Гурвалжин нь гурван талтай (гурван булан) олон өнцөгт юм. Ихэнх тохиолдолд талууд нь эсрэг талын оройг илэрхийлдэг том үсгүүдтэй харгалзах жижиг үсгээр тэмдэглэгдсэн байдаг. Энэ өгүүллээр бид гурвалжны өнцгийн нийлбэр хэд болохыг тодорхойлдог теорем болох эдгээр геометрийн дүрсүүдийн төрлүүдтэй танилцах болно.
Өнцөгөөр харах
Гурван оройтой олон өнцөгтийн дараах төрлүүд ялгагдана:
- хурц өнцөгт, бүх булан нь хурц;
- тэгш өнцөгт, нэг тэгш өнцөгтэй, харин түүнийг бүрдүүлж буй талуудыг хөл, зөв өнцгийн эсрэг талд байрлуулсан талыг гипотенуз гэж нэрлэдэг;
- нэг булан нь мохоо байхад мохоо;
- хоёр тал нь тэнцүү байх ба тэдгээрийг хажуу гэж нэрлэдэг ба гурав дахь нь гурвалжны суурь;
- тэнцүү талт, гурвуулаа тэнцүү талтай.
Properties
Тэд гурвалжны төрөл бүрийн онцлог шинж чанаруудыг онцолсон:
- том талын эсрэг талд үргэлж том өнцөг байдаг ба эсрэгээр;
- тэгц хэмжээтэй эсрэг талын талууд нь тэнцүү өнцөгтэй ба эсрэгээр;
- аль ч гурвалжин хоёр хурц өнцөгтэй;
- гадна булан нь зэргэлдээгүй бүх дотоод булангаас том;
- дурын хоёр өнцгийн нийлбэр үргэлж 180 градусаас бага байна;
- гадна булан нь түүнтэй огтлолцдоггүй бусад хоёр булангийн нийлбэртэй тэнцүү байна.
Гурвалжны өнцгийн нийлбэр теорем
Теоремд хэрэв та Евклидийн хавтгайд байрлах өгөгдсөн геометрийн дүрсийн бүх өнцгийг нийлүүлбэл тэдгээрийн нийлбэр нь 180 градус болно гэж заасан. Энэ теоремыг батлах гэж оролдъё.
KMN-ийн оройтой дурын гурвалжинтай болцгооё.
М оройгоор KN шулуунтай параллель шулуун зурна (энэ шугамыг мөн Евклидийн шулуун гэж нэрлэдэг). Бид үүн дээр А цэгийг тэмдэглэж, K ба А цэгүүд MN шулуун шугамын өөр өөр талд байрлана. Бид AMN ба KNM тэнцүү өнцгүүдийг олж авдаг бөгөөд тэдгээр нь дотоод өнцгүүдийн нэгэн адил хөндлөн хэвтэх ба MN зүсэлтээр KN ба MA зэрэгцсэн шулуун шугамуудын хамт үүсдэг. Эндээс M ба H оройнуудад байрлах гурвалжны өнцгүүдийн нийлбэр нь KMA өнцгийн хэмжээтэй тэнцүү байна. Бүх гурван өнцөг нь нийлбэрийг бүрдүүлдэг бөгөөд энэ нь KMA ба MKN өнцгийн нийлбэртэй тэнцүү байна. Эдгээр өнцгүүд нь дотоод нэг талдаа байдаг тулKM зүсэлттэй KN ба MA зэрэгцээ шулуун шугамууд, тэдгээрийн нийлбэр нь 180 градус байна. Теорем батлагдсан.
Үр дагавар
Дээр нотлогдсон теоремоос дараах үр дүн гарна: дурын гурвалжин хоёр хурц өнцөгтэй. Үүнийг батлахын тулд өгөгдсөн геометрийн дүрс зөвхөн нэг хурц өнцөгтэй байна гэж үзье. Мөн аль ч өнцөг нь хурц биш гэж үзэж болно. Энэ тохиолдолд хамгийн багадаа 90 градустай тэнцүү буюу түүнээс дээш хоёр өнцөг байх ёстой. Гэхдээ өнцгүүдийн нийлбэр нь 180 градусаас их байх болно. Гэхдээ энэ нь байж болохгүй, учир нь теоремийн дагуу гурвалжны өнцгийн нийлбэр нь 180 ° - илүү ч багагүй. Үүнийг батлах ёстой байсан.
Гадна булангийн өмч
Гурвалжны гаднах өнцгүүдийн нийлбэр хэд вэ? Энэ асуултад хоёр аргын аль нэгээр хариулж болно. Эхнийх нь орой бүр дээр нэг, өөрөөр хэлбэл гурван өнцгийг авсан өнцгүүдийн нийлбэрийг олох шаардлагатай. Хоёр дахь нь оройн дээрх бүх зургаан өнцгийн нийлбэрийг олох хэрэгтэй гэсэн үг юм. Эхлээд эхний сонголтыг авч үзье. Тэгэхээр гурвалжин зургаан гадна буланг агуулж байна - орой тус бүрдээ хоёр.
Хос бүр босоо байрлалтай тул ижил өнцөгтэй байна:
∟1=∟4, ∟2=∟5, ∟3=∟6.
Түүнээс гадна гурвалжны гадаад өнцөг нь түүнтэй огтлолцдоггүй хоёр дотоод өнцгийн нийлбэртэй тэнцүү гэдгийг мэддэг. Тиймээс
∟1=∟A + ∟C, ∟2=∟A + ∟B, ∟3=∟B + ∟C.
Эндээс харахад гадаад нийлбэрОрой бүр дээр нэгийг авсан булан нь дараахтай тэнцүү байх болно:
∟1 + ∟2 + ∟3=∟A + ∟C + ∟A + ∟B + ∟B + ∟C=2 x (∟A + ∟B + ∟C).
Өнцөгнүүдийн нийлбэр 180 градус гэж үзвэл ∟A + ∟B + ∟C=180° гэж үзэж болно. Энэ нь ∟1 + ∟2 + ∟3=2 x 180°=360° гэсэн үг юм. Хэрэв хоёр дахь сонголтыг ашиглавал зургаан өнцгийн нийлбэр нь хоёр дахин их байх болно. Өөрөөр хэлбэл гурвалжны гадаад өнцгийн нийлбэр нь:
байх болно.
∟1 + ∟2 + ∟3 + ∟4 + ∟5 + ∟6=2 х (∟1 + ∟2 + ∟2)=720°.
Зөв гурвалжин
Тэгш өнцөгт гурвалжны хурц өнцгүүдийн нийлбэр хэд вэ? Гурвалжны өнцгүүдийн нийлбэр нь 180 градус байна гэсэн теоремоос энэ асуултын хариулт дахин гарч ирнэ. Бидний мэдэгдэл (өмч) иймэрхүү сонсогдож байна: тэгш өнцөгт гурвалжинд хурц өнцөг нь 90 градус хүртэл нэмэгддэг. Түүний үнэн зөвийг баталцгаая.
Бидэнд ∟Н=90° байх KMN гурвалжинг өгье. ∟K + ∟M=90° гэдгийг батлах шаардлагатай.
Тэгэхээр өнцгийн нийлбэр теоремын дагуу ∟К + ∟М + ∟Н=180° байна. Бидний нөхцөл ∟Н=90° байна. Тэгэхээр ∟K + ∟M + 90°=180° болж байна. Энэ нь ∟K + ∟M=180° - 90°=90° байна. Үүнийг бид батлах ёстой байсан.
Тэгш өнцөгт гурвалжны дээрх шинж чанаруудаас гадна та дараах зүйлийг нэмж болно:
- хөлний эсрэг байрлах өнцөг нь хурц;
- гипотенуз нь бусад хөлнөөсөө илүү гурвалжин хэлбэртэй;
- хөлүүдийн нийлбэр нь гипотенузаас их;
- хөл30 градусын өнцгийн эсрэг байрлах гурвалжин нь гипотенузын хагас буюу түүний хагастай тэнцүү байна.
Энэ геометрийн дүрсийн өөр нэг шинж чанар болох Пифагорын теоремыг ялгаж болно. Тэрээр 90 градусын өнцөгтэй (тэгш өнцөгт) гурвалжинд хөлний квадратуудын нийлбэр нь гипотенузын квадраттай тэнцүү байна гэж тэр хэлэв.
Адил талт гурвалжны өнцгүүдийн нийлбэр
Түрүүн бид хоёр тэгш өнцөгтийг гурван оройтой, хоёр тэнцүү тал агуулсан олон өнцөгт гэж хэлсэн. Өгөгдсөн геометрийн дүрсийн энэ шинж чанар нь мэдэгдэж байна: түүний суурь дахь өнцөг нь тэнцүү байна. Үүнийг баталцгаая.
KMN гурвалжинг ав, энэ нь ижил өнцөгт, KN нь түүний суурь юм.
Бид ∟К=∟Н гэдгийг батлах шаардлагатай. Тэгэхээр MA нь манай KMN гурвалжны биссектриса гэж бодъё. МСС гурвалжин нь тэгш байдлын эхний тэмдгийг харгалзан үзвэл МСС гурвалжинтай тэнцүү байна. Нөхцөлөөр бол MA нь биссектриса тул KM=NM, MA нийтлэг тал, ∟1=∟2 байна. Эдгээр хоёр гурвалжин тэнцүү байгааг ашиглан ∟K=∟Н гэж хэлж болно. Тэгэхээр теорем батлагдсан болно.
Гэхдээ бид гурвалжны өнцгүүдийн нийлбэр хэд болохыг сонирхож байна. Энэ талаараа энэ нь өөрийн гэсэн онцлог шинж чанартай байдаггүй тул бид өмнө нь авч үзсэн теоремоос эхэлнэ. Өөрөөр хэлбэл, ∟K + ∟M + ∟H=180 °, эсвэл 2 x ∟K + ∟M=180 ° (∟K=∟H-ээс хойш) гэж хэлж болно. Гурвалжны нийлбэр теорем өөрөө өмнө нь батлагдсан тул бид энэ шинж чанарыг нотлохгүй.
Ярилцсанаас бусад тохиолдолдгурвалжны өнцгийн шинж чанаруудаас гадна ийм чухал мэдэгдлүүд байдаг:
- тэгц өнцөгт гурвалжинд суурь руу буулгасан өндөр нь тэнцүү талуудын хоорондох өнцгийн медиан, биссектрис, түүнчлэн суурийн тэгш хэмийн тэнхлэг хоёулаа байна;
- Ийм геометрийн дүрсийн тал руу татсан медианууд (биссектрис, өндөр) тэнцүү байна.
Тэгш талт гурвалжин
Үүнийг бас зөв гэж нэрлэдэг, бүх тал нь тэнцүү гурвалжин юм. Тиймээс өнцөг нь мөн тэнцүү байна. Тус бүр нь 60 градус байна. Энэ өмчийг баталцгаая.
Бидэнд KMN гурвалжин байна гэж бодъё. KM=NM=KN гэдгийг бид мэднэ. Энэ нь ижил өнцөгт гурвалжны суурь дээр байрлах өнцгийн шинж чанарын дагуу ∟К=∟М=∟Н гэсэн үг юм. Теоремын дагуу гурвалжны өнцгийн нийлбэр нь ∟К + ∟М + ∟Н=180°, тэгвэл 3 x ∟К=180° буюу ∟К=60°, ∟М=60°, ∟ байна. Н=60°. Ийнхүү мэдэгдэл нотлогдож байна.
Дээрх теоремд үндэслэсэн нотолгооноос харахад бусад гурвалжны өнцгүүдийн нийлбэртэй адил тэгш талт гурвалжны өнцгийн нийлбэр нь 180 градус байна. Энэ теоремыг дахин батлах шаардлагагүй.
Тэгш талт гурвалжны шинж чанарууд бас байдаг:
Ийм геометрийн дүрс дэх
гэж тооцно.
Нэг өнцөгт гурвалжин
Мохоо гурвалжны тодорхойлолтоор түүний нэг өнцөг нь 90-180 градус байна. Гэхдээ энэ геометрийн дүрсийн бусад хоёр өнцөг нь хурц байна гэж үзвэл тэдгээр нь 90 градусаас хэтрэхгүй гэж дүгнэж болно. Тиймээс гурвалжны өнцгийн нийлбэр теорем нь мохоо гурвалжны өнцгийн нийлбэрийг тооцоолоход ажилладаг. Дээр дурдсан теорем дээр үндэслэн бид мохоо гурвалжны өнцгийн нийлбэр нь 180 градус байна гэж баттай хэлж чадна. Дахин хэлэхэд энэ теоремыг дахин батлах шаардлагагүй.
