Ердийн таван өнцөгт: шаардлагатай хамгийн бага мэдээлэл

2024 Зохиолч: Angel Austin | [email protected]. Хамгийн сүүлд өөрчлөгдсөн: 2023-12-17 05:36

Ожеговын тайлбар толь бичигт таван өнцөгт нь таван дотоод өнцгийг бүрдүүлдэг огтлолцсон таван шулуун шугам, түүнчлэн ижил төстэй хэлбэртэй аливаа объектоор хязгаарлагдах геометрийн дүрсийг хэлнэ. Өгөгдсөн олон өнцөгт нь ижил тал ба өнцөгтэй бол түүнийг ердийн (пентагон) гэнэ.

Ердийн таван өнцөгт юугаараа сонирхолтой вэ?

Ийм хэлбэрээр АНУ-ын Батлан хамгаалах яамны алдартай барилга баригдсан юм. Эзэлхүүнтэй ердийн полиэдрүүдээс зөвхөн хоёр талт нь таван өнцөгт хэлбэртэй нүүртэй байдаг. Мөн байгальд талстууд огт байдаггүй бөгөөд нүүр нь ердийн таван өнцөгттэй төстэй байх болно. Үүнээс гадна, энэ зураг нь талбайг хавтанцар хийхэд ашиглах боломжгүй хамгийн бага тооны булантай олон өнцөгт юм. Зөвхөн таван өнцөгт нь талуудтай ижил тооны диагональтай байдаг. Зөвшөөрч байна, сонирхолтой байна!

Үндсэн шинж чанар ба томьёо

Томьёог ашиглаж байнадурын ердийн олон өнцөгт бол та пентагонд байх шаардлагатай бүх параметрүүдийг тодорхойлж болно.

• Төв өнцөг α=360 / n=360/5=72°.
• Дотоод өнцөг β=180°(n-2)/n=180°3/5=108°. Үүний дагуу дотоод өнцгийн нийлбэр нь 540° байна.
• Диагональ болон хажуугийн харьцаа нь (1+√5) /2, өөрөөр хэлбэл "алтан хэсэг" (ойролцоогоор 1, 618).
• Ердийн таван өнцөгтийн талын уртыг аль параметр нь аль хэдийн мэдэгдэж байгаагаас хамааран гурван томьёоны аль нэгийг ашиглан тооцоолж болно:
• хэрэв тойргийг тойруулан хүрээлж, түүний радиус R нь мэдэгдэж байгаа бол a=2Rsin (α/2)=2Rsin(72°/2) ≈1, 1756R;
• r радиустай тойргийг энгийн таван өнцөгт сийлсэн тохиолдолд a=2rtg(α/2)=2rtg(α/2) ≈ 1, 453r;
• радиусын оронд диагональ D-ийн утга мэдэгдэж байвал талыг дараах байдлаар тодорхойлно: a ≈ D/1, 618.
• Энгийн таван өнцөгтийн талбайг бидний мэдэх параметрээс хамаарч дахин тодорхойлно:
• хэрэв бичээстэй эсвэл хязгаарласан тойрог байвал дараах хоёр томъёоны аль нэгийг ашиглана:

S=(nar)/2=2, 5ar эсвэл S=(nR²sin α)/2 ≈ 2, 3776R²;

талбайг зөвхөн a талын уртыг мэдэж байж тодорхойлж болно:

S=(5a²tg54°)/4 ≈ 1, 7205 a².

Ердийн таван өнцөгт: барилга

Энэ геометрийн дүрсийг янз бүрийн аргаар барьж болно. Жишээлбэл, өгөгдсөн радиустай тойрог хэлбэрээр бичнэ үү, эсвэл өгөгдсөн хажуу тал дээр үндэслэн байгуулна. Үйлдлийн дарааллыг МЭӨ 300 оны үед Евклидийн элементүүдэд дүрсэлсэн байдаг. Ямар ч байсан бидэнд луужин, захирагч хэрэгтэй. Өгөгдсөн тойрог ашиглан барих аргыг авч үзье.

1. Дурын радиусыг сонгоод, тойрог зурж, төвийг нь O тэмдэглэнэ.

2. Тойргийн шугам дээр манай таван өнцөгтийн оройн нэг болох цэгийг сонго. Үүнийг А цэг гэж үзье. О болон А цэгүүдийг шулуун шугамаар холбоно.

3. O цэгийг дамжин OA шулуунд перпендикуляр шугам зур. Энэ шугамын тойргийн шугамтай огтлолцох хэсгийг B цэг гэж тэмдэглэ.

4. O болон B цэгийн хоорондох зайн дунд C цэгийг байгуулна.

5. Одоо төв нь С цэг дээр байх ба А цэгийг дайран өнгөрөх тойрог зур. Түүний OB шугамтай огтлолцох газар (энэ нь хамгийн эхний тойрог дотор байх болно) D цэг болно.

6. D-г дайран өнгөрч, төв нь A-д байх тойрог байгуул. Түүний анхны тойрогтой огтлолцох газруудыг E ба F цэгээр тэмдэглэсэн байх ёстой.

7. Одоо тойрог байгуул, түүний төв нь E-д байх болно. Та үүнийг А-г дайран өнгөрөхийн тулд үүнийг хийх хэрэгтэй. Түүний анхны тойргийн бусад огтлолцлыг G цэгээр зааж өгөх ёстой.

8. Эцэст нь F цэг дээр төвлөрсөн A цэгээр тойрог зурна уу. Анхны тойргийн өөр огтлолцлыг H цэгээр тэмдэглэнэ үү.

9. Одоо орхилооA, E, G, H, F оройнуудыг холбоно уу. Манай энгийн таван өнцөгт бэлэн болно!