Хамгийн энгийн тригонометрийн функц y=Sin(x) өгөгдсөн бөгөөд энэ нь бүх тодорхойлолтын мужаас цэг бүрээр ялгагдах боломжтой. Аливаа аргументийн синусын дериватив нь ижил өнцгийн косинустай тэнцүү гэдгийг батлах шаардлагатай, өөрөөр хэлбэл y'=Cos(x).
Баталгаа нь функцийн деривативын тодорхойлолт дээр үндэслэсэн болно
Тодорхой цэгийн x0 жижиг хөрш Δx-д x (дурын) тохируулна. Өгөгдсөн функцийн өсөлтийг олохын тулд түүний болон х цэг дээрх функцийн утгыг харуулъя. Хэрэв Δх нь аргументийн өсөлт бол шинэ аргумент нь x0+Δx=x, y(x) аргументын өгөгдсөн утгын хувьд энэ функцийн утга нь Sin(х) болно. 0 +Δx), тодорхой y цэг дэх функцын утга(x0) мөн мэдэгдэж байна.
Одоо бидэнд Δу=Sin(х0+Δх)-Sin(х0) нь функцийн үр дүнгийн өсөлт юм..
Тэнцшгүй хоёр өнцгийн нийлбэрийн синусын томьёоны дагуу Δу ялгааг хувиргана.
Δy=Нүгэл(x0) Cos(Δx)+Cos(x0) Нүгэл (Δx) хасах нүгэл (x 0)=(Cos(Δx)-1) Нүгэл(x0)+Cos(x0 ) Нүгэл(Δх).
Өөрчлөлт хийсэнЭхнийх нь гурав дахь Sin(x0)-тай бүлэглэгдсэн нэр томьёо, нийтлэг хүчин зүйл болох синусыг хаалтнаас гарга. Бид илэрхийлэлд Cos(Δх)-1-ийн ялгааг авсан. Энэ нь хаалтны өмнө болон хаалтанд байгаа тэмдгийг өөрчлөх хэвээр байна. 1-Cos(Δх) нь хэдтэй тэнцүү болохыг мэдээд бид орлуулалт хийж, хялбаршуулсан Δу илэрхийллийг авах бөгөөд үүнийг Δх-д хуваана.
Δу/Δх нь: Cos(х) 0 ) Нүгэл(Δх)/Δх-2 Нүгэл2(0, 5 Δх) Нүгэл(х0) /Δх. Энэ нь функцын өсөлтийг зөвшөөрөгдсөн аргументын өсөлттэй харьцуулсан харьцаа юм.
Тэг рүү чиглэсэн Δх үед бидний олж авсан хязгаарын хязгаарыг олоход л үлдлээ.
Энэ нөхцөлд Sin(Δх)/Δx хязгаар 1-тэй тэнцүү байх нь мэдэгдэж байна. Үр дүнгийн коэффициент дэх 2 Sin2(0, 5 Δх)/Δх илэрхийлэл нь үржүүлэгчийн хувьд эхний гайхалтай хязгаарыг агуулсан бүтээгдэхүүн рүү хувиргах замаар нэгтгэгдэнэ: бид тоологчийг хуваана. ба бутархайн хуваагч 2, квадрат нь синусыг үржвэрээр солино. Үүнтэй адил:
(Sin(0, 5 Δx)/(0, 5 Δx)) Sin(Δx/2).
Δx тэг рүү чиглэдэг тул энэ илэрхийллийн хязгаар нь тэгтэй тэнцүү байх болно. (1 дахин 0). Δy/Δх харьцааны хязгаар нь Cos(х0) 1-0-тэй тэнцүү байна, энэ нь Cos(х0 байна.), Δx-ийн 0-д чиглэхээс хамаарахгүй илэрхийлэл. Эндээс дүгнэлт гарна: дурын х өнцгийн синусын дериватив нь косинус х-тэй тэнцүү тул бид үүнийг ингэж бичнэ: y'=Cos(x).
Үүссэн томьёо нь бүх үндсэн функцүүдийг цуглуулсан деривативуудын алдартай хүснэгтэнд жагсаагдсан болно
Синусын дериватив тохиолдох асуудлыг шийдвэрлэхдээ хүснэгтээс ялгах дүрэм болон бэлэн томьёог ашиглаж болно. Жишээ нь: y=3·Sin(x)-15 хамгийн энгийн функцийн уламжлалыг ол. Үүсмэлийн тэмдгээс тоон коэффициентийг авч, тогтмол тооны деривативыг (тэгтэй тэнцүү) тооцоолохдоо ялгах энгийн дүрмийг ашиглая. Бид Cos (x) -тэй тэнцүү x өнцгийн синусын деривативын хүснэгтийн утгыг хэрэглэнэ. Бид хариултыг авна: y'=3·Cos(x)-O. Энэ дериватив нь мөн y=3 Cos(x) үндсэн функц юм.
Аливаа аргументийн синус квадратын дериватив
Энэ илэрхийллийг (Sin2(x))' тооцоолохдоо нийлмэл функц хэрхэн ялгагддагийг санах хэрэгтэй. Тэгэхээр y=Sin2(x) нь синусын квадрат тул чадлын функц юм. Үүний аргумент нь мөн тригонометрийн функц, комплекс аргумент юм. Энэ тохиолдолд үр дүн нь үржвэртэй тэнцүү бөгөөд эхний хүчин зүйл нь өгөгдсөн комплекс аргументийн квадратын дериватив, хоёр дахь нь синусын дериватив юм. Функцийг функцээс ялгах дүрэм дараах байдалтай байна: (u(v(x)))' тэнцүү (u(v(x)))'·(v(x))'. v(x) илэрхийлэл нь нийлмэл аргумент (дотоод функц) юм. Хэрэв "y нь синусын квадрат х-тэй тэнцүү" функц өгөгдсөн бол энэ нийлмэл функцийн дериватив нь y'=2·Sin(x)·Cos(x) болно. Үржвэрт эхний хоёр дахин нэмэгдсэн хүчин зүйл нь мэдэгдэж буй чадлын функцийн дериватив бөгөөд Cos(x) нь синусын дериватив буюу комплекс квадрат функцийн аргумент юм. Эцсийн үр дүнг хөрвүүлэх боломжтой,давхар өнцгийн синусын тригонометрийн томъёог ашиглан. Хариулт: дериватив нь Sin(2 x). Энэ томъёог санахад хялбар бөгөөд ихэвчлэн хүснэгтийн томьёо болгон ашигладаг.
