Таван өнцөгт призмийг хэрхэн зурах вэ? Зургийн хэмжээ ба гадаргуугийн талбай

2024 Зохиолч: Angel Austin | [email protected]. Хамгийн сүүлд өөрчлөгдсөн: 2023-12-17 05:36

Геометрийн асуудлыг шийдэх таван өнцөгт призм нь гурвалжин, дөрвөлжин, зургаан өнцөгт гэх мэт призмээс хамаагүй бага түгээмэл байдаг. Гэсэн хэдий ч энэ хэлбэрийн үндсэн шинж чанаруудыг судалж, хэрхэн зурах талаар сурах нь ашигтай.

Таван өнцөгт призм гэж юу вэ?

Энэ бол гурван хэмжээст дүрс бөгөөд суурь нь таван өнцөгт, талууд нь параллелограмм юм. Хэрэв эдгээр параллелограмм тус бүр нь параллель сууриудтай перпендикуляр байвал ийм призмийг тэгш өнцөгт гэж нэрлэдэг. Тэгш өнцөгт таван өнцөгт призмийн хажуугийн гадаргуу нь таван тэгш өнцөгтөөс бүрдэнэ. Мөн тус бүрийн суурийн хажуу тал нь таван өнцөгтийн хажуугийн харгалзах урттай тэнцүү байна.

Хэрэв таван өнцөгт тэгш өнцөгт, өөрөөр хэлбэл түүний бүх тал ба өнцөг нь хоорондоо тэнцүү бол ийм тэгш өнцөгт призмийг регуляр гэнэ. Цаашид нийтлэлд бид энэ дүрсийн шинж чанарыг авч үзэх болно.

Призмын элементүүд

Түүний хувьд ямар ч призмийн хувьддараах элементүүд нь онцлог юм:

• нүүр эсвэл тал нь орон зайд дүрсийг холбосон онгоцны хэсгүүд юм;
• топууд - гурван талын огтлолцох цэгүүд;
• хавирга - зургийн хоёр талын огтлолцлын хэсгүүд.

Нэрлэсэн бүх элементийн тоо нь дараах тэгшитгэлээр өөр хоорондоо хамааралтай:

Ирмэгийн тоо=оройн тоо + нүүрний тоо - 2

Энэ илэрхийллийг олон өнцөгтийн Эйлерийн томъёо гэж нэрлэдэг.

Таван өнцөгт призмд талуудын тоо долоо (хоёр суурь + таван тэгш өнцөгт) байна. Оргилуудын тоо 10 (суурь тус бүрд тав). Энэ тохиолдолд ирмэгийн тоо нь:

байх болно.

Хавирганы тоо=10 + 7 - 2=15

Арван ирмэг нь призмийн сууринд хамаарах ба таван ирмэг нь тэгш өнцөгт хэлбэртэй байна.

Таван өнцөгт призмийг хэрхэн зурах вэ?

Энэ асуултын хариулт нь тодорхой даалгавараас хамаарна. Хэрэв дурын призм зурах шаардлагатай бол дурын таван өнцөгт зурах хэрэгтэй. Үүний дараа таван өнцөгтийн орой бүрээс ижил урттай таван зэрэгцээ сегментийг зур. Дараа нь сегментүүдийн дээд үзүүрийг холбоно. Үр дүн нь таван өнцөгт дурын призм юм.

Хэрэв ердийн призм зурах шаардлагатай бол ердийн таван өнцөгтийг олж авахад бүх ажлын нарийн төвөгтэй байдал орно. Энэ олон өнцөгтийг зурах хэд хэдэн арга байдаг. Энд бид зөвхөн хоёр аргыг авч үзэх болно.

Эхний арга бол луужингаар тойрог зурах. Дараа нь дурын диаметрийг зурнатойрог ба таван өнцгийг 72^o(572^o=360^{o дээр протектор ашиглан тоолно.). Өнцөг бүрийг тоолохдоо тойрог дээр ховил хийдэг. Тэгш өнцөгтийг барихын тулд тэмдэглэсэн ховилыг шулуун сегментээр холбоход л үлддэг.}

Хоёр дахь арга нь зөвхөн луужин болон захирагч ашиглах явдал юм. Энэ нь өмнөхтэй харьцуулахад нэлээд төвөгтэй юм. Энэ бүтээх алхам бүрийг дэлгэрэнгүй тайлбарласан видеог доор харуулав.

Одны үзүүрийг холбовол таван өнцөгт зурахад хялбар гэдгийг анхаарна уу. Хэрэв яг энгийн таван өнцөгт зурах шаардлагагүй бол та гараар зурсан одны аргыг ашиглаж болно.

Таван өнцөгтийг зурмагц түүний орой бүрээс таван ижил параллель хэрчмийг зурж, оройг нь холбоно. Үр дүн нь таван өнцөгт призм юм.

Хэлбэрийн хэсэг

Одоо таван өнцөгт призмийн талбайг хэрхэн олох талаар бодож үзээрэй. Доорх зураг нь түүний хөгжлийг харуулж байна. Шаардлагатай талбайг хоёр ижил таван өнцөгт, өөр хоорондоо тэнцүү таван тэгш өнцөгт бүрдүүлсэн болохыг харж болно.

Зургийн бүх гадаргуугийн талбайг томъёогоор илэрхийлнэ:

S=2S_o+ 5S_p

Энд o болон p индексүүд нь суурь ба тэгш өнцөгтийг тус тус илэрхийлнэ. Пентагоны хажуугийн уртыг a, зургийн өндрийг h гэж тэмдэглэе. Дараа нь тэгш өнцөгтийн хувьд бид бичнэ:

S_p=ah

Пентагоны талбайг тооцоолохын тулд,бүх нийтийн томъёог ашигла:

S=n/4a²ctg(pi/n)

Энд n нь олон өнцөгтийн талуудын тоо юм. n=5-г орлуулбал:

болно.

S₅=5/4a²ctg(pi/5) ≈ 1, 72a ²

Үйлдвэрлэсэн тэгш байдлын нарийвчлал нь аравтын бутархайн 3 орон бөгөөд энэ нь аливаа асуудлыг шийдвэрлэхэд хангалттай юм.

Одоо суурь болон хажуугийн гадаргуугийн олж авсан талбайн нийлбэрийг олох л үлдлээ. Бидэнд:

S=21, 72a² + 5ah=3, 44a² + 5a h

Үйлдвэрлэсэн томъёо нь зөвхөн тэгш өнцөгт призмд хүчинтэй гэдгийг санах хэрэгтэй. Ташуу дүрсийн хувьд түүний хажуугийн гадаргуугийн талбайг бүх параллелограммуудад перпендикуляр байх ёстой зүсэлтийн периметрийн мэдлэг дээр үндэслэн олно.

Зургийн хэмжээ

Таван өнцөгт призмийн эзэлхүүнийг тооцоолох томъёо нь бусад призм эсвэл цилиндрийн ижил төстэй илэрхийллээс ялгаатай биш юм. Зургийн эзэлхүүн нь түүний өндөр ба суурийн талбайн үржвэртэй тэнцүү байна:

V=S_oh

Хэрэв энэ призм тэгш өнцөгт бол түүний өндөр нь тэгш өнцөгтүүдээс үүссэн ирмэгийн урт юм. Ердийн таван өнцөгтийн талбайг дээр өндөр нарийвчлалтайгаар тооцоолсон. Энэ утгыг эзэлхүүний томъёонд орлуулж энгийн таван өнцөгт призмд шаардлагатай илэрхийлэлийг авна уу:

V=1, 72a²h

Иймээс эзэлхүүн болон гадаргуугийн талбайг тооцоолж байнаСуурийн тал болон зургийн өндрийг мэддэг бол ердийн таван өнцөгт призмийг бий болгох боломжтой.