Арифметик гэж юу вэ? Хүн төрөлхтөн хэзээнээс тоо хэрэглэж эхэлсэн бэ? Хүн өөрийн амьдрал, ертөнцийг үзэх үзлийн салшгүй хэсэг болсон тоо, бутархай, хасах, нэмэх, үржүүлэх гэх мэт өдөр тутмын ойлголтуудын үндэс хаашаа явах вэ? Эртний Грекийн оюун ухаан математик, арифметик, геометр зэрэг шинжлэх ухааныг хүний логикийн хамгийн сайхан симфони гэж биширдэг байв.
Магадгүй арифметик бусад шинжлэх ухаан шиг гүнзгий биш ч хүн анхан шатны үржүүлэх хүснэгтийг мартвал юу болох вэ? Тоо, бутархай болон бусад хэрэгслийг ашиглан бидний дадал болсон логик сэтгэлгээ нь хүмүүст амаргүй байсан бөгөөд бидний өвөг дээдэс удаан хугацааны туршид хүртээмжгүй байсан. Үнэн хэрэгтээ арифметик хөгжихөөс өмнө хүний мэдлэгийн аль ч салбар жинхэнэ шинжлэх ухаанч байгаагүй.
Арифметик бол математикийн ABC
Арифметик бол ямар ч хүн математикийн сонирхолтой ертөнцтэй танилцаж эхэлдэг тооны шинжлэх ухаан юм. М. В. Ломоносовын хэлснээр арифметик бол суралцах үүд хаалга бөгөөд бидэнд дэлхийн мэдлэгт хүрэх замыг нээж өгдөг. Гэхдээ түүний зөвЕртөнцийн мэдлэгийг тоо үсэг, математик, ярианы мэдлэгээс салгаж болох уу? Эрт дээр үед байж болох ч шинжлэх ухаан, технологийн хурдацтай хөгжил өөрийн хууль тогтоомжийг шаарддаг орчин үеийн ертөнцөд биш юм.
Грек гаралтай "арифметик" (Грек "arithmos") гэдэг үг нь "тоо" гэсэн утгатай. Тэр тоо болон түүнтэй холбогдож болох бүх зүйлийг судалдаг. Энэ бол тооны ертөнц: тоон дээрх төрөл бүрийн үйлдлүүд, тоон дүрэм, үржүүлэх, хасах гэх мэттэй холбоотой бодлого бодох.
Арифметик нь математикийн анхны алхам бөгөөд түүний алгебр, математикийн анализ, дээд математик гэх мэт нарийн төвөгтэй хэсгүүдийн бат бөх үндэс суурь гэдгийг ерөнхийд нь хүлээн зөвшөөрдөг.
Арифметикийн үндсэн объект
Арифметикийн үндэс нь бүхэл тоо бөгөөд түүний шинж чанар, зүй тогтлыг дээд арифметик буюу тооны онолд авч үздэг. Чухамдаа ийм жижиг блокийг натурал тоо гэж үзэхэд хэр зөв хандсанаас бүхэл бүтэн барилгын хүч чадал буюу математик шалтгаална.
Тиймээс арифметик гэж юу вэ гэсэн асуултад энгийнээр хариулж болно: энэ бол тооны шинжлэх ухаан юм. Тийм ээ, ердийн долоо, ес, энэ олон янзын нийгэмлэгийн тухай. Энгийн цагаан толгойгүйгээр сайн, тэр байтугай хамгийн дунд зэргийн шүлэг бичиж чаддаггүйтэй адил та арифметикгүйгээр энгийн бодлогыг ч шийдэж чадахгүй. Тийм ч учраас бүх шинжлэх ухаан арифметик, математикийг хөгжүүлсний дараа л хөгжсөн бөгөөд үүнээс өмнө зөвхөн таамаглал төдий байсан.
Арифметик бол хийсвэр шинжлэх ухаан
Арифметик гэж юу вэ - байгалийн шинжлэх ухаан эсвэл хий үзэгдэл үү? Үнэн хэрэгтээ эртний Грекийн философичдын үзэж байгаагаар тоо, тоо аль нь ч байдаггүй. Энэ бол хүрээлэн буй орчныг үйл явцтай нь авч үзэхэд хүний сэтгэлгээнд бий болсон хий үзэгдэл юм. Үнэндээ тоо гэж юу вэ? Тоо гэж нэрлэж болохуйц тийм зүйл бидний эргэн тойронд хаана ч байхгүй, харин тоо нь хүний оюун санааны ертөнцийг судлах арга зам юм. Эсвэл энэ нь өөрийгөө дотроос нь судалж байгаа юм болов уу? Философичид олон зууны турш дараалан маргаж байгаа тул бид бүрэн хариулт өгөх үүрэг хүлээдэггүй. Ямар нэгэн байдлаар арифметик өөрийн байр сууриа маш баттай авч чадсан тул орчин үеийн ертөнцөд түүний үндсийг мэдэхгүй хүн нийгэмд дасан зохицсон гэж үзэх боломжгүй юм.
Натурал тоо яаж гарсан бэ
Мэдээж арифметикийн ажилладаг гол объект нь 1, 2, 3, 4, …, 152… гэх мэт натурал тоо юм. Натурал тооны арифметик нь нугад байгаа үхэр гэх мэт энгийн объектуудыг тоолсны үр дүн юм. Гэсэн хэдий ч "маш их" эсвэл "бага" гэсэн тодорхойлолт хүмүүст тохирохоо больж, тэд илүү дэвшилтэт тоолох арга техникийг зохион бүтээх шаардлагатай болсон.
Гэхдээ хүний бодол 2 кг, 2 тоосго, 2 хэсгийг ижил тооны "хоёр"-оор тэмдэглэх боломжтой болсон үед жинхэнэ нээлт болсон. Үнэн хэрэгтээ та объектын хэлбэр, шинж чанар, утгыг хийсвэрлэх хэрэгтэй бөгөөд дараа нь эдгээр объектуудтай зарим үйлдлийг натурал тоо хэлбэрээр хийж болно. Ийнхүү тооны арифметик үүссэнулам бүр хөгжиж, өргөжиж, нийгмийн амьдралд улам том байр суурийг эзэлсээр байна.
Тэг ба сөрөг тоо, бутархай, тоог тоогоор тэмдэглэх гэх мэт нарийн ойлголтууд нь хөгжлийн баялаг бөгөөд сонирхолтой түүхтэй.
Арифметик ба практик Египетчүүд
Бидний эргэн тойрон дахь ертөнцийг судлах, өдөр тутмын асуудлыг шийдвэрлэх хамгийн эртний хоёр хүн бол арифметик ба геометр юм.
Арифметикийн түүх Эртний Дорнодоос Энэтхэг, Египет, Вавилон, Хятадаас гаралтай гэж үздэг. Ийнхүү 20-р зуунд хамаарах Египет гаралтай Ринда папирус (ижил нэртэй эзэнд харьяалагддаг байсан тул ингэж нэрлэсэн). МЭӨ нь бусад үнэ цэнэтэй өгөгдлүүдээс гадна нэг бутархайг өөр өөр хуваагчтай бутархайн нийлбэр болон нэгтэй тэнцэх тоологчтой болгон өргөтгөхийг агуулдаг.
Жишээ нь: 2/73=1/60+1/219+1/292+1/365.
Гэхдээ ийм нарийн төвөгтэй задрал ямар учиртай юм бэ? Египетийн хандлага нь тоонуудын талаархи хийсвэр бодлыг тэвчдэггүй, харин эсрэгээр тооцооллыг зөвхөн практик зорилгоор хийсэн явдал юм. Жишээлбэл, египет хүн зөвхөн булш барихын тулд тооцоо хийх гэх мэт зүйлийг хийх болно. Бүтцийн ирмэгийн уртыг тооцоолох шаардлагатай байсан бөгөөд энэ нь хүнийг папирусын ард суухад хүргэв. Таны харж байгаагаар Египетийн тооцоололд ахиц дэвшил гарсан нь шинжлэх ухаанд дурлахаас илүү их хэмжээний бүтээн байгуулалтаас үүдэлтэй юм.
Ийм учраас папирус дээрх тооцооллыг бутархайн сэдвийн эргэцүүлэл гэж нэрлэж болохгүй. Магадгүй энэ нь ирээдүйд тусалсан практик бэлтгэл юм.бутархайтай асуудлыг шийдэх. Эртний египетчүүд үржүүлэх хүснэгтийг мэддэггүй байсан тул нэлээд урт тооцоолол хийж, олон дэд даалгавар болгон задалдаг байв. Магадгүй энэ нь эдгээр дэд ажлуудын нэг юм. Ийм ажлын хэсгүүдтэй тооцоо хийх нь маш их хөдөлмөр, найдваргүй гэдгийг харахад хялбар байдаг. Магадгүй энэ шалтгааны улмаас бид эртний Египетийн математикийн хөгжилд оруулсан асар их хувь нэмрийг олж харахгүй байна.
Эртний Грек ба гүн ухааны арифметик
Эртний Дорнодын тухай олон мэдлэгийг хийсвэр, хийсвэр, гүн ухааны тусгалд дуртай эртний Грекчүүд амжилттай эзэмшсэн. Тэд практикт багагүй сонирхолтой байсан ч шилдэг онолч, сэтгэгчдийг олоход хэцүү байдаг. Арифметикийг бодит байдлаас салгахгүйгээр гүнзгийрүүлэх боломжгүй тул энэ нь шинжлэх ухаанд ашигтай юм. Мэдээж та 10 үнээ, 100 литр сүүг үржүүлж болно, гэхдээ тийм ч хол явахгүй.
Гүн сэтгэлгээтэй Грекчүүд түүхэнд чухал ул мөр үлдээж, тэдний зохиолууд бидэнд хүрч ирсэн:
- Евклид ба элементүүд.
- Пифагор.
- Архимед.
- Eratosthenes.
- Зено.
- Анаксагор.
Мөн мэдээж бүх зүйлийг гүн ухаан болгон хувиргасан Грекчүүд, ялангуяа Пифагорын бүтээлийг залгамжлагчид тоонд маш их татагдаж, тэднийг ертөнцийн зохицлын нууц гэж үздэг байв. Тоонуудыг маш их судалж, судалж, заримд нь болон хосуудад нь тусгай шинж чанар олгосон байдаг. Жишээ нь:
- Төгөлдөр тоонууд нь тооноос бусад бүх хуваагчдынхаа нийлбэртэй тэнцүү (6=1+2+3).
- Нөхөрсөг дугаарууд нь эдгээр тоонуудын нэг юмнь хоёр дахь бүх хуваагчдын нийлбэртэй тэнцүү ба эсрэгээр (Пифагорчууд зөвхөн нэг ийм хосыг мэддэг байсан: 220 ба 284).
Шинжлэх ухаанд ашиг хонжоо хайгаад хамт байх биш, хайрлах ёстой гэж үздэг Грекчүүд эрэл хайгуул хийж, тоглож, тоо нэмснээрээ их амжилтанд хүрсэн. Тэдний бүх судалгааг өргөнөөр ашиглаагүй, зарим нь зөвхөн "гоо сайхны төлөө" үлдсэн гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй.
Дундад зууны дорно дахины сэтгэгчид
Яг үүнтэй адил Дундад зууны үед арифметик нь дорно дахины үеийнхэнд өөрийн хөгжлийн өртэй байв. Индианчууд бидэнд бидний идэвхтэй ашигладаг тоонууд, тухайлбал "тэг" гэх мэт ойлголт, орчин үеийн ойлголтод танил болсон тооцооллын байрлалын хувилбарыг өгсөн. 15-р зуунд Самаркандад ажиллаж байсан Аль-Кашигаас бид аравтын бутархайг өвлөн авсан бөгөөд түүнгүйгээр орчин үеийн арифметикийг төсөөлөхөд бэрх.
Италийн эрдэмтэн Леонардо Фибоначчийн "Абакийн ном" хэмээх бүтээл туурвиж, дорно дахины шинэчлэлийг нэвтрүүлсэн ажлын ачаар Европыг Дорнодын ололт амжилттай олон талаар танилцах боломжтой болсон. Энэ нь Европ дахь алгебр, арифметик, судалгаа, шинжлэх ухааны үйл ажиллагааны хөгжлийн тулгын чулуу болсон.
Оросын арифметик
Тэгээд эцэст нь Европт байр сууриа олж, суурьшсан арифметик Оросын газар нутагт тархаж эхлэв. Оросын анхны арифметик 1703 онд хэвлэгдсэн - энэ нь Леонтий Магнитскийн арифметикийн тухай ном байв. Удаан хугацааны туршид энэ нь математикийн цорын ганц сурах бичиг хэвээр байв. Энэ нь алгебр, геометрийн анхны мөчүүдийг агуулдаг. Орос дахь анхны арифметик сурах бичгийн жишээнд ашигласан тоонууд нь араб хэл юм. Араб тоонууд өмнө нь ч 17-р зууны үеийн сийлбэр дээр харагдаж байсан.
Ном нь өөрөө Архимед, Пифагорын зургаар чимэглэгдсэн бөгөөд эхний хуудсан дээр эмэгтэй хүний дүр төрхтэй арифметикийн дүрс байдаг. Тэрээр сэнтийд заларч, доор нь еврей хэлээр Бурханы нэрийг илэрхийлсэн үг бичигдсэн бөгөөд сэнтий рүү хөтөлдөг шатан дээр "хуваах", "үржүүлэх", "нэмэх" гэх мэт үгсийг бичжээ. Энэ нь одоо энгийн зүйл гэж тооцогддог.
600 хуудас сурах бичигт нэмэх, үржүүлэх хүснэгт, навигацийн шинжлэх ухааны хэрэглээ зэрэг үндсэн ойлголтуудыг багтаасан болно.
Зохиолч номондоо Грекийн сэтгэгчдийн дүр төрхийг сонгосон нь гайхах зүйл биш юм, учир нь тэр өөрөө арифметикийн гоо үзэсгэлэнд сэтгэл татагдаж, "Арифметик бол тоологч, үнэнч шударга урлаг байдаг, атаархмааргүй …" гэж хэлсэн байдаг.. Арифметикийн ийм хандлага нь нэлээд үндэслэлтэй, учир нь энэ нь Орост шинжлэх ухааны сэтгэлгээ, ерөнхий боловсролын хурдацтай хөгжлийн эхлэл гэж үзэж болох тул өргөн тархсан танилцуулга юм.
Анхны тоонууд
Эхний тоо гэдэг нь зөвхөн 2 эерэг хуваагчтай натурал тоо юм: 1 ба өөрөө. 1-ээс бусад бүх тоог нийлмэл тоо гэж нэрлэдэг. Энгийн тоонуудын жишээ: 2, 3, 5, 7, 11 болон 1 ба өөрөөс өөр хуваагчгүй бусад бүх тоо.
1-ийн тооны хувьд энэ нь тусгай дансанд байдаг - үүнийг энгийн эсвэл нийлмэл биш гэж үзэх ёстой гэсэн тохиролцоо байдаг. Өнгөц харахад энгийн, энгийн тоо нь тайлагдаагүй олон нууцыг дотроо нуудаг.
Евклидийн теоремд хязгааргүй тооны анхны тоо байдаг гэж Эратосфен анхдагч тоонуудыг хасч, зөвхөн энгийн тоонуудыг үлдээдэг тусгай арифметик "шүүлтүүр" зохион бүтээжээ.
Түүний мөн чанар нь эхний хасагдаагүй тооны доогуур зурж, дараа нь түүний үржвэрийг хасах явдал юм. Бид энэ процедурыг олон удаа давтаж, анхны тоонуудын хүснэгтийг авна.
Арифметикийн суурь теорем
Анхны тооны талаарх ажиглалтын дотроос арифметикийн үндсэн теоремыг онцгойлон дурдах хэрэгтэй.
Арифметикийн үндсэн теорем нь 1-ээс их бүхэл тоо нь анхны юм, эсвэл хүчин зүйлийн дараалал хүртэл анхны тоонуудын үржвэр болгон задалж болно гэж хэлдэг.
Арифметикийн гол теорем нь нэлээд төвөгтэй бөгөөд үүнийг ойлгох нь хамгийн энгийн суурь ойлголт шиг байхаа больсон.
Анхны тоо бол анхан шатны ойлголт боловч тийм биш юм. Физик ч мөн адил атомыг бүхэл бүтэн орчлон ертөнцийг олох хүртлээ элемент гэж үздэг байв. Математикч Дон Цагирын "Анхны тавин сая анхны тоо" хэмээх гайхалтай түүх нь анхны тоонд зориулагдсан болно.
"Гурван алим"-аас дедуктив хуулиуд хүртэл
Бүх шинжлэх ухааны бэхжсэн суурь гэж үнэхээр хэлж болох зүйл бол арифметикийн хуулиуд юм. Хүүхэд байхаасаа л хүн бүр хүүхэлдэйний хөл, гарны тоог судалж, арифметиктэй тулгардаг.шоо, алим гэх мэт тоо. Бид арифметикийг ингэж судалдаг бөгөөд энэ нь илүү төвөгтэй дүрмүүдэд ордог.
Бидний бүх амьдрал арифметикийн дүрэмтэй танилцдаг бөгөөд энэ нь энгийн хүмүүст шинжлэх ухааны өгдөг бүхнээс хамгийн хэрэгтэй зүйл болсон. Тооны судалгаа бол "арифметик-хүүхэд" бөгөөд хүнийг бага насанд нь тооны ертөнцтэй тоон хэлбэрээр танилцуулдаг.
Дээд арифметик нь арифметикийн хуулиудыг судалдаг дедуктив шинжлэх ухаан юм. Бид тэдгээрийн ихэнхийг нь мэддэг ч яг үг хэллэгийг нь мэдэхгүй байж магадгүй.
Нэмэх ба үржүүлэх хууль
Хоёр аль ч натурал тоо a, b-г a+b нийлбэрээр илэрхийлж болох бөгөөд энэ нь мөн натурал тоо болно. Нэмэхэд дараах хуулиуд хэрэгжинэ:
- Нөхцөлүүдийн дахин зохицуулалтаас нийлбэр өөрчлөгддөггүй гэсэн солих, эсвэл a+b=b+a.
- Холбоо, энэ нь нийлбэр нь нэр томьёог газар дээр нь бүлэглэх аргаас хамаарахгүй, эсвэл a+(b+c)=(a+ b)+ c.
Нэмэх гэх мэт арифметикийн дүрмүүд нь хамгийн анхан шатны дүрмүүдийн нэг боловч тэдгээрийг өдөр тутмын амьдрал гэлтгүй бүх шинжлэх ухаан ашигладаг.
Хоёр дурын а ба b натурал тоог ab эсвэл ab үржвэрээр илэрхийлж болох бөгөөд энэ нь мөн натурал тоо юм. Нэмэлттэй адил солих болон ассоциатив хуулиуд бүтээгдэхүүнд хамаарна:
- ab=b a;
- a(bc)=(a b) c.
Би гайхаж байнанэмэх, үржүүлэх үйлдлийг нэгтгэдэг хууль байдаг бөгөөд үүнийг хуваарилах, хуваарилах хууль гэж нэрлэдэг:
a(b+c)=ab+ac
Энэ хууль нь үнэндээ хаалттай ажиллахыг заадаг бөгөөд ингэснээр бид илүү төвөгтэй томьёотой ажиллах боломжтой болно. Эдгээр нь алгебрийн хачирхалтай бөгөөд ээдрээтэй ертөнцөд биднийг чиглүүлэх хуулиуд юм.
Арифметик дарааллын хууль
Эрх зүйн хуулийг хүн төрөлхтөн өдөр бүр цагийг харьцуулж, мөнгөн дэвсгэртийг тоолоход ашигладаг. Гэсэн хэдий ч үүнийг тодорхой томъёолол хэлбэрээр албан ёсны болгох шаардлагатай.
Хэрэв бидэнд хоёр натурал тоо a болон b байвал дараах сонголтууд боломжтой:
- a тэнцүү b, эсвэл a=b;
- a нь b-ээс бага, эсвэл < b;
- a нь b-ээс их буюу > b.
Гурван сонголтоос зөвхөн нэг нь шударга байж чадна. Захиалгыг зохицуулдаг үндсэн хуульд: хэрэв a < b ба b < c байвал a< c.
Үржүүлэх болон нэмэх үйлдлүүдийн дараалалтай холбоотой хуулиуд бас байдаг: хэрэв a< бол b бол a + c < b+c ба ac< bc.
Арифметикийн хуулиуд бидэнд тоо, тэмдэг, хаалттай ажиллахыг зааж, бүх зүйлийг тооны эв найрамдалтай симфони болгон хувиргадаг.
Байрлалын болон байрлалын бус тооцоо
Тоо бол математикийн хэл бөгөөд түүний тав тухтай байдлаас ихээхэн хамаардаг гэж хэлж болно. Өөр өөр хэлний цагаан толгойн адил бие биенээсээ ялгаатай олон тооны системүүд байдаг.
Тоон утгыг албан тушаалын нөлөөллийн үүднээс тооллын системийг авч үзье.энэ байрлал дахь тоо. Жишээлбэл, Ромын систем нь байрлалын бус бөгөөд тоо бүр нь тодорхой тусгай тэмдэгтүүдээр кодлогдсон байдаг: I/ V/ X/L/ C/ D/ M. Эдгээр нь 1 тоотой тэнцүү байна. / 5/10/50/100/500/ 1000. Ийм системд тоо нь ямар байрлалд байгаагаас хамааран тоон тодорхойлолтоо өөрчилдөггүй: нэгдүгээрт, хоёрдугаарт гэх мэт бусад тоонуудыг авахын тулд та үндсэн тоог нэмэх хэрэгтэй. Жишээ нь:
- DCC=700.
- CCM=800.
Араб тоо ашиглан бидэнд илүү танил болсон тооллын систем нь байрлалын шинж чанартай байдаг. Ийм системд тооны цифр нь цифрүүдийн тоог тодорхойлдог, жишээлбэл, гурван оронтой тоо: 333, 567 гэх мэт. Аливаа оронтой тоон жин нь тухайн орон байрлаж буй байрлалаас хамаарна, жишээлбэл, хоёр дахь байрлал дахь 8-ын тоо нь 80-ийн утгатай байна. Энэ нь аравтын бутархайн системийн хувьд ердийн зүйл юм, жишээлбэл, бусад байрлалын системүүд байдаг., хоёртын.
Хоёртын арифметик
Бид нэг оронтой тоо, олон оронтой тооноос бүрдэх аравтын бутархай системийг мэддэг. Олон оронтой тооны зүүн талд байгаа тоо нь баруун талынхаас арав дахин их ач холбогдолтой. Тэгэхээр бид 2, 17, 467 гэх мэтийг уншиж дассан.“Хоёртын арифметик” гэдэг хэсэг бол огт өөр логик, арга барилтай. Энэ нь гайхах зүйл биш юм, учир нь хоёртын арифметик нь хүний логикийн хувьд биш, харин компьютерийн логикийн хувьд бий болсон. Хэрэв тооны арифметик нь объектын шинж чанараас "нүцгэн" арифметик болгон хийсвэрлэсэн объектыг тоолох замаар үүссэн бол энэ нь компьютерт ажиллахгүй болно. Хуваалцах боломжтой байхХүн компьютерийн мэдлэгээрээ ийм тооны тооцооллын загвар зохион бүтээх хэрэгтэй болсон.
Хоёртын арифметик нь зөвхөн 0 ба 1-ээс бүрдэх хоёртын цагаан толгойн үсгээр ажилладаг. Мөн энэ цагаан толгойн хэрэглээг хоёртын систем гэж нэрлэдэг.
Хоёртын арифметик болон аравтын бутархай арифметикийн ялгаа нь зүүн талын байрлалын ач холбогдол нь 10 байхаа больж, 2 дахин их болсонд оршино. Хоёртын тоо нь 111, 1001 гэх мэт хэлбэртэй байдаг. Ийм тоог хэрхэн ойлгох вэ? Тиймээс 1100 тоог анхаарч үзээрэй:
- Зүүн талын эхний цифр нь 18=8, дөрөв дэх орон нь 2-оор үржих шаардлагатай гэдгийг санаад бид 8-р байрыг авна.
- Хоёр дахь орон 14=4 (4-р байр).
- Гурав дахь орон 02=0 (байрлал 2).
- Дөрөв дэх орон 01=0 (байрлал 1).
- Тиймээс бидний тоо 1100=8+4+0+0=12.
Өөрөөр хэлбэл, зүүн талын шинэ орон руу шилжих үед хоёртын систем дэх түүний ач холбогдлыг 2-оор, аравтын тоогоор - 10-аар үржүүлнэ. Ийм систем нь нэг хасахтай: энэ нь хэт том өсөлт юм. тоо бичихэд шаардлагатай цифрүүд. Аравтын бутархай тоог хоёртын тоогоор илэрхийлэх жишээг дараах хүснэгтээс харж болно.
Хоёртын хэлбэрийн аравтын тоог доор харуулав.
Найман болон арван зургаатын системийг хоёуланг нь ашигладаг.
Энэ нууцлаг арифметик
Арифметик, "хоёр дахин хоёр" эсвэл тоонуудын судлагдаагүй оньсого гэж юу вэ? Таны харж байгаагаар арифметик нь эхлээд харахад энгийн мэт санагдаж болох ч түүний үл ойлгогдох хялбар байдал нь хуурмаг юм. Үүнийг мөн авга эгч Шар шувууны хамт хүүхдүүд судалж болно"Арифметик-хүүхэд" хүүхэлдэйн кинонд та бараг философийн эрэмбэтэй шинжлэх ухааны гүн гүнзгий судалгаанд хамрагдах боломжтой. Түүхэнд тэрээр эд зүйлсийг тоолохоос эхлээд тооны гоо сайхныг шүтэх болжээ. Зөвхөн нэг л зүйлийг баттай мэдэж байна: арифметикийн үндсэн постулатуудыг бий болгосноор бүх шинжлэх ухаан түүний хүчирхэг мөрөнд найдаж болно.
