Бид бүгд сургуульдаа алгебрийн ангид арифметик квадрат язгуур судалдаг байсан. Мэдлэг шинэчлэгдэхгүй бол үндэстэй адил хурдан мартагддаг. Энэ нийтлэл нь 9, 10, 11-р ангид үндэстэй ажилладаг тул энэ чиглэлээр мэдлэгээ сэргээх хүсэлтэй наймдугаар ангийн сурагчид болон бусад сургуулийн хүүхдүүдэд хэрэгтэй болно.
Үндэс ба зэрэглэлийн түүх
Эрт дээр үед, тэр дундаа эртний Египтэд ч гэсэн тоон дээр үйлдлүүдийг гүйцэтгэхийн тулд хүмүүст градус хэрэгтэй байсан. Ийм ойлголт байхгүй үед египетчүүд ижил тооны үржвэрийг хорин удаа бичжээ. Гэвч удалгүй асуудлыг шийдэх гарцыг зохион бүтээжээ - энэ тоог өөрөө хэдэн удаа үржүүлэх ёстойг баруун дээд буланд нь бичиж эхэлсэн бөгөөд энэ бичлэгийн хэлбэр өнөөг хүртэл хадгалагдан үлджээ.
Мөн дөрвөлжин язгуурын түүх 500 орчим жилийн өмнөөс эхэлсэн. Үүнийг янз бүрийн аргаар тодорхойлсон бөгөөд зөвхөн XVII зуунд Рене Декарт ийм тэмдгийг нэвтрүүлсэн бөгөөд бид өнөөг хүртэл ашигладаг.
Квадрат язгуур гэж юу вэ
Квадрат язгуур гэж юу болохыг тайлбарлаж эхэлцгээе. Зарим c тооны квадрат язгуур нь сөрөг бус тоо бөгөөд квадрат нь c-тэй тэнцүү болно. Энэ тохиолдолд c нь тэгээс их буюу тэнцүү байна.
Үндэс доогуур оруулахын тулд бид дөрвөлжин язгуур тэмдэглэгээг тавина:
32=9, 3=√9
Мөн бид сөрөг тооны квадрат язгуурын утгыг авч чадахгүй, учир нь квадрат дахь аль ч тоо эерэг, өөрөөр хэлбэл:
c2 ≧ 0, хэрэв √c сөрөг тоо бол c2 < 0 - дүрмийн эсрэг.
Квадрат язгуурыг хурдан тооцоолохын тулд та тооны квадратуудын хүснэгтийг мэдэх хэрэгтэй.
Properties
Квадрат язгуурын алгебрийн шинж чанарыг авч үзье.
1) Бүтээгдэхүүний квадрат язгуурыг гаргахын тулд хүчин зүйл бүрийн үндсийг авах хэрэгтэй. Өөрөөр хэлбэл, хүчин зүйлийн язгуурын үржвэр гэж бичиж болно:
√ac=√a × √c, жишээ нь:
√36=√4 × √9
2) Бутархайгаас үндсийг гаргаж авахдаа язгуурыг тоологч болон хуваагчаас тусад нь ялгаж авах шаардлагатай, өөрөөр хэлбэл язгуурын хэсэг болгон бичнэ.
3) Тооны квадрат язгуурыг авснаар олох утга нь үргэлж энэ тооны модультай тэнцүү байна, учир нь модуль нь зөвхөн эерэг байж болно:
√с2=∣с∣, ∣с∣ > 0.
4) Аливаа хүчинд үндсийг өсгөхийн тулд бид түүн рүү өргөдөградикал илэрхийлэл:
(√с)4=√с4, жишээ нь:
(√2)6 =√26=√64=8
5) c-ийн арифметик язгуурын квадрат нь энэ тоотой тэнцүү байна:
(√s)2=с.
Иррационал тооны үндэс
Арван зургаагийн үндэс амархан гэж бодъё, гэхдээ 7, 10, 11 гэх мэт тооны язгуурыг яаж авах вэ?
Үндэс нь хязгааргүй үе бус бутархай тоог иррациональ гэнэ. Түүнээс бид дангаараа үндсийг нь гаргаж чадахгүй. Бид үүнийг зөвхөн бусад тоонуудтай харьцуулж болно. Жишээлбэл, 5-ын үндсийг аваад √4 ба √9-тэй харьцуул. √4 < √5 < √9, дараа нь 2 < √5 < 3. Энэ нь тавын язгуурын утга хоёроос гуравны хооронд байгаа боловч тэдгээрийн хооронд аравтын бутархай маш олон байгаа гэсэн үг юм. тус бүрийг сонгох нь үндсийг олох эргэлзээтэй арга юм.
Та энэ үйлдлийг тооны машин дээр хийж болно - энэ бол хамгийн хялбар бөгөөд хурдан арга боловч 8-р ангид арифметик квадрат язгуураас иррационал тоог гаргаж авах шаардлагагүй болно. Та зөвхөн хоёрын үндэс ба гурвын үндэсийн ойролцоо утгыг санах хэрэгтэй:
√2 ≈ 1, 4, √3 ≈ 1, 7.
Жишээ
Одоо квадрат язгуурын шинж чанарууд дээр үндэслэн бид хэд хэдэн жишээг шийдэх болно:
1) √172 - 82
Квадратуудын зөрүүний томъёог санаарай:
√(17-8) (17+8)=√9 ×25
Бид квадрат арифметик язгуурын шинж чанарыг мэддэг - бүтээгдэхүүнээс үндсийг гаргаж авахын тулд та үүнийг хүчин зүйл бүрээс гаргаж авах хэрэгтэй:
√9 × √25=3 × 5=15
2) √3 (2√3 + √12)=2 (√3)2 + √36
Үндэсний өөр шинж чанарыг ашиглах - тооны арифметик язгуурын квадрат нь энэ тоотой тэнцүү байна:
2 × 3 + 6=12
Чухал! Сурагчид арифметик квадрат язгуураар ажиллаж, жишээ шийдэж эхлэхдээ ихэвчлэн дараах алдаа гаргадаг:
√12 + 3=√12 + √3 - чи үүнийг хийж чадахгүй!
Бид нэр томьёо болгоны үндсийг авч чадахгүй. Ийм дүрэм байхгүй ч хүчин зүйл бүрийн үндсийг нь авах гэж эндүүрдэг. Хэрэв бидэнд ийм оруулга байсан бол:
√12 × 3, тэгвэл √12 × 3=√12 × √3 гэж бичих нь зөв байх.
Тиймээс бид зөвхөн бичих боломжтой:
√12 + 3=√15
