Штайнерын теорем буюу инерцийн моментыг тооцоолох параллель тэнхлэгийн теорем

2024 Зохиолч: Angel Austin | [email protected]. Хамгийн сүүлд өөрчлөгдсөн: 2023-12-17 05:36

Эргэлтийн хөдөлгөөний математик тайлбарт тэнхлэгийг тойрсон системийн инерцийн моментийг мэдэх нь чухал. Ерөнхийдөө энэ хэмжигдэхүүнийг олох журам нь интеграцийн үйл явцыг хэрэгжүүлэх явдал юм. Штайнерийн теорем гэж нэрлэгддэг теорем нь тооцоолоход хялбар болгодог. Үүнийг нийтлэлд илүү дэлгэрэнгүй авч үзье.

Инерцийн момент гэж юу вэ?

Штайнерын теоремийн томьёоллыг өгөхийн өмнө инерцийн моментийн тухай ойлголтыг авч үзэх шаардлагатай. Тодорхой масстай, дур зоргоороо хэлбэртэй бие байна гэж бодъё. Энэ бие нь материаллаг цэг эсвэл хоёр хэмжээст эсвэл гурван хэмжээст объект (саваа, цилиндр, бөмбөг гэх мэт) байж болно. Хэрэв тухайн объект α тогтмол өнцгийн хурдатгалтай зарим тэнхлэгийн эргэн тойронд дугуй хөдөлгөөн хийвэл дараах тэгшитгэлийг бичиж болно:

M=Iα

Энд M утга нь хүчний нийт моментийг илэрхийлдэг бөгөөд энэ нь бүхэл системд α хурдатгал өгдөг. Тэдний хоорондын пропорциональ байдлын коэффициент - I гэж нэрлэдэгинерцийн момент. Энэ физик хэмжигдэхүүнийг дараах ерөнхий томъёогоор тооцоолно:

I=∫_m (r²dm)

Энд r нь dm масстай элемент ба эргэлтийн тэнхлэг хоорондын зай юм. Энэ илэрхийлэл нь квадрат зайн r² ба энгийн масс dm-ийн үржвэрийн нийлбэрийг олох шаардлагатай гэсэн үг юм. Өөрөөр хэлбэл, инерцийн момент нь биеийн цэвэр шинж чанар биш бөгөөд энэ нь түүнийг шугаман инерциас ялгадаг. Энэ нь эргэлдэж буй объектын нийт массын тархалт, түүнчлэн тэнхлэг хүртэлх зай, түүнтэй харьцуулахад биеийн чиг баримжаа зэргээс хамаарна. Жишээлбэл, саваа нь массын төв болон төгсгөлийн эргэн тойронд эргэвэл өөр I-тэй болно.

Инерцийн момент ба Штайнерын теорем

Швейцарийн алдарт математикч Якоб Штайнер параллель тэнхлэг ба инерцийн моментийн тухай теоремыг нотолсон бөгөөд одоо түүний нэрийг авчээ. Энэ теорем нь ямар нэгэн эргэлтийн тэнхлэгтэй харьцуулахад дурын геометрийн хатуу биетийн инерцийн момент нь биеийн массын төвийг огтолж буй тэнхлэгийн инерцийн моментийн нийлбэртэй тэнцүү бөгөөд эхнийхтэй параллель байна гэж үздэг., мөн биеийн массын үржвэр нь эдгээр тэнхлэгүүдийн хоорондох зайны квадратыг үржүүлсэн байна. Математикийн хувьд энэ томъёог дараах байдлаар бичсэн:

I_Z=I_O + ml²

I_Z ба I_O - Z тэнхлэг ба түүнтэй параллель О тэнхлэгийг дайран өнгөрөх инерцийн моментууд биеийн массын төвөөр дамжин l - Z ба O шугамын хоорондох зай.

Теорем нь I_O-ийн утгыг мэдэж, тооцоолох боломжийг олгодог.өөр ямар ч мөчид I_Z О-той параллель тэнхлэгийн эргэн тойронд.

Теоремын баталгаа

Штайнерын теоремын томьёог өөрөө амархан олж болно. Үүнийг хийхийн тулд xy хавтгай дээрх дурын биеийг авч үзье. Координатын гарал үүсэл нь энэ биеийн массын төвөөр дамждаг. Xy хавтгайд перпендикуляр эхийг дайран өнгөрөх I_O инерцийн моментийг тооцоолъё. Биеийн аль ч цэг хүртэлх зайг r=√ (x² + y²) томъёогоор илэрхийлдэг тул интегралыг авна.

I_O=∫_m (r²dm)=∫ м _((x2^+y2^{) дм)}

Одоо тэнхлэгээ х тэнхлэгийн дагуу l зайд, жишээлбэл, эерэг чиглэлд шилжүүлье, тэгвэл инерцийн моментийн шинэ тэнхлэгийн тооцоо дараах байдалтай болно:

I_Z=∫_m(((x+l)²+y ²)dm)

Бүтэн квадратыг хаалтанд дэлгэж, интегралыг хуваавал:

I_Z=∫_м ((x²+l ²+2xl+y²)дм)=∫_m ((x² +y²)дм) + 2l∫_m (xdm) + l ²∫_mdm

Эдгээр нэр томъёоны эхнийх нь утга I_O, гурав дахь гишүүн нь интеграцчилсны дараа l²m гэсэн нэр томъёог өгнө., энд хоёр дахь гишүүн нь тэг байна. Заасан интегралыг тэглэх нь x ба dm массын элементүүдийн үржвэрээс авсантай холбоотой. Дундаж нь тэгийг өгдөг, учир нь массын төв нь эхлэл дээр байдаг. Үүний үр дүнд Штайнерын теоремын томьёо гарна.

Хавтгай дээрх авч үзсэн тохиолдлыг гурван хэмжээст биед ерөнхийд нь авч үзэж болно.

Савааны жишээн дээр Стейнерийн томьёог шалгаж байна

Дээрх теоремыг хэрхэн ашиглахыг харуулах энгийн жишээ татъя.

Л урттай ба m масстай савааны хувьд инерцийн момент I_O (тэнхлэг нь массын төвөөр дамжин өнгөрдөг) m-тэй тэнцүү байдаг нь мэдэгдэж байна. L² /12 ба I_Z (тэнхлэг нь бариулын төгсгөлийг дайран өнгөрөх) мөч нь mL-тэй тэнцүү байна. 2^{/3. Штайнерын теоремыг ашиглан энэ өгөгдлийг шалгая. Хоёр тэнхлэгийн хоорондох зай нь L/2 тул I}Z_: мөчийг авна.

I_Z=I_O+ m(L/2)²=mL²/12 + mL²/4=4mL² /12=mL²/3

Бид Штайнерийн томьёог шалгаад I_Z-д эх сурвалжтай ижил утгыг авсан.

Ижил тооцоог бусад биетүүд (цилиндр, бөмбөг, диск) дээр хийж, инерцийн шаардлагатай моментуудыг олж авахын зэрэгцээ интеграл хийхгүйгээр хийж болно.

Инерцийн момент ба перпендикуляр тэнхлэг

Үзэж буй теорем нь параллель тэнхлэгт хамаарна. Мэдээллийг бүрэн дүүрэн байлгахын тулд перпендикуляр тэнхлэгүүдийн теоремыг өгөх нь зүйтэй. Үүнийг дараах байдлаар томъёолсон болно: дурын хэлбэртэй хавтгай объектын хувьд перпендикуляр тэнхлэгт хамаарах инерцийн момент нь харилцан перпендикуляр ба хэвтэх хоёр орчим инерцийн хоёр моментийн нийлбэртэй тэнцүү байна.тэнхлэгийн объектын хавтгайд гурван тэнхлэг нь ижил цэгээр дамжин өнгөрдөг. Математикийн хувьд үүнийг дараах байдлаар бичнэ:

I_z=I_x + I_y

Энд z, x, y нь харилцан перпендикуляр гурван эргэлтийн тэнхлэг юм.

Энэ теорем болон Штайнерын теоремын үндсэн ялгаа нь зөвхөн хавтгай (хоёр хэмжээст) хатуу биетүүдэд хамаарах явдал юм. Гэсэн хэдий ч практикт үүнийг өргөнөөр ашигладаг бөгөөд биеийг бие махбодийг салангид давхарга болгон хувааж, дараа нь олж авсан инерцийн моментуудыг нэмдэг.