс ялгаатай бол Виета теоремыг хэрэглэх нь дискриминантаар шийдвэрлэхээс илүү их цаг зарцуулдаг тул үүнийг тооцоолоход орцгооё.
D=1 - 4 × 2 × (-1)=9.
x1=1/2; x2=-1.
Томъёо нь:
2x2 + x - 1=2(x - 1/2)(x + 1).
c)x2 - 8x + 16
Шийдэл:
а=1; b=-8; c=16.
D=0.
Ялгаварлан гадуурхах утга нь тэг тул язгуурууд давхцах тохиолдол гарч байна:
x1 =x2 =4.
Гэхдээ энэ нөхцөл байдал нь өмнө авч үзсэнээс үндсэндээ ялгаатай биш юм.
x2 - 8x + 16=1(x - 4)(x - 4)
Үр дүнг ихэвчлэн дараах байдлаар бичдэг: (x - 4)2.
d)x2 - 7x + 1
Шийдэл:
а=1; b=-7; c=1.
D=45.
Энэ жишээ нь ялгаварлагчаас оновчтой язгуур гаргаж авах боломжгүй гэдгээрээ өмнөх жишээнүүдээс ялгаатай. Энэ нь олон гишүүнтийн үндэс нь иррациональ гэсэн үг.
x1 =-1/2(7 + √45); x2 =-1/2(7 - √45).
Эсвэл үүнтэй адил, x1=-3, 5 - 1/2√45; x2 =-3, 5 + 1/2√45.
Сүүлийн сонголт нь бичих өргөтгөлд ашиглахад илүү тохиромжтой. Энд 1-тэй тэнцүү ахлах коэффициентийг хасвал бид:
авна.
x2- 7x + 1=(x + 3.5 + 1/2√45)(x + 3.5 - 1/2√45)
Ялгаварлан гадуурхагч сөрөг байх тохиолдолд сургуулийн сургалтын хөтөлбөрийн хүрээнд дараах хариулт хангалттай байна: гурвалсан үсэг нь үндэсгүй тул хүчин зүйлчлэх боломжгүй. Ийм гурвалсан тоонуудыг мөн бууруулж болохгүй гэж нэрлэдэг. Бид зөвхөн жинхэнэ үндэс байгаа эсэх талаар л ярьж байна гэдгийг ойлгох нь чухал.
Хэрэв нийлмэл тоонуудын талбарыг авч үзвэл квадрат гурвалжны үржвэрийг ямар ч ялгаварлагчаар хийх боломжтой.
Ердийн алдаа
1) Олон гишүүнтийг судлах хамгийн эхэнд олон хүн коэффициентийг буруу бичдэг, жишээ нь тэмдэглэгээн дэх мономитын дарааллыг анхаарч үздэг.
Тэгэхээр 101-р тэгшитгэлийн тэргүүлэх хүчин зүйл a нь 79x + 38x2 таны бодож байгаа шиг 101 биш 38 байна.
Тэгшитгэлийн коэффициентүүдтэй холбоотой өөр нэг алдаа бол "тэмдгийн алдагдал" гэж нэрлэгддэг алдаа юм. Үүнтэй ижил жишээнд b=-79 коэффициент, 79 биш.
2) Виетийн теоремыг a=1 тохиолдолд хэрэглэж заншсанаар сургуулийн хүүхдүүд заримдаа түүний бүрэн томъёололыг мартдаг. Эхний догол мөрийн олон гишүүнт эхний коэффициент нь 1-ээс ялгаатай тул язгууруудын нийлбэрийг 79 гэж үзэх нь буруу юм.
3) Тооцооллын алдаа нь оюутнуудад хамгийн их тохиолддог асуудал юм. Ихэнх тохиолдолд шалгах нь тэдгээрээс зайлсхийхэд тусалдаг.орлуулалт.
Гурав болон түүнээс дээш зэрэглэлийн олон гишүүнт
Гурав ба түүнээс дээш зэрэгтэй олон гишүүнтийн язгуурыг олох асуудал маш их хөдөлмөр шаарддаг тул сургуульд дээд зэргийн олон гишүүнтийг авч үзэх нь ховор байдаг. Гурав, дөрөвдүгээр зэрэглэлийн олон гишүүнтийг өргөжүүлэх өндөр тооцооллын нарийн төвөгтэй алгоритмууд байдаг. Тав ба түүнээс дээш зэрэглэлийн хувьд радикал дахь тэгшитгэлийг ерөнхий хэлбэрээр шийдвэрлэх боломжгүй байдлын тухай теорем батлагдсан.
Ахлах сургуульд авч үзэж болох эдгээр олон гишүүнтүүдийн онцгой тохиолдлууд нь оновчтой хялбар сонгосон үндэс байдгаараа онцлог юм. Сүүлчийн тоо нь олон гишүүнтийн зэргээс хэтрэхгүй байх ёстой. Нарийн төвөгтэй хавтгайтай ажиллах үед тэдгээрийн тоо хамгийн дээд зэрэгтэй яг ижил байна.
Сондгой зэрэгтэй олон гишүүнт дор хаяж нэг бодит язгууртай байдаг. Үүнийг графикаар харуулахад хялбар байдаг - ийм олон гишүүнтээр өгөгдсөн тасралтгүй функц нь эерэг ба сөрөг утгатай бөгөөд энэ нь 0-ээр дамждаг гэсэн үг юм.
Хоёр олон гишүүнтийн бүх үндэс нь тэдгээрийн коэффициентүүд пропорциональ байвал давхцана.
Ерөнхийдөө үндсийг олох асуудал болон задрал байгуулах асуудлыг тэнцүү гэж үзэж болно.
