Polyhedra нь эртний үед ч математикч, эрдэмтдийн анхаарлыг татдаг байжээ. Египетчүүд пирамидуудыг барьсан. Грекчүүд "ердийн олон талт" -ыг судалжээ. Тэдгээрийг заримдаа Платоны хатуу бодис гэж нэрлэдэг. "Уламжлалт олон талт" нь хавтгай нүүр, шулуун ирмэг, оройн хэсгүүдээс бүрдэнэ. Гэхдээ гол асуулт бол эдгээр салангид хэсгүүд ямар дүрмийг дагаж мөрдөх ёстой, мөн объектыг олон талт гэж үзэхийн тулд дэлхийн ямар нэмэлт нөхцөлийг хангасан байх ёстой вэ гэсэн асуулт байсаар ирсэн. Энэ асуултын хариултыг нийтлэлд өгөх болно.
Тодорхойлолтын асуудал
Энэ тоо юунаас бүрдэх вэ? Полиэдрон бол хавтгай нүүртэй, шулуун ирмэгтэй хаалттай хатуу хэлбэр юм. Тиймээс түүний тодорхойлолтын эхний асуудлыг зургийн талууд гэж нэрлэж болно. Онгоцонд хэвтэж буй бүх царай нь үргэлж олон талт хэлбэрийн шинж тэмдэг биш юм. Жишээ болгон "гурвалжин цилиндр" -ийг авч үзье. Энэ нь юунаас бүрддэг вэ? Түүний гадаргуугийн нэг хэсэг нь гурван хосоорооогтлолцох босоо хавтгайг олон өнцөгт гэж үзэх боломжгүй. Шалтгаан нь ямар ч оройгүй. Ийм дүрсийн гадаргуу нь нэг цэгт нийлдэг гурван цацрагийн үндсэн дээр үүсдэг.
Бас нэг асуудал - онгоц. "Гурвалжин цилиндр" -ийн хувьд энэ нь тэдний хязгааргүй хэсгүүдэд оршдог. Хэрэв олонлогийн аль нэг хоёр цэгийг холбосон шугамын хэсэг мөн дотор нь байвал дүрсийг гүдгэр гэж үзнэ. Тэдний нэг чухал шинж чанарыг танилцуулъя. Гүдгэр олонлогуудын хувьд олонлогт нийтлэг цэгүүдийн олонлог ижил байна. Өөр төрлийн тоо байдаг. Эдгээр нь ховил эсвэл нүхтэй гүдгэр бус 2D олон талт дүрсүүд юм.
Олон талт биш дүрсүүд
Хавтгай цэгүүдийн багц нь өөр байж болох (жишээлбэл, гүдгэр бус) бөгөөд олон талт дүрийн ердийн тодорхойлолтыг хангахгүй. Түүгээр ч гэсэн шугамын хэсгүүдээр хязгаарлагддаг. Гүдгэр олон өнцөгтийн шугамууд нь гүдгэр дүрсүүдээс бүрдэнэ. Гэсэн хэдий ч энэхүү тодорхойлолтод хандах хандлага нь хязгааргүйд хүрэх дүрсийг оруулаагүй болно. Үүний жишээ нь нэг цэг дээр нийлдэггүй гурван цацраг байж болно. Гэхдээ үүнтэй зэрэгцэн тэд өөр дүрсийн оройтой холбогддог. Уламжлал ёсоор полиэдрон нь хавтгай гадаргуугаас бүрдэх нь чухал байв. Гэвч цаг хугацаа өнгөрөхөд энэ үзэл баримтлал өргөжин тэлж, энэ нь олон талтуудын анхны "нарийн" ангиллыг ойлгоход ихээхэн ахиц дэвшил гарахаас гадна шинэ, илүү өргөн хүрээтэй тодорхойлолт гарч ирэв.
Зөв
Дахин нэг тодорхойлолтыг танилцуулъя. Энгийн олон өнцөгт нь нүүр тус бүр нь ижил тэгш өнцөгт хэлбэртэй байдаггүдгэр олон өнцөгт, бүх орой нь "ижил" байна. Энэ нь орой бүр ижил тооны энгийн олон өнцөгттэй байна гэсэн үг юм. Энэ тодорхойлолтыг ашигла. Тиймээс та ердийн таван олон талтыг олох боломжтой.
Олон талтуудын Эйлер теоремын эхний алхамууд
Грекчүүд олон өнцөгтийг мэддэг байсан бөгөөд өнөөдөр үүнийг пентаграм гэж нэрлэдэг. Бүх талууд нь ижил урттай тул энэ олон өнцөгтийг тогтмол гэж нэрлэж болно. Бас нэг чухал тэмдэглэл бий. Дараалсан хоёр талын хоорондох өнцөг үргэлж ижил байна. Гэсэн хэдий ч хавтгайд зурахдаа энэ нь гүдгэр олонлогийг тодорхойлдоггүй бөгөөд олон талт талууд хоорондоо огтлолцдог. Гэсэн хэдий ч энэ нь үргэлж тийм байсангүй. Математикчид "гүдгэр бус" ердийн олон өнцөгтийн санааг эртнээс авч үзсэн. Пентаграм бол тэдний нэг байв. "Одны олон өнцөгт" -ийг бас зөвшөөрсөн. "Ердийн олон талт" -ын хэд хэдэн шинэ жишээ олдсон. Одоо тэдгээрийг Кеплер-Пуинсотын олон талт гэж нэрлэдэг. Хожим нь G. S. M. Coxeter, Branko Grünbaum нар дүрмийг өргөтгөж, бусад "энгийн олон талт" -ыг нээсэн.
Олон талт томьёо
Эдгээр тоонуудыг системтэй судлах нь математикийн түүхэнд харьцангуй эрт эхэлсэн. Леонхард Эйлер гүдгэр 3 хэмжээст олон талтуудад тэдгээрийн орой, нүүр, ирмэгийн тоотой холбоотой томьёо биелдэг болохыг анх анзаарсан.
Тэр ингэж харагдаж байна:
V + F - E=2, энд V нь олон талт оройнуудын тоо, F нь олон талт оройнуудын тоо, E нь нүүрний тоо юм.
Леонхард Эйлер бол Швейцарь хүнбүх цаг үеийн хамгийн агуу, хамгийн үр бүтээлтэй эрдэмтдийн нэг гэж тооцогддог математикч. Тэрээр амьдралынхаа ихэнх хугацаанд хараагүй байсан ч хараагүй болсон нь түүнд улам их бүтээмжтэй болох шалтгаан болсон юм. Түүний нэрээр нэрлэгдсэн хэд хэдэн томьёо байдаг бөгөөд бидний сая үзсэн томъёог заримдаа Эйлерийн олон талт томьёо гэж нэрлэдэг.
Нэг тодруулга байна. Гэхдээ Эйлерийн томъёо нь зөвхөн тодорхой дүрмийг дагаж мөрддөг олон талтуудад л ажилладаг. Маягт нь ямар ч нүхгүй байх ёстой гэж тэд худал хэлдэг. Мөн энэ нь өөрөө хөндлөн гарах нь хүлээн зөвшөөрөгдөхгүй юм. Полиэдрон нь ижил оройтой хоёр шоо гэх мэт хоорондоо холбогдсон хоёр хэсгээс бүрдэх боломжгүй. Эйлер судалгааныхаа үр дүнг 1750 онд Кристиан Голдбахад бичсэн захидалдаа дурджээ. Дараа нь тэрээр шинэ нээлтийнхээ нотлох баримтыг хэрхэн олохыг оролдсон тухайгаа хоёр нийтлэл хэвлүүлсэн. Үнэн хэрэгтээ V + F - E -д өөр хариулт өгөх хэлбэрүүд байдаг. F + V - E=X нийлбэрийн хариултыг Эйлерийн шинж чанар гэж нэрлэдэг. Түүнд өөр нэг тал бий. Зарим дүрс нь сөрөг утгатай Эйлер шинж чанартай байж болно
Графикийн онол
Заримдаа Декарт Эйлерийн теоремыг эрт гаргасан гэж үздэг. Хэдийгээр энэ эрдэмтэн хүссэн томьёо гаргаж авах боломжтой гурван хэмжээст олон талтуудын тухай баримтуудыг олж мэдсэн ч энэ нэмэлт алхамыг хийгээгүй. Өнөөдөр Эйлер графын онолын "эцэг" гэж тооцогддог. Тэрээр өөрийн санаагаа ашиглан Конигсбергийн гүүрний асуудлыг шийдсэн. Гэвч эрдэмтэн олон өнцөгтийг контекстээр нь хараагүйграфикийн онол. Эйлер олон өнцөгтийг энгийн хэсгүүдэд задлахад үндэслэсэн томъёоны баталгааг өгөхийг оролдсон. Энэхүү оролдлого нь нотлох орчин үеийн стандартад нийцэхгүй байна. Хэдийгээр Эйлер томъёоныхоо анхны зөв үндэслэлийг өгөөгүй ч хийгээгүй таамаглалыг баталж чадахгүй. Гэсэн хэдий ч хожим батлагдсан үр дүн нь Эйлерийн теоремыг одоогийн байдлаар ашиглах боломжтой болгож байна. Эхний нотолгоог математикч Адриан Мари Лежендре олж авсан.
Эйлерийн томьёоны баталгаа
Эйлер эхлээд олон талт томьёог олон талтуудын теорем болгон томьёолсон. Өнөөдөр үүнийг ихэвчлэн холбогдсон графикуудын ерөнхий контекстоор авч үздэг. Жишээлбэл, нэг хэсэгт байрлах цэгүүд ба тэдгээрийг холбосон шугамын хэсгүүдээс бүрдэх бүтэц. Энэ чухал холбоог олж мэдсэн анхны хүн бол Августин Луис Коши юм. Энэ нь Эйлерийн теоремын баталгаа болсон. Тэрээр мөн чанартаа гүдгэр олон өнцөгтийн график (эсвэл өнөөдөр ийм гэж нэрлэдэг) топологийн хувьд бөмбөрцөгт гомеоморф хэлбэртэй, хавтгай холбогдсон графиктай болохыг анзаарсан. Энэ юу вэ? Хавтгай граф гэдэг нь хавтгайд ирмэгүүд нь зөвхөн орой дээр нийлэх буюу огтлолцох байдлаар зурсан график юм. Эндээс Эйлерийн теорем болон график хоорондын холбоо олдсон.
Үр дүнгийн ач холбогдлын нэг илрэл бол Дэвид Эпштейн арван долоон өөр нотлох баримт цуглуулж чадсан явдал юм. Эйлерийн олон талт томьёог зөвтгөх олон арга бий. Нэг ёсондоо хамгийн тод нотолгоо бол математикийн индукцийг ашигладаг аргууд юм. Үр дүн нь нотлогдож болнографикийн ирмэг, нүүр эсвэл оройн аль алиных нь тооны дагуу зурах.
Радемахер, Тоеплиц нарын нотолгоо
Ялангуяа сэтгэл татам зүйл бол Вон Штаудын арга барилд үндэслэсэн Радемахер, Тоеплиц нарын дараах нотолгоо юм. Эйлерийн теоремыг зөвтгөхийн тулд G нь хавтгайд суулгагдсан холбогдсон график гэж бодъё. Хэрэв энэ нь схемтэй бол холбогдсон хэвээр байх өмчийг хадгалах үүднээс тус бүрээс нэг ирмэгийг хасах боломжтой. Холбогдсон график руу хаахгүйгээр очихын тулд хасагдсан хэсгүүд болон төгсгөлгүй ирмэг биш хэсгүүдийн хооронд нэг нэгээр нь захидал харилцаа байдаг. Энэхүү судалгаа нь Эйлерийн шинж чанар гэж нэрлэгддэг "баримтлагдсан гадаргууг" ангилахад хүргэсэн.
Жорданы муруй. Теорем
Графикийн Эйлер теоремын олон талт томьёог нотлоход шууд болон шууд бусаар ашигласан үндсэн диссертаци нь Жорданы муруйгаас хамаарна. Энэ санаа нь ерөнхий ойлголттой холбоотой юм. Ямар ч энгийн битүү муруй нь онгоцыг гурван багц болгон хуваадаг: дээрх цэгүүд, дотор болон гадна талд. 19-р зуунд Эйлерийн олон талт томъёог сонирхож эхэлснээр үүнийг ерөнхийд нь илэрхийлэх оролдлого олон удаа гарчээ. Энэхүү судалгаа нь алгебрийн топологийг хөгжүүлэх үндэс суурийг тавьж, алгебр болон тооны онолтой холбосон.
Моебиус бүлэг
Удалгүй зарим гадаргууг дэлхийн хэмжээнд биш, зөвхөн орон нутгийн хэмжээнд тогтвортой байдлаар "баримтлуулах" боломжтой болохыг олж мэдсэн. Алдарт Мобиус бүлэг үүний жишээ болж байнагадаргуу. Үүнийг Иоганн Листинг арай эрт нээсэн. Энэ ухагдахуун нь графикийн төрөл зүйлийн тухай ойлголтыг агуулдаг: хамгийн бага тооны тодорхойлогч g. Энэ нь бөмбөрцгийн гадаргуу дээр нэмэгдэх ёстой бөгөөд ирмэгүүд нь зөвхөн оройн хэсгүүдэд нийлдэг байдлаар сунгасан гадаргуу дээр суулгаж болно. Евклидийн орон зай дахь ямар ч чиглэгдэх гадаргууг тодорхой тооны бариултай бөмбөрцөг гэж үзэж болох нь харагдаж байна.
Эйлер диаграм
Эрдэмтэн өөр нэг нээлт хийсэн нь өнөөг хүртэл ашиглагдаж байна. Энэхүү Эйлер диаграм гэж нэрлэгддэг тойрог нь ихэвчлэн багц эсвэл бүлгүүдийн хоорондын харилцааг харуулахад ашиглагддаг тойргийн график дүрслэл юм. Графикууд нь ихэвчлэн тойрог давхцаж буй хэсгүүдэд холилдсон өнгийг агуулдаг. Багцуудыг яг тойрог эсвэл зууван хэлбэрээр дүрсэлсэн байдаг ч бусад дүрсийг ашиглаж болно. Оруулсан хэсгийг Эйлерийн тойрог гэж нэрлэдэг эллипсийн давхцлаар илэрхийлнэ.
Тэд олонлог болон дэд олонлогуудыг төлөөлдөг. Үл хамаарах зүйл бол давхцаагүй тойрог юм. Эйлер диаграммууд нь бусад график дүрслэлүүдтэй нягт холбоотой байдаг. Тэд ихэвчлэн андуурдаг. Энэхүү график дүрслэлийг Венн диаграм гэж нэрлэдэг. Тухайн багцаас хамааран хоёр хувилбар нь адилхан харагдаж болно. Гэсэн хэдий ч Венн диаграммд давхцаж буй тойрог нь олонлогуудын нийтлэг байдлыг заадаггүй бөгөөд хэрэв тэдгээрийн шошго дотор байхгүй бол зөвхөн логик хамаарлыг харуулдаг.огтлолцох тойрог. Энэ хоёр хувилбарыг 1960-аад оны математикийн шинэ хөдөлгөөний нэг хэсэг болгон багцын онолыг заахад ашигласан.
Фермат ба Эйлерийн теорем
Эйлер математикийн шинжлэх ухаанд мэдэгдэхүйц ул мөр үлдээсэн. Түүний нэрэмжит теоремоор алгебрийн тооны онолыг баяжуулсан. Энэ нь бас нэг чухал нээлтийн үр дагавар юм. Энэ бол ерөнхий алгебрийн Лагранж теорем гэж нэрлэгддэг зүйл юм. Эйлерийн нэр мөн Фермагийн жижиг теоремтой холбоотой. Хэрэв p нь анхны тоо, а нь p-д хуваагддаггүй бүхэл тоо бол:
ap-1 - 1 нь х-д хуваагдана.
Заримдаа ижил нээлт өөр нэртэй байдаг нь ихэвчлэн гадаадын уран зохиолд байдаг. Фермагийн Христийн Мэндэлсний Баярын теорем шиг сонсогдож байна. Гол нь энэ нээлт 1640 оны 12-р сарын 25-ны өмнөхөн илгээсэн эрдэмтний захидлын ачаар тодорхой болсон явдал юм. Гэхдээ мэдэгдэл нь өөрөө өмнө нь тулгарч байсан. Үүнийг Альберт Жирард хэмээх өөр эрдэмтэн ашигласан. Фермат зөвхөн онолоо батлах гэж оролдсон. Хязгааргүй удмын аргаас санаа авсан гэж зохиолч өөр нэгэн захидалдаа дурджээ. Гэвч тэрээр ямар ч нотлох баримт ирүүлээгүй. Хожим нь Эйдер ч мөн адил арга руу шилжсэн. Түүний дараа - Лагранж, Гаусс, Минкоски зэрэг бусад олон алдартай эрдэмтэд.
Таниулахын онцлог
Фермагийн жижиг теоремыг Эйлерээс үүдэлтэй тооны онолын теоремын онцгой тохиолдол гэж бас нэрлэдэг. Энэ онолд Эйлерийн таних функц нь өгөгдсөн n бүхэл тоо хүртэлх эерэг бүхэл тоог тоолдог. Тэд хувьдаа давуу талтайn. Тооны онол дахь Эйлерийн теорем нь Грекийн φ үсгээр бичигдсэн бөгөөд φ(n) шиг харагдаж байна. Үүнийг 1 ≦ k ≦ n муж дахь хамгийн их нийтлэг хуваагч gcd(n, k) нь 1 байх бүхэл тооны k тоо гэж илүү албан ёсоор тодорхойлж болно. φ(n) тэмдэглэгээг Эйлерийн phi функц гэж нэрлэж болно. Энэ хэлбэрийн k бүхэл тоог заримдаа нийлбэр гэж нэрлэдэг. Тооны онолын гол цөмд Эйлерийн адилтгалын функц нь үржүүлэх шинж чанартай бөгөөд хэрэв m ба n хоёр тоо хос анхны тоо бол φ(mn)=φ(m)φ(n) болно гэсэн үг. Энэ нь мөн RSA шифрлэлтийн системийг тодорхойлоход чухал үүрэг гүйцэтгэдэг.
Эйлер функцийг 1763 онд нэвтрүүлсэн. Гэвч тухайн үед математикч түүнд зориулж ямар нэг тусгай тэмдэг сонгоогүй. 1784 оны хэвлэлд Эйлер энэ функцийг илүү нарийвчлан судалж, Грек үсгийг төлөөлөхийн тулд π үсгийг сонгосон. Жеймс Силвестер энэ онцлогт зориулж "нийт" гэсэн нэр томъёог бий болгосон. Тиймээс үүнийг Эйлерийн нийлбэр гэж бас нэрлэдэг. 1-ээс их эерэг бүхэл тооны n-ийн нийт φ(n) нь n-ээс бага эерэг бүхэл тоонуудын тоо бөгөөд n хүртэл харьцангуй анхдагч байна.φ(1)-ийг 1 гэж тодорхойлно. Эйлер функц буюу phi(φ) функц нь маш чухал тоо онолын хувьд анхны тоо болон бүхэл тооны дараалал гэгдэх зүйлтэй гүнзгий холбоотой функц юм.
