Сансар дахь геометрийн дүрсүүд нь стереометрийн судалгааны объект бөгөөд түүний хичээлийг ахлах сургуулийн сурагчид дамждаг. Энэ нийтлэлийг призм шиг төгс олон талт дүрст зориулав. Призмийн шинж чанаруудыг илүү нарийвчлан авч үзээд тэдгээрийг тоон байдлаар дүрслэх томъёог өгье.
Призм гэж юу вэ?
Хүн бүр хайрцаг эсвэл шоо ямар харагддагийг төсөөлдөг. Хоёр зураг хоёулаа призм юм. Гэсэн хэдий ч призмийн ангилал нь илүү олон янз байдаг. Геометрийн хувьд энэ дүрсийг дараахь тодорхойлолтоор өгсөн болно: призм нь хоёр зэрэгцээ ба ижил олон өнцөгт талууд ба хэд хэдэн параллелограммуудаас бүрдсэн огторгуй дахь дурын олон өнцөгт юм. Зургийн ижил параллель нүүрийг түүний суурь (дээд ба доод) гэж нэрлэдэг. Параллелограммууд нь суурийн талыг өөр хоорондоо холбосон зургийн хажуугийн нүүрнүүд юм.
Хэрэв суурь нь n өнцөгт дүрслэгдсэн бол n нь бүхэл тоо бол зураг нь 2+n нүүр, 2n орой, 3n ирмэгээс бүрдэнэ. Нүүр ба ирмэгүүд нь хамаарнахоёр төрлийн аль нэг нь: тэдгээр нь хажуугийн гадаргуу эсвэл суурьт хамаарна. Оройнуудын хувьд тэдгээр нь бүгд тэнцүү бөгөөд призмийн сууриудын суурьт хамаарна.
Судлаж буй ангийн дүрсийн төрөл
Призмийн шинж чанарыг судлахдаа энэ зургийн боломжит төрлүүдийг жагсаах хэрэгтэй:
- Гүдгэр ба хотгор. Тэдний хоорондын ялгаа нь олон өнцөгт суурийн хэлбэрт оршдог. Хэрэв энэ нь хонхор байвал гурван хэмжээст дүрс байх ба эсрэгээр.
- Шууд ба ташуу. Шулуун призмийн хувьд хажуугийн нүүр нь тэгш өнцөгт эсвэл дөрвөлжин хэлбэртэй байна. Ташуу зурганд хажуугийн нүүр нь ерөнхий төрлийн параллелограмм эсвэл ромб хэлбэртэй байна.
- Буруу ба зөв. Судалж буй дүрс нь зөв байхын тулд шулуун, зөв суурьтай байх ёстой. Сүүлчийн жишээ бол тэгш талт гурвалжин эсвэл дөрвөлжин зэрэг хавтгай дүрс юм.
Призмийн нэрийг жагсаасан ангиллыг харгалзан үүсгэсэн. Жишээлбэл, дээр дурдсан тэгш өнцөгт параллелепипед буюу кубыг ердийн дөрвөлжин призм гэж нэрлэдэг. Тогтмол призмүүд нь өндөр тэгш хэмтэй тул судлахад тохиромжтой. Тэдний шинж чанарууд нь тодорхой математикийн томьёо хэлбэрээр илэрхийлэгддэг.
Призмын талбай
Призмийн ийм шинж чанарыг түүний талбай гэж үзэхэд тэдгээр нь түүний бүх нүүрний нийт талбайг илэрхийлдэг. Хэрэв та зургийг задлах юм бол бүх нүүрийг нэг хавтгайд өргөжүүлбэл энэ утгыг төсөөлөхөд хялбар байдаг. Доод талдЗурагт хоёр призмийг шүүрдэх жишээг харуулж байна.
Дурын призмийн хувьд түүний шүүрдэх талбайн томьёог ерөнхий хэлбэрээр дараах байдлаар бичиж болно:
S=2So+ bPsr.
Тэмдэглэгээг тайлбарлая. So нь нэг суурийн талбай, b нь хажуугийн ирмэгийн урт, Psr нь зүссэн периметр бөгөөд зургийн хажуугийн параллелограммуудтай перпендикуляр байна.
Бичсэн томьёог налуу призмүүдийн талбайг тодорхойлоход ихэвчлэн ашигладаг. Энгийн призмийн хувьд S-ийн илэрхийлэл нь тодорхой хэлбэртэй болно:
S=n/2a2ctg(pi/n) + nba.
Илэрхийлэл дэх эхний гишүүн нь ердийн призмийн хоёр суурийн талбайг, хоёр дахь гишүүн нь хажуугийн тэгш өнцөгтүүдийн талбайг илэрхийлнэ. Энд a нь ердийн n-gon-ийн талын урт юм. Энгийн призмийн хажуугийн ирмэгийн b урт нь түүний өндөр h тул b томьёоны хувьд h-ээр сольж болно гэдгийг анхаарна уу.
Зургийн эзлэхүүнийг хэрхэн тооцоолох вэ?
Призм бол өндөр тэгш хэмтэй харьцангуй энгийн олон өнцөгт юм. Тиймээс түүний эзлэхүүнийг тодорхойлохын тулд маш энгийн томъёо байдаг. Энэ нь иймэрхүү харагдаж байна:
V=Soцаг.
Ташуу жигд бус хэлбэрийг харахад суурь талбай болон өндрийг тооцоолоход төвөгтэй байж болно. Хажуугийн параллелограмм ба суурийн хоорондох хоёр өнцөгт өнцгийн талаарх мэдээллийг агуулсан дараалсан геометрийн шинжилгээг ашиглан энэ асуудлыг шийддэг.
Хэрэв призм зөв болV-ийн томьёо нэлээд тодорхой болсон:
V=n/4a2ctg(pi/n)h.
Таны харж байгаачлан ердийн призмийн шугаман параметрүүдийн хоёр нь мэдэгдэж байгаа бол S талбай ба V хэмжээ нь онцгой тодорхойлогддог.
Гурвалжин энгийн призм
Ердийн гурвалжин призмийн шинж чанарыг авч үзэн өгүүллээ дуусгая. Энэ нь таван нүүрнээс бүрддэг бөгөөд тэдгээрийн гурав нь тэгш өнцөгт (дөрвөлжин), хоёр нь тэгш өнцөгт гурвалжин юм. Призм нь зургаан орой, есөн ирмэгтэй. Энэ призмийн хувьд эзэлхүүн ба гадаргуугийн томьёог доор бичнэ:
S3=√3/2a2+ 3ha
V3=√3/4a2ц.
Эдгээр шинж чанаруудаас гадна ижил талт гурвалжны ha өндөр болох зургийн суурийн үгийн томъёог өгөх нь бас ашигтай юм:
ha=√3/2a.
Призмийн талууд нь ижил тэгш өнцөгтүүд юм. Тэдний диагональуудын урт d нь:
d=√(a2+ h2).
Гурвалжин призмийн геометрийн шинж чанаруудын талаарх мэдлэг нь онолын төдийгүй практикийн ач холбогдолтой юм. Оптик шилээр хийсэн энэ дүрсийг биеийн цацрагийн спектрийг судлахад ашигладаг нь баримт юм.
Шилэн призмээр дамжин өнгөрөхөд дисперсийн үзэгдлийн үр дүнд гэрэл хэд хэдэн бүрэлдэхүүн өнгө болж задардаг бөгөөд энэ нь цахилгаан соронзон урсгалын спектрийн найрлагыг судлах нөхцлийг бүрдүүлдэг.
