Гурвалжин, дөрвөлжин, зургаан өнцөгт - эдгээр дүрсийг бараг бүх хүн мэддэг. Гэхдээ ердийн олон өнцөгт гэж юу болохыг хүн бүр мэддэггүй. Гэхдээ эдгээр нь бүгд ижил геометрийн хэлбэрүүд юм. Энгийн олон өнцөгт нь ижил өнцөг ба талуудтай байдаг. Ийм тоо зөндөө байгаа ч бүгд ижил шинж чанартай бөгөөд тэдгээрт ижил томьёо хамаарна.
Ердийн олон өнцөгтийн шинж чанарууд
Дөрвөлжин эсвэл найман өнцөгт аль ч энгийн олон өнцөгтийг тойрог дотор бичиж болно. Энэ үндсэн шинж чанарыг ихэвчлэн дүрсийг бүтээхэд ашигладаг. Үүнээс гадна тойргийг олон өнцөгт хэлбэрээр бичиж болно. Энэ тохиолдолд холбоо барих цэгүүдийн тоо нь түүний талуудын тоотой тэнцүү байх болно. Ердийн олон өнцөгт дотор бичээстэй тойрог нь түүнтэй нийтлэг төвтэй байх нь чухал юм. Эдгээр геометрийн дүрсүүд нь ижил теоремд хамаарна. Аль ч талжирийн n өнцөгт нь түүний эргэн тойронд хүрээлэгдсэн тойргийн R радиустай хамааралтай. Тиймээс дараах томъёогоор тооцоолж болно: a=2R ∙ sin180°. Тойргийн радиусаар олон өнцөгтийн талууд төдийгүй периметрийг олох боломжтой.
Ердийн олон өнцөгтийн талуудын тоог хэрхэн олох вэ
Аливаа энгийн n-gon нь хоорондоо тэнцүү тодорхой тооны сегментээс тогтох ба тэдгээр нь холбогдох үед битүү шугам үүсгэдэг. Энэ тохиолдолд үүссэн зургийн бүх булан нь ижил утгатай байна. Олон өнцөгтийг энгийн ба нийлмэл гэж хуваадаг. Эхний бүлэгт гурвалжин ба дөрвөлжин орно. Нарийн төвөгтэй олон өнцөгтүүд илүү олон талтай байдаг. Тэдэнд од хэлбэртэй дүрсүүд ч багтдаг. Нарийн төвөгтэй ердийн олон өнцөгтүүдийн хувьд талуудыг тойрог хэлбэрээр бичээд олно. Нотлох баримтаа өгье. Дурын тооны n талтай жирийн олон өнцөгт зур. Түүний эргэн тойрон дахь тойргийг дүрсэл. R радиусыг тодорхойл. Одоо зарим n-gon өгөгдсөн гэж төсөөлөөд үз дээ. Хэрэв түүний өнцгийн цэгүүд тойрог дээр хэвтэж, өөр хоорондоо тэнцүү бол талуудыг дараах томъёогоор олно: a=2R ∙ sinα: 2.
Бичээстэй энгийн гурвалжны талуудын тоог олох
Тэгш талт гурвалжин нь жирийн олон өнцөгт юм. Квадрат ба n-gon-той ижил томьёо үүнд хамаарна. Гурвалжин нь ижил урттай талуудтай бол зөв гэж үзнэ. Энэ тохиолдолд өнцөг нь 60⁰ байна. Өгөгдсөн талын урттай гурвалжин байгуулна a. Түүний дундаж ба өндрийг мэдэх ньтүүний талуудын утгыг олох боломжтой. Үүнийг хийхийн тулд бид a \u003d x: cosα томъёогоор олох аргыг ашиглах болно, энд x нь медиан эсвэл өндөр юм. Гурвалжны бүх талууд тэнцүү тул бид a=b=c авна. Тэгвэл дараах мэдэгдэл үнэн байх болно a=b=c=x: cosα. Үүнтэй адил тэгш өнцөгт гурвалжны талуудын утгыг олох боломжтой боловч x нь өгөгдсөн өндөр байх болно. Үүний зэрэгцээ үүнийг зургийн үндсэн дээр хатуу төлөвлөх хэрэгтэй. Тиймээс x өндрийг мэдсэнээр бид a \u003d b \u003d x: cosα томъёог ашиглан ижил өнцөгт гурвалжны а талыг олдог. a-ийн утгыг олсны дараа c суурийн уртыг тооцоолж болно. Пифагорын теоремыг хэрэгжүүлье. Бид хагас суурийн утгыг хайх болно c: 2=√(x: cosα)^2 - (x^2)=√x^2 (1 - cos^2α): cos^2α=x ∙ tgα. Дараа нь c=2xtanα. Энд бичээстэй олон өнцөгтийн талуудын тоог олох энгийн арга байна.
Тойрог дотор бичээстэй дөрвөлжингийн талуудыг тооцоолох
Бусад бичээстэй жирийн олон өнцөгтийн нэгэн адил дөрвөлжин нь тэнцүү талууд ба өнцөгтэй байдаг. Гурвалжинтай ижил томъёолол түүнд хамаарна. Та диагоналын утгыг ашиглан квадратын талыг тооцоолж болно. Энэ аргыг илүү нарийвчлан авч үзье. Диагональ нь өнцгийг хоёр хуваадаг гэдгийг мэддэг. Эхэндээ түүний үнэ цэнэ 90 градус байсан. Ийнхүү хуваагдсаны дараа хоёр тэгш өнцөгт гурвалжин үүснэ. Тэдний суурь өнцөг нь 45 градус байх болно. Үүний дагуу дөрвөлжингийн тал бүр тэнцүү байх болно, өөрөөр хэлбэл: a \u003d c \u003d c \u003d d \u003d e ∙ cosα \u003d e √ 2: 2, энд e нь квадратын диагональ буюу суурь юм. хуваагдсаны дараа үүссэн тэгш өнцөгт гурвалжин. Энэ нь цорын ганц арга биш юмквадратын талуудыг олох. Энэ дүрсийг тойрог хэлбэрээр бичье. Энэ R тойргийн радиусыг мэдсэнээр бид квадратын талыг олно. Бид үүнийг дараах байдлаар тооцоолно a4=R√2. Энгийн олон өнцөгтүүдийн радиусыг R=a: 2tg (360o: 2n) томъёогоор тооцоолно, энд a нь хажуугийн урт.
N өнцөгтийн периметрийг хэрхэн тооцоолох
n-gon-ийн периметр нь түүний бүх талуудын нийлбэр юм. Үүнийг тооцоолоход хялбар байдаг. Үүнийг хийхийн тулд та бүх талын үнэ цэнийг мэдэх хэрэгтэй. Зарим төрлийн олон өнцөгтийн хувьд тусгай томъёо байдаг. Тэд периметрийг илүү хурдан олох боломжийг танд олгоно. Аливаа ердийн олон өнцөгт нь тэнцүү талуудтай байдаг нь мэдэгдэж байна. Тиймээс түүний периметрийг тооцоолохын тулд дор хаяж нэгийг нь мэдэхэд хангалттай. Томъёо нь зургийн талуудын тооноос хамаарна. Ерөнхийдөө энэ нь иймэрхүү харагдаж байна: P \u003d an, энд a нь хажуугийн утга, n нь өнцгийн тоо юм. Жишээлбэл, 3 см талтай энгийн найман өнцөгтийн периметрийг олохын тулд та 8-аар үржүүлэх хэрэгтэй, өөрөөр хэлбэл P=3 ∙ 8=24 см. 5 см талтай зургаан өнцөгтийн хувьд бид тооцоолно. дараах байдлаар: P=5 ∙ 6=30 см. Мөн олон өнцөгт бүрийн хувьд.
Параллелограмм, квадрат ба ромбын периметрийг олох
Энгийн олон өнцөгт хэдэн талтай байхаас хамаарч периметрийг нь тооцдог. Энэ нь даалгаврыг ихээхэн хөнгөвчлөх болно. Үнэн хэрэгтээ бусад тоонуудаас ялгаатай нь энэ тохиолдолд түүний бүх талыг хайх шаардлагагүй, зөвхөн нэг л хангалттай. Үүнтэй ижил зарчмаар бид периметрийг олдогдөрвөлжин, өөрөөр хэлбэл дөрвөлжин ба ромб. Эдгээр нь өөр өөр тоо боловч тэдгээрийн томъёо нь ижил P=4a, a нь тал юм. Нэг жишээ татъя. Хэрэв ромб эсвэл дөрвөлжингийн тал нь 6 см бол бид периметрийг дараах байдлаар олно: P \u003d 4 ∙ 6 \u003d 24 см Параллелограмм нь зөвхөн эсрэг талуудтай. Тиймээс түүний периметрийг өөр аргаар олдог. Тиймээс бид зургийн урт a ба өргөн b-ийг мэдэх хэрэгтэй. Дараа нь бид P=(a + c) ∙ 2 томьёог хэрэглэнэ. Бүх талууд болон тэдгээрийн хоорондох өнцөг нь тэнцүү параллелограммыг ромб гэнэ.
Тэгш ба тэгш өнцөгт гурвалжны периметрийг олох
Энгийн тэгш талт гурвалжны периметрийг P=3a томъёогоор олно, энд а нь хажуугийн урт юм. Хэрэв энэ нь тодорхойгүй бол түүнийг медианаар олж болно. Тэгш өнцөгт гурвалжинд зөвхөн хоёр тал тэнцүү байна. Үндэслэлийг Пифагорын теоремоор дамжуулан олж болно. Гурван талын утгууд тодорхой болсны дараа бид периметрийг тооцоолно. Үүнийг P \u003d a + b + c томъёог ашиглан олж болно, a ба b нь тэнцүү талууд, c нь суурь юм. Адил өнцөгт гурвалжинд a \u003d b \u003d a, тиймээс a + b \u003d 2a, дараа нь P \u003d 2a + c гэдгийг санаарай. Жишээлбэл, ижил өнцөгт гурвалжны тал нь 4 см, түүний суурь ба периметрийг ол. Бид гипотенузын утгыг Пифагорын теоремоор тооцоолно c=√a2 + v2=√16+16=√32=5.65 см. Одоо бид периметр Р=2 ∙ 4 + 5, 65=13.65 см-ийг тооцоолно.
Ердийн олон өнцөгтийн буланг хэрхэн олох вэ
Ердийн олон өнцөгтбидний амьдралд өдөр бүр тохиолддог, жишээлбэл, энгийн дөрвөлжин, гурвалжин, найман өнцөгт. Энэ дүрсийг өөрөө бүтээхээс хялбар зүйл байхгүй юм шиг санагдаж байна. Гэхдээ энэ нь зөвхөн анхны харцаар харагдаж байна. Аливаа n-gon-г бүтээхийн тулд та түүний өнцгийн утгыг мэдэх хэрэгтэй. Гэхдээ та тэдгээрийг яаж олох вэ? Эртний эрдэмтэд хүртэл ердийн олон өнцөгтийг барихыг оролдсон. Тэднийг тойрогт оруулахыг тэд таамаглав. Дараа нь үүн дээр шаардлагатай цэгүүдийг тэмдэглэж, шулуун шугамаар холбосон. Энгийн тоонуудын хувьд барилгын асуудал шийдэгдсэн. Томъёо, теоремуудыг олж авсан. Жишээлбэл, Евклид "Эхлэл" хэмээх алдартай бүтээлдээ 3, 4, 5, 6, 15-гоны асуудлыг шийдвэрлэх ажилд оролцжээ. Тэр тэдгээрийг бүтээх, өнцөг олох арга замыг олсон. Үүнийг 15-гоны хувьд яаж хийхийг харцгаая. Эхлээд та түүний дотоод өнцгийн нийлбэрийг тооцоолох хэрэгтэй. S=180⁰(n-2) томъёог ашиглах шаардлагатай. Тэгэхээр бидэнд 15-гон өгөгдсөн бөгөөд энэ нь n тоо 15 гэсэн үг юм. Бид өөрсдийн мэддэг өгөгдлийг томъёонд орлуулж S=180⁰ (15 - 2)=180⁰ x 13=2340⁰ болно. Бид 15 өнцөгтийн бүх дотоод өнцгийн нийлбэрийг оллоо. Одоо бид тус бүрийн үнэ цэнийг авах хэрэгтэй. Нийт 15 өнцөг байна. Бид 2340⁰: 15=156⁰ гэсэн тооцоог хийдэг. Энэ нь дотоод өнцөг бүр нь 156⁰ гэсэн үг бөгөөд одоо захирагч болон луужин ашиглан ердийн 15 өнцөгтийг барьж болно. Гэхдээ илүү төвөгтэй n-gon-уудын талаар юу хэлэх вэ? Олон зууны турш эрдэмтэд энэ асуудлыг шийдэхийн тулд тэмцсээр ирсэн. Үүнийг зөвхөн 18-р зуунд Карл Фридрих Гаусс олсон. Тэрээр 65537-гон барьж чадсан. Түүнээс хойш албан ёсоор асуудал бүрэн шийдэгдсэн гэж тооцогдоно.
n өнцөгтийн өнцгийн тооцоорадианаар
Мэдээж олон өнцөгтийн буланг олох хэд хэдэн арга бий. Ихэнхдээ тэдгээрийг градусаар тооцдог. Гэхдээ та тэдгээрийг радианаар илэрхийлж болно. Үүнийг хэрхэн хийх вэ? Үүнийг дараах байдлаар үргэлжлүүлэх шаардлагатай. Эхлээд жирийн олон өнцөгтийн талуудын тоог олоод түүнээс 2-ыг хасна. Тиймээс утгыг гаргана: n - 2. Олдсон зөрүүг n тоогоор үржүүлнэ (“pi”=3, 14). Одоо гарсан бүтээгдэхүүнийг n-gon дахь өнцгийн тоонд хуваахад л үлдлээ. Ижил арван таван талт жишээн дээр эдгээр тооцоог авч үзье. Тэгэхээр n тоо нь 15. S=p(n - 2): n=3, 14(15 - 2): 15=3, 14 ∙ 13: 15=2, 72 томъёог ашигла. Энэ нь мэдээжийн хэрэг, Энэ нь радианаар өнцгийг тооцоолох цорын ганц арга биш юм. Та өнцгийн хэмжээг градусаар 57, 3 тоонд хувааж болно. Эцсийн эцэст, энэ олон градус нь нэг радиантай тэнцэнэ.
Өнцгийн утгыг градусаар тооцоолох
Та градус, радианаас гадна жирийн олон өнцөгтийн өнцгийн утгыг градаар олохыг оролдож болно. Үүнийг дараах байдлаар гүйцэтгэнэ. Нийт өнцгийн тооноос 2-ыг хасч, үүссэн зөрүүг ердийн олон өнцөгтийн талуудын тоонд хуваана. Бид олсон үр дүнг 200-аар үржүүлдэг. Дашрамд хэлэхэд, мөндөр гэх мэт өнцгийн хэмжилтийн нэгжийг бараг ашигладаггүй.
n өнцөгтийн гадаад өнцгийн тооцоо
Дотоодоос бусад энгийн олон өнцөгтийн хувьд гадаад өнцгийг мөн тооцоолж болно. Үүний үнэ цэнийг бусад тоонуудтай ижил аргаар олно. Тиймээс ердийн олон өнцөгтийн гаднах өнцгийг олохын тулд танд хэрэгтэй болнодотоод сэтгэлийн утгыг мэддэг. Цаашилбал, эдгээр хоёр өнцгийн нийлбэр нь үргэлж 180 градус байдгийг бид мэднэ. Тиймээс бид тооцооллыг дараах байдлаар хийдэг: 180⁰ хасах дотоод өнцгийн утгыг. Бид ялгааг олдог. Энэ нь зэргэлдээх өнцгийн утгатай тэнцүү байх болно. Жишээлбэл, дөрвөлжингийн дотоод булан нь 90 градус тул гаднах өнцөг нь 180⁰ - 90⁰=90⁰ байх болно. Бидний харж байгаагаар үүнийг олох нь тийм ч хэцүү биш юм. Гаднах өнцөг нь +180⁰-аас -180⁰ хүртэл утгыг авч болно.
