Зургаан өнцөгт призм ба түүний үндсэн шинж чанарууд

2024 Зохиолч: Angel Austin | [email protected]. Хамгийн сүүлд өөрчлөгдсөн: 2024-01-02 17:52

Орон зайн геометр бол призмийг судалдаг. Тэдний чухал шинж чанарууд нь тэдгээрт агуулагдах эзэлхүүн, гадаргуугийн талбай, бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн тоо юм. Нийтлэлд бид зургаан өнцөгт призмийн эдгээр бүх шинж чанарыг авч үзэх болно.

Бид ямар призмийн тухай ярьж байна вэ?

Зургаан өнцөгт призм нь зургаан тал, зургаан өнцөг бүхий хоёр олон өнцөгт, зургаан параллелограммаас тогтсон дүрс бөгөөд тэмдэглэгдсэн зургаан өнцөгтийг нэг геометрийн хэлбэрт холбосон дүрс юм.

Зурагт энэ призмийн жишээг харуулж байна.

Улаанаар тэмдэглэсэн зургаан өнцөгтийг зургийн суурь гэнэ. Мэдээжийн хэрэг, түүний суурийн тоо хоёртой тэнцүү бөгөөд хоёулаа ижил байна. Призмийн шар-ногоон нүүрийг талууд гэж нэрлэдэг. Зураг дээр тэдгээрийг квадратаар дүрсэлсэн боловч ерөнхийдөө параллелограмм байна.

Зургаан өнцөгт призм нь налуу болон шулуун байж болно. Эхний тохиолдолд суурь ба талуудын хоорондох өнцөг нь шулуун биш, хоёр дахь тохиолдолд 90o-тэй тэнцүү байна. Мөн энэ призм нь зөв, буруу байж болно. Ердийн зургаан өнцөгтпризм нь шулуун байх ёстой бөгөөд суурь нь ердийн зургаан өнцөгт байх ёстой. Зураг дээрх дээрх призм нь эдгээр шаардлагыг хангаж байгаа тул үүнийг зөв гэж нэрлэдэг. Нийтлэлд бид зөвхөн түүний шинж чанарыг ерөнхийд нь судлах болно.

Элементүүд

Аливаа призмийн гол элементүүд нь ирмэг, нүүр, орой юм. Зургаан өнцөгт призм нь үл хамаарах зүйл биш юм. Дээрх зураг нь эдгээр элементүүдийн тоог тоолох боломжийг танд олгоно. Тиймээс бид 8 нүүр буюу хажуу талыг (хоёр суурь ба зургаан хажуугийн параллелограмм) авна, оройн тоо 12 (суурь тус бүрт 6 орой), зургаан өнцөгт призмийн ирмэгийн тоо 18 (суурь нь зургаан хажуу, 12) байна..

1750-иад онд Леонхард Эйлер (Швейцарийн математикч) призмийг багтаасан бүх олон талтуудад зориулж заасан элементүүдийн тооны хоорондох математик хамаарлыг тогтоожээ. Энэ харилцаа дараах байдалтай харагдаж байна:

ирмэгийн тоо=нүүрний тоо + оройн тоо - 2.

Дээрх тоонууд нь энэ томьёог хангаж байна.

Призмын диагональ

Зургаан өнцөгт призмийн бүх диагональуудыг хоёр төрөлд хувааж болно:

• нүүрнийх нь хавтгайд хэвтэж байгаа хүмүүс;
• зургийн нийт эзлэхүүнд хамаарах хүмүүс.

Доорх зураг нь эдгээр бүх диагональуудыг харуулж байна.

Д₁ нь хажуугийн диагональ, D₂ ба D₃ байна. диагональууд нь бүхэл призм, D₄ ба D_{5 - суурийн диагональ.}

Хажуугийн диагональуудын урт нь хоорондоо тэнцүү байна. Сайн мэдэх Пифагорын теоремыг ашиглан тэдгээрийг тооцоолоход хялбар байдаг. Зургаан өнцөгтийн хажуугийн уртыг a, хажуугийн ирмэгийн уртыг b гэж үзье. Дараа нь диагональ урттай байна:

D₁=√(a² + b^2).

Диагональ D₄ нь мөн тодорхойлоход хялбар. Хэрэв бид ердийн зургаан өнцөгт нь a радиустай тойрогт багтдаг гэдгийг санаж байвал D_{4 нь энэ тойргийн диаметр, өөрөөр хэлбэл бид дараах томьёог авна:}

D_4=2a.

Диагональ D₅суурийг олоход арай хэцүү. Үүнийг хийхийн тулд тэгш талт ABC гурвалжинг авч үзье (Зураг харна уу). Түүний хувьд AB=BC=a, ABC өнцөг нь 120^{o байна. Хэрэв бид өндрийг энэ өнцгөөс доошлуулбал (энэ нь бас биссектриса ба медиан байх болно) хувьсах гүйдлийн суурийн тал нь дараахтай тэнцүү болно:}

AC/2=ABsin(60o)=a√3/2.

Хувьсах гүйдлийн тал нь D_{5-ийн диагональ тул бид дараахийг авна:}

D_5=AC=√3a.

Одоо жирийн зургаан өнцөгт призмийн D₂ ба D_{3 диагональуудыг олох л үлдлээ. Үүнийг хийхийн тулд тэдгээр нь харгалзах тэгш өнцөгт гурвалжны гипотенузууд гэдгийг харах хэрэгтэй. Пифагорын теоремыг ашиглан бид:авна.}

D₂=√(D₄²+ b^2)=√(4a2^{+ b}2^);

D₃=√(D₅²+ b^2)=√(3a2^{+ b}2^).

Тиймээс a ба b-ийн бүх утгын хамгийн том диагональ нь байнаD_2.

Гадаргуугийн талбай

Юу эрсдэлд байгааг ойлгохын тулд хамгийн хялбар арга бол энэ призмийн хөгжлийг авч үзэх явдал юм. Зураг дээр харагдаж байна.

Харж байгаа зургийн бүх талын талбайг тодорхойлохын тулд дөрвөлжин ба зургаан өнцөгтийн талбайг тусад нь тооцоолж, дараа нь үржүүлэх шаардлагатай байгааг харж болно. призм дэх n-gon бүрийн тоотой тэнцүү харгалзах бүхэл тоогоор үр дүнг нэмнэ. Зургаан өнцөгт 2, тэгш өнцөгт 6.

Тэгш өнцөгтийн талбайн хувьд бид авна:

S_1=ab.

Тэгвэл хажуугийн гадаргуугийн талбай:

S_2=6ab.

Зургаан өнцөгтийн талбайг тодорхойлохын тулд хамгийн хялбар арга бол харгалзах томьёог ашиглах явдал юм:

S=n/4a2ctg(pi/n).

Энэ илэрхийлэлд 6-тай тэнцүү n тоог орлуулснаар бид нэг зургаан өнцөгтийн талбайг авна:

S₆=6/4a²ctg(pi/6)=3√3/2a 2^.

Призмийн суурийн талбайг авахын тулд энэ илэрхийллийг хоёроор үржүүлнэ:

S_os=3√3a^2.

Зургийн нийт гадаргуугийн талбайг авахын тулд S_os ба S_{2 нэмэхэд л үлддэг:}

S=S_os+ S₂=3√3a^{2+ 6ab=3a(√3a + 2b).}

Призмын хэмжээ

Томъёоны дарааЗургаан өнцөгт суурийн талбайн хувьд тухайн призмд агуулагдах эзэлхүүнийг тооцоолох нь лийрийг цохихтой адил хялбар юм. Үүнийг хийхийн тулд та зүгээр л нэг суурийн талбайг (зургаан өнцөгт) зургийн өндрөөр үржүүлэх хэрэгтэй бөгөөд урт нь хажуугийн ирмэгийн урттай тэнцүү байна. Бид томъёог авна:

V=S₆b=3√3/2a^2b.

Суурь ба өндрийн үржвэр нь ямар ч призм, түүний дотор ташуу призмийн эзэлхүүний утгыг өгдөг болохыг анхаарна уу. Гэсэн хэдий ч сүүлчийн тохиолдолд өндрийг тооцоолоход төвөгтэй байдаг, учир нь энэ нь хажуугийн хавирганы урттай тэнцүү байхаа болино. Энгийн зургаан өнцөгт призмийн хувьд түүний эзэлхүүний утга нь а ба b тал гэсэн хоёр хувьсагчийн функц юм.