Хувьсагч гэж юу вэ? Математикийн хувьсагч

2024 Зохиолч: Angel Austin | [email protected]. Хамгийн сүүлд өөрчлөгдсөн: 2024-01-02 17:52

Математикийн хувьд хувьсагчийн ач холбогдол асар их, учир нь түүний оршин тогтнох хугацаанд эрдэмтэд энэ чиглэлээр олон нээлт хийж чадсан бөгөөд энэ эсвэл өөр теоремыг товч бөгөөд тодорхой илэрхийлэхийн тулд хувьсагчдыг ашиглан харгалзах томьёог бичдэг.. Жишээлбэл, тэгш өнцөгт гурвалжин дээрх Пифагорын теорем: a² =b² + c^{2. Асуудлыг шийдэх бүрт хэрхэн бичих вэ: Пифагорын теоремын дагуу гипотенузын квадрат нь хөлний квадратуудын нийлбэртэй тэнцүү байна - бид үүнийг томъёогоор бичээд бүх зүйл шууд тодорхой болно.}

Тиймээс энэ нийтлэлд хувьсагч гэж юу болох, тэдгээрийн төрөл, шинж чанарыг авч үзэх болно. Мөн тэгш бус байдал, томьёо, систем, тэдгээрийн шийдлийн алгоритм зэрэг янз бүрийн математик илэрхийллийг авч үзнэ.

Хувьсагчийн ойлголт

Юуны өмнө хувьсагч гэж юу вэ? Энэ нь олон утгыг авч болох тоон утга юм. Энэ нь тогтмол байж болохгүй, учир нь янз бүрийн асуудал, тэгшитгэлд тохиромжтой байхын тулд бид шийдлүүдийг ашигладагхувьсагч өөр өөр тоо, өөрөөр хэлбэл, z нь авсан хэмжигдэхүүн бүрийн ерөнхий тэмдэглэгээ юм. Тэдгээрийг ихэвчлэн латин эсвэл грек цагаан толгойн үсгээр (x, y, a, b гэх мэт) тэмдэглэдэг.

Янз бүрийн төрлийн хувьсагч байдаг. Тэд зарим физик хэмжигдэхүүнүүдийг хоёуланг нь тохируулдаг - зам (S), цаг (t), тэгшитгэл, функц болон бусад илэрхийлэлд үл мэдэгдэх утгууд.

Жишээ нь: S=Vt томъёо байдаг. Энд хувьсагч нь бодит ертөнцтэй холбоотой тодорхой хэмжигдэхүүнийг илэрхийлдэг - зам, хурд, цаг хугацаа.

Мөн 3x - 16=12x гэсэн хэлбэрийн тэгшитгэл байна. Энд x-г аль хэдийн хийсвэр тоо болгон авсан бөгөөд энэ тэмдэглэгээнд утга учиртай болно.

Хэмжээний төрөл

Хэмжээ гэдэг нь тодорхой объект, бодис, үзэгдлийн шинж чанарыг илэрхийлсэн зүйлийг хэлнэ. Жишээлбэл, агаарын температур, амьтны жин, таблет дахь витамины хувь - эдгээр нь тоон утгыг тооцоолох боломжтой тоо хэмжээ юм.

Хэмжигдэхүүн бүр өөрийн гэсэн хэмжих нэгжтэй бөгөөд тэдгээр нь нийлээд системийг бүрдүүлдэг. Үүнийг тооллын систем (SI) гэж нэрлэдэг.

Хувьсагч ба тогтмол гэж юу вэ? Тэдгээрийг тодорхой жишээн дээр авч үзье.

Тэгш шулуун хөдөлгөөнийг авч үзье. Сансар огторгуйн цэг цаг бүрт ижил хурдтайгаар хөдөлдөг. Энэ нь цаг хугацаа, зай өөрчлөгддөг боловч хурд нь ижил хэвээр байна. Энэ жишээнд цаг болон зай нь хувьсах хэмжигдэхүүн бөгөөд хурд нь тогтмол байна.

Эсвэл жишээ нь “pi”. Энэ бол давтагдахгүйгээр үргэлжилдэг иррационал тоо юмцифрүүдийн дараалал бөгөөд бүтнээр нь бичих боломжгүй тул математикт үүнийг зөвхөн өгөгдсөн хязгааргүй бутархайн утгыг авдаг нийтээр хүлээн зөвшөөрсөн тэмдгээр илэрхийлдэг. Энэ нь "pi" нь тогтмол утга юм.

Түүх

Хувьсагчийн тэмдэглэгээний түүх XVII зуунд эрдэмтэн Рене Декартаас эхэлдэг.

Тэр мэдэгдэж буй утгуудыг цагаан толгойн эхний үсгүүдээр тодорхойлсон: a, b гэх мэт, үл мэдэгдэхийн хувьд сүүлийн үсгүүдийг ашиглахыг санал болгосон: x, y, z. Декарт ийм хувьсагчдыг сөрөг бус тоо гэж үзэж, сөрөг параметртэй тулгарахдаа хувьсагчийнхаа өмнө хасах тэмдэг, хэрэв тухайн тоо ямар тэмдэг болох нь мэдэгдэхгүй бол эллипс зурсан нь анхаарал татаж байна. Гэвч цаг хугацаа өнгөрөхөд хувьсагчдын нэрс ямар ч тэмдгийн тоог илэрхийлж эхэлсэн бөгөөд энэ нь математикч Иоганн Хаддегаас эхэлсэн.

Хувьсагчтай бол математикийн тооцооллыг шийдвэрлэхэд илүү хялбар байдаг, учир нь жишээ нь бид биквадрат тэгшитгэлийг одоо яаж шийдэх вэ? Бид хувьсагч оруулна. Жишээ нь:

x⁴ + 15x^{2 + 7=0}

x2-д бид бага зэрэг k-г авбал тэгшитгэл тодорхой болно:

x2=k, k ≧ 0-д

k2 + 15к + 7=0

Хувьсагчдыг оруулах нь математикт ийм зүйл авчирдаг.

Тэгш бус байдал, шийдлийн жишээ

Тэгш бус байдал гэдэг нь хоёр математик илэрхийлэл буюу хоёр тоог харьцуулах тэмдгээр холбосон бичлэг юм:, ≦, ≧. Эдгээр нь хатуу бөгөөд ≦, ≧ тэмдгээр эсвэл хатуу бус шинжтэй байдаг.

Эдгээр тэмдгүүдийг анх удаа танилцуулж байнаТомас Харриот. Томасын нас барсны дараа түүний эдгээр тэмдэглэгээ бүхий ном хэвлэгдэж, математикчдад таалагдаж, цаг хугацаа өнгөрөх тусам математик тооцоололд өргөн хэрэглэгдэх болсон.

Ганц хувьсагчийн тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхдээ дагаж мөрдөх хэд хэдэн дүрэм байдаг:

1. Тэгш бус байдлын нэг хэсгээс нөгөө хэсэгт тоог шилжүүлэхдээ тэмдгийг эсрэгээр нь солино.
2. Тэгш бусын хэсгүүдийг сөрөг тоогоор үржүүлэх эсвэл хуваах үед тэдгээрийн тэмдгүүд эсрэгээрээ байна.
3. Хэрэв та тэгш бус байдлын хоёр талыг эерэг тоогоор үржүүлж эсвэл хуваавал анхныхтай тэнцэх тэгш бус байдал гарна.

Тэгш бус байдлыг шийднэ гэдэг нь хувьсагчийн бүх хүчинтэй утгыг олох гэсэн үг.

Ганц хувьсагчийн жишээ:

10x - 50 > 150

Бид үүнийг ердийн шугаман тэгшитгэл шиг шийддэг - хувьсагчтай нөхцөлүүдийг зүүн тийш, хувьсагчгүй - баруун тийш шилжүүлж, ижил төстэй нөхцөлүүдийг өгнө:

10x > 200

Бид тэгш бус байдлын хоёр талыг 10-д хуваагаад:

x > 20

Тодорхой болгохын тулд нэг хувьсагчтай тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх жишээн дээр тооны шулуун зурж, түүн дээр цоолсон 20 цэгийг тэмдэглэ, учир нь тэгш бус байдал нь хатуу бөгөөд энэ тоо нь шийдлийн багцад ороогүй болно..

Энэ тэгш бус байдлын шийдэл нь интервал (20; +∞).

Хатуу бус тэгш бус байдлын шийдлийг хатуу тэгш бус байдлын нэгэн адил гүйцэтгэдэг:

6x - 12 ≧ 18

6x ≧ 30

x ≧ 5

Гэхдээ нэг үл хамаарах зүйл бий. x ≧ 5 хэлбэрийн бичлэгийг дараах байдлаар ойлгох хэрэгтэй: x нь таваас их буюу тэнцүү гэсэн үг.тавын тоо нь тэгш бус байдлын бүх шийдлийн багцад багтсан, өөрөөр хэлбэл хариултыг бичихдээ бид тавын тооны өмнө дөрвөлжин хаалт тавьдаг.

x ∈ [5; +∞)

Квадрат тэгш бус байдал

Хэрвээ бид ax2 + bx +c=0 хэлбэрийн квадрат тэгшитгэлийг авч, тэгш бусын тэмдэгт тэгшитгэлийн тэмдгийг өөрчилвөл бид зохих ёсоор гарна. квадрат тэгш бус байдал.

Квадрат тэгш бус байдлыг шийдэхийн тулд квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх чадвартай байх хэрэгтэй.

y=ax2 + bx + c нь квадрат функц юм. Бид үүнийг дискриминант эсвэл Виета теорем ашиглан шийдэж болно. Эдгээр тэгшитгэлүүд хэрхэн шийдэгдсэнийг санаарай:

1) y=x2 + 12x + 11 - функц нь парабол юм. "a" коэффициентийн тэмдэг эерэг тул түүний мөчрүүд дээшээ чиглэсэн байна.

2) x2 + 12x + 11=0 - тэгтэй тэнцүүлж, дискриминант ашиглан шийднэ.

a=1, b=12, c=11

D=b2 - 4ac=144 - 44=100 > 0, 2 үндэс

Квадрат тэгшитгэлийн язгуурын томьёоны дагуу бид дараахийг авна:

x₁ =-1, x_2=-11

Эсвэл та энэ тэгшитгэлийг Виета теорем ашиглан шийдэж болно:

x₁ + x₂ =-b/a, x₁ + x _2=-12

x₁x₂ =c/a, x₁x₂₌₁₁

Сонгох аргыг ашигласнаар бид тэгшитгэлийн ижил язгуурыг олж авна.

Парабола

Тэгэхээр квадрат тэгш бус байдлыг шийдэх эхний арга бол парабол юм. Үүнийг шийдэх алгоритм нь дараах байдалтай байна:

1. Параболагийн салбарууд хаашаа чиглэж байгааг тодорхойл.

2. Функцийг тэгтэй тэнцүүлж, тэгшитгэлийн язгуурыг ол.

3. Бид тооны шугам барьж, түүн дээр үндсийг нь тэмдэглээд, парабол зурж, тэгш бус байдлын тэмдгээс хамаарч өөрт хэрэгтэй цоорхойг олно.

Тэгш бус байдлыг шийд x2 + x - 12 > 0

Функц болгон бичих:

1) y=x2 + x - 12 - парабол, дээш салбарласан.

Тэг болгож тохируулсан.

2) x2 + x -12=0

Дараа нь бид квадрат тэгшитгэл хэлбэрээр шийдэж, функцийн тэгийг олно:

x₁ =3, x_2=-4

3) 3 ба -4 цэг бүхий тооны шулууныг зур. Парабола тэдгээрээр дамжин өнгөрч, салаалж, тэгш бус байдлын хариулт нь эерэг утгуудын олонлог болно, өөрөөр хэлбэл (-∞; -4), (3; +∞).

Интервалын арга

Хоёр дахь арга бол зайны арга юм. Үүнийг шийдэх алгоритм:

1. Тэгшитгэлийн язгуурыг олоорой.

2. Бид тэдгээрийг тооны мөрөнд тэмдэглэдэг. Тиймээс хэд хэдэн интервалд хуваагдана.

3. Аливаа интервалын тэмдгийг тодорхойл.

4. Бид тэмдгүүдийг үлдсэн зайд байрлуулж, нэгийн дараа өөрчилдөг.

Тэгш бус байдлыг шийд (x - 4)(x - 5)(x + 7) ≦ 0

1) Тэгш бус байдлын тэг: 4, 5 ба -7.

2) Тэдгээрийг тооны шулуун дээр зур.

3) Интервалын шинж тэмдгийг тодорхойлох.

Хариулт: (-∞; -7]; [4; 5].

Дахин нэг тэгш бус байдлыг шийд: x2(3x - 6)(x + 2)(x - 1) > 0

1. Тэгш бус байдлын тэг: 0, 2, -2 ба 1.

2. Тэдгээрийг тооны мөрөнд тэмдэглээрэй.

3. Интервалын тэмдгийг тодорхойлох.

Мөр нь -2-оос 0, 0-ээс 1, 1-ээс 2 хүртэлх интервалд хуваагдана.

Эхний интервал дахь утгыг авна - (-1). Тэгш бус байдлыг орлуулах. Энэ утгын хувьд тэгш бус байдал эерэг болж, энэ интервал дээрх тэмдэг + болно гэсэн үг.

Цаашилбал, эхний цоорхойноос эхлэн бид тэмдгүүдийг цэгцэлж, нэгийн дараа өөрчилдөг.

Тэгш бус байдал нь тэгээс их, өөрөөр хэлбэл, та шугаман дээрх эерэг утгуудын багцыг олох хэрэгтэй.

Хариулт: (-2; 0), (1; 2).

Тэгшитгэлийн систем

Хоёр хувьсагчтай тэгшитгэлийн систем гэдэг нь нийтлэг шийдийг олох шаардлагатай буржгар хаалтаар холбогдсон хоёр тэгшитгэл юм.

Хэрэв аль нэгнийх нь ерөнхий шийдэл нь нөгөөгийнх нь шийдэл эсвэл хоёуланд нь шийдэл байхгүй бол системүүд тэнцүү байж болно.

Бид хоёр хувьсагчтай тэгшитгэлийн системийн шийдлийг судлах болно. Тэдгээрийг шийдэх хоёр арга бий - орлуулах арга эсвэл алгебрийн арга.

Алгебрийн арга

Зурагт үзүүлсэн системийг энэ аргыг ашиглан шийдэхийн тулд эхлээд түүний аль нэг хэсгийг ийм тоогоор үржүүлэх шаардлагатай бөгөөд ингэснээр дараа нь тэгшитгэлийн хоёр хэсгээс нэг хувьсагчийг харилцан цуцалж болно. Энд бид гурваар үржүүлж, системийн доор шугам зурж, хэсгүүдийг нь нэмнэ. Үүний үр дүнд x нь модулийн хувьд ижил, харин тэмдгээр нь эсрэг болж, бид тэдгээрийг багасгадаг. Дараа нь бид нэг хувьсагчтай шугаман тэгшитгэлийг гаргаж түүнийгээ шийднэ.

Бид Y-г олсон ч X-г хараахан олоогүй байгаа тул үүгээр зогсоож чадахгүй. ОрлуулахY-г X-г татахад тохиромжтой хэсэг рүү, жишээлбэл:

-x + 5y=8, y=1-тэй

-x + 5=8

Үүссэн тэгшитгэлийг шийдэж, х-г ол.

-x=-5 + 8

-x=3

x=-3

Системийн шийдлийн гол зүйл бол хариултаа зөв бичих явдал юм. Олон оюутнууд бичихдээ алдаа гаргадаг:

Хариулт: -3, 1.

Гэхдээ энэ буруу оруулга байна. Эцсийн эцэст, дээр дурдсанчлан тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэхдээ бид түүний хэсгүүдийн ерөнхий шийдлийг хайж байна. Зөв хариулт нь: байх болно.

(-3; 1)

Орлуулах арга

Энэ нь магадгүй хамгийн энгийн арга бөгөөд алдаа гаргахад хэцүү байдаг. Энэ зурган дээрх 1-р тэгшитгэлийн системийг авч үзье.

Эхний хэсэгт x-г аль хэдийн хэрэгцээтэй хэлбэрт оруулсан байгаа тул бид үүнийг өөр тэгшитгэлд орлуулахад хангалттай:

5ж + 3ж - 25=47

Хувьсагчгүй тоог баруун тийш зөөж, ижил төстэй нөхцөлүүдийг нийтлэг утгад хүргэж, y-г ол:

8y=72

y=9

Дараа нь алгебрийн аргын нэгэн адил тэгшитгэлийн аль нэг дэх у-ийн утгыг орлуулж x-г олно:

x=3y - 25, y=9

x=27 - 25

x=2

Хариулт: (2; 9).